Likhet

Likhet är en transformation av det euklidiska rummet , där det för två punkter , och deras bilder , finns en relation , för vissa fasta , som kallas likhetskoefficienten . $A$ $B$ $A'$ $B'$ $|A'B'|=k\cdot |AB|$ $k\neq 0$

Likhetsbegreppet definieras på liknande sätt för metriska utrymmen, för riemannska utrymmen (se avsnittet Generaliseringar ).

Historik

Liknande figurer ansågs i det antika Grekland på 500-400-talen f.Kr. de förekommer i skrifterna av Hippokrates av Chios , Archytas av Tarentum , Eudoxus av Cnidus och i bok VI av Euclids element .

Specialfall

En homoteti är en likhet som har en fast punkt och bevarar orienteringen .
En rörelse är en likhetstransformation med en koefficient, det vill säga en transformation av planet som bevarar avstånd. $k=1$

Relaterade definitioner

En figur kallas lik en figur om det finns en likhetstransformation för vilken . $F$ $F'$ $F\mapsto F'$
- Likheten mellan figurer är en ekvivalensrelation .
- För att indikera likhet används vanligtvis en ikon - betyder att figurerna och är lika. $\sim$ $F\sim F'$ $F$ $F'$

Likhetsmetod

Likheten mellan figurer tillämpas på lösningen av många konstruktionsproblem .

Likhetsmetoden består i det faktum att de, med hjälp av vissa data om problemet, först bygger en figur som liknar den önskade och sedan går vidare till den önskade. Denna metod är särskilt praktisk när endast en given kvantitet är längd, och alla andra kvantiteter är antingen vinklar eller förhållande mellan linjer.

Ett klassiskt exempel på ett likhetsproblem är konstruktionen av en cirkel som tangerar två sidor av en given vinkel och passerar genom en given punkt. [ett]

Egenskaper

Likhet är en en-till-en kartläggning av ett euklidiskt utrymme på sig själv.
Likheten är en affin transformation av planet.
Likhet bevarar ordningen av punkterna på linjen, det vill säga om en punkt ligger mellan punkterna , och , , - deras motsvarande bilder med viss likhet, så ligger den också mellan punkterna och . $B$ $A$ $C$ $B'$ $A'$ $C'$ $B'$ $A'$ $C'$
Punkter som inte ligger på en rät linje, med någon likhet, går till punkter som inte ligger på en rät linje.
Likhet omvandlar en linje till en linje, ett linjesegment till ett linjesegment, en stråle till en stråle, en vinkel till en vinkel, en cirkel till en cirkel.
Likhet bevarar vinklarna mellan kurvorna.
En likhet med koefficient , som omvandlar varje linje till en linje parallell med den, är en homotet med koefficient eller . $k\not=1$ $k$ $-k$
- Varje likhet kan betraktas som en sammansättning av rörelse och någon homotet med en positiv koefficient. $D$ $\Gamma$
- En likhet kallas korrekt ( olämplig ) om rörelsen är korrekt (olämplig). Korrekt likhet bevarar orienteringen av figurerna, medan felaktig likhet omvänder orienteringen. $D$
Två trianglar i euklidisk geometri liknar om
- deras respektive vinklar är lika, eller
- sidorna är proportionella. Se även Tecken på likhet mellan trianglar .
Ytorna på liknande figurer är proportionella mot kvadraterna på deras liknande linjer (t.ex. sidor). Cirklarnas ytor är således proportionella mot förhållandet mellan kvadraterna på deras radier.

Generaliseringar

Likhet definieras på liknande sätt (med bibehållen ovanstående egenskaper) i 3-dimensionell euklidisk rymd, såväl som i n-dimensionella euklidiska och pseudo-euklidiska rum .

I metriska utrymmen , såväl som i - dimensionella Riemann- , pseudo- Riemann- och Finsler- rum, definieras likhet som en transformation som tar ett utrymmes metriska in i sig upp till en konstant faktor. $n$

Uppsättningen av alla likheter för ett n-dimensionellt euklidiskt, pseudo-euklidiskt, riemannskt, pseudo-riemannskt eller Finsler-rum utgör den -medlemsgruppen av Lie-transformationer , som kallas gruppen av liknande (homotetiska) transformationer av motsvarande utrymme. I vart och ett av utrymmena av dessa typer innehåller -termgruppen av liknande Lie-transformationer en -term normal undergrupp av rörelser. $r$ $r$ $(r-1)$

Se även

Anteckningar

↑ A. P. Kiselev . Elementär geometri / redigerad av N. A. Glagolev . — 1938.

Länkar

Geometriska figurers likhet och likhet .
Grav D. A. Homothetic figures // Encyclopedic Dictionary of Brockhaus and Efron : i 86 volymer (82 volymer och ytterligare 4). - St Petersburg. 1890-1907.
Likhet // Mathematical Encyclopedia : [i 5 volymer] / Kap. ed. I. M. Vinogradov . - M . : Soviet Encyclopedia, 1984. - T. 4: Ok - Slo. - S. 373. - 1216 stb. : sjuk. — 150 000 exemplar.

Ordböcker och uppslagsverk	Stor ryss Brockhaus och Efron Britannica (online)
I bibliografiska kataloger	NKC : ph317228