Laplace-operatör

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 19 mars 2022; kontroller kräver 2 redigeringar .

Laplace -operatorn ( Laplacian , deltaoperator ) är en differentialoperator som verkar i det linjära rymden av jämna funktioner och betecknas med symbolen . Han förknippar en funktion med en funktion $\\Delta$ $F\$

\Delta F={\partial ^{2}F \over \partial x_{1}^{2))+{\partial ^{2}F \over \partial x_{2}^{2)) +\ldots +{\partial ^{2}F \over \partial x_{n}^{2))

i n -dimensionellt utrymme .

Laplace-operatorn är likvärdig med att ta gradient- och divergensoperationerna i följd : , sålunda kan värdet av Laplace-operatorn vid en punkt tolkas som tätheten av källor (sänkor) för det potentiella vektorfältet vid den punkten. I det kartesiska koordinatsystemet betecknas Laplace-operatorn ofta på följande sätt [1] , det vill säga som den skalära produkten av nabla-operatorn och sig själv. Laplace-operatorn är symmetrisk . $\Delta=\operatörsnamn{div}\,\operatörsnamn{grad}$ $\ \operatörsnamn{grad}F$ $\Delta=\nabla\cdot\nabla=\nabla^2$

Laplace-operator för vektor : $\mathbf {A} =A_{x}\mathbf {i} +A_{y}\mathbf {j} +A_{z}\mathbf {k}$

$\Delta \mathbf {A} ={\Delta }A_{x}\mathbf {i} +{\Delta }A_{y}\mathbf {j} +{\Delta }A_{z}\mathbf { k} ={\biggl (}{\frac {\partial ^{2}A_{x}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}A_{x}}{ \partial y^{2))}+{\frac {\partial ^{2}A_{x)){\partial z^{2))}{\Biggr )}\mathbf {i} +{\biggl ( }{\frac {\partial ^{2}A_{y}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}A_{y}}{\partial y^{2} ))+{\frac {\partial ^{2}A_{y)){\partial z^{2))}{\Biggr )}\mathbf {j} +{\biggl (}{\frac {\partial ^{2}A_{z}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}A_{z}}{\partial y^{2}}}+{\frac { \partial ^{2}A_{z}}{\partial z^{2}}}{\Biggr )}\mathbf {k}$ [2]

Laplacian för en vektor är också en vektor.

En annan definition av Laplace-operatorn

Laplace-operatorn är en naturlig generalisering till funktioner av flera variabler av den vanliga andraderivatan av en funktion av en variabel. Faktum är att om en funktion har en kontinuerlig andraderivata i en grannskap av punkten , så följer av Taylor-formeln $\f(x)$ $\x_0$ $\f''(x)$

\ f(x_0+r)=f(x_0)+rf'(x_0)+\frac{r^2}{2}f''(x_0)+o(r^2),

vid ,

r\till 0,

\f(x_0-r)=f(x_0)-rf'(x_0)+\frac{r^2}{2}f''(x_0)+o(r^2),

på

r\till 0,

den andra derivatan är gränsen

\ f''(x_0)=\lim\limits_{r \to 0} \frac{2}{r^2} \left\{ \frac{f(x_0+r)+f(x_0-r)}{ 2}-f(x_0)\höger\}.

Om vi övergår till en funktion av variabler, fortsätter vi på samma sätt, det vill säga för en given punkt , beakta dess dimensionella sfäriska radieområde och skillnaden mellan det aritmetiska medelvärdet $\F$ $\k$ $M_0(x_1^0,x_2^0, ... ,x_k^0)$ $\k$ $\ Q_r$ $\r$

\ \frac{1}{\sigma(S_r)}\int\limits_{S_r}Fd\sigma

funktion på gränsen för ett sådant område med gränsens area och värdet i mitten av denna grannskap , då i fallet med kontinuitet för den andra partiella derivatan av funktionen i närheten av punkten , värdet av Laplacian är vid denna tidpunkt gränsen $\F$ $\S_r$ $\ \sigma(S_r)$ $\F(M_0)$ $\M_0$ $\F$ $\M_0$ $\\Delta F$

\ \Delta F(M_0)=\lim\limits_{r \to 0} \frac{2k}{r^2} \left\{\frac{1}{\sigma(S_r)}\int\limits_{S_r }F(M)d\sigma -F(M_0) \right\}.

Samtidigt med föregående representation, för Laplace-operatorn för funktionen , som har kontinuerliga andraderivator, formeln $\F$

\ \Delta F(M_0)=\lim\limits_{r \to 0} \frac{2(k+2)}{r^2} \left\{\frac{1}{\omega(Q_r)}\ int\limits_{Q_r}F(M)d\omega -F(M_0) \right\},

var är kvarterets volym

\ \omega(Q_r)

\ Q_r.

Denna formel uttrycker det direkta förhållandet mellan en funktions Laplacian och dess volymmedelvärde i närheten av en given punkt.

Beviset för dessa formler finns till exempel i [3] .

Ovanstående gränser, i alla fall där de finns, kan tjäna som en definition av Laplace-operatorn för en funktion. En sådan definition är att föredra framför den vanliga definitionen av Laplacian, som förutsätter förekomsten av andraderivator av funktionerna i fråga, och sammanfaller med den vanliga definitionen i fallet med kontinuitet för dessa derivat. $\F.$

Uttryck för Laplace-operatorn i olika kurvlinjära koordinatsystem

I godtyckliga ortogonala kurvlinjära koordinater i tredimensionellt utrymme : $q_1,\ q_2,\ q_3$

\Delta f (q_1,\ q_2,\ q_3) = \operatörsnamn{div}\,\operatörsnamn{grad}\,f(q_1,\ q_2,\ q_3) =

=\frac{1}{H_1H_2H_3}\left[ \frac{\partial}{\partial q_1}\left( \frac{H_2H_3}{H_1}\frac{\partial f}{\partial q_1} \right) + \frac{\partial}{\partial q_2}\left( \frac{H_1H_3}{H_2}\frac{\partial f}{\partial q_2} \right) + \frac{\partial}{\partial q_3}\ vänster( \frac{H_1H_2}{H_3}\frac{\partial f}{\partial q_3} \right)\right],

var är Lame-koefficienterna .

Hej\

Cylindriska koordinater

I cylindriska koordinater utanför linjen : $\r=0$

\Delta f = {1 \over r} {\partial \over \partial r} \left( r {\partial f \over \partial r} \right) + {\partial^2f \over \partial z^2} + {1 \over r^2} {\partial^2 f \over \partial \varphi^2}

Sfäriska koordinater

I sfäriska koordinater utanför ursprunget (i tredimensionellt utrymme):

\Delta f = {1 \över r^2} {\partial \over \partial r} \left( r^2 {\partial f \over \partial r} \right) + {1 \over r^2 \sin \theta} {\partial \over \partial \theta} \left( \sin \theta {\partial f \over \partial \theta} \right) + {1 \over r^2\sin^2 \theta} { \partial^2 f \over \partial \varphi^2}

eller

\Delta f = {1 \over r} {\partial^2 \over \partial r^2} \left( rf \right) + {1 \over r^2 \sin \theta} {\partial \over \partial \theta} \left( \sin \theta {\partial f \over \partial \theta} \right) + {1 \over r^2 \sin^2 \theta} {\partial^2 f \over \partial \ varphi^2}.

Om i n -dimensionellt utrymme: $\f=f(r)$

\Delta f = {d^2 f\över dr^2} + {n-1 \över r } {df\över dr}.

Paraboliska koordinater

I paraboliska koordinater (i tredimensionellt rum) utanför ursprunget:

\Delta f= \frac{1}{\sigma^{2} + \tau^{2}} \left[ \frac{1}{\sigma} \frac{\partial }{\partial \sigma} \left ( \sigma \frac{\partial f}{\partial \sigma} \right) + \frac{1}{\tau} \frac{\partial }{\partial \tau} \left( \tau \frac{\ partiell f}{\partial \tau} \right)\right] + \frac{1}{\sigma^2\tau^2}\frac{\partial^2 f}{\partial \varphi^2}

Cylindriska paraboliska koordinater

I koordinaterna för en parabolcylinder utanför origo:

\Delta F(u,v,z)={\frac {1}{c^{2}(u^{2}+v^{2})}}\vänster[{\frac {\partial ^{2 }F}{\partial u^{2))}+{\frac {\partial ^{2}F}{\partial v^{2))}\right]+{\frac {\partial ^{2} F}{\partial z^{2}}}.

Allmänna kurvlinjära koordinater och Riemannska utrymmen

Låt ett lokalt koordinatsystem ges på ett jämnt grenrör och vara en riemannsk metrisk tensor på , det vill säga metriken har formen $X$ $g_{ij}$ $X$

ds^2 =\sum^n_{i,j=1}g_{ij} dx^idx^j

Beteckna med elementen i matrisen och $g^{ij}$ $(g_{ij})^{-1}$

g = \operatörsnamn{det} g_{ij} = (\operatörsnamn{det} g^{ij})^{-1}

Divergensen för ett vektorfält som ges av koordinater (och representerar en första ordningens differentialoperator ) på ett grenrör X beräknas med formeln $F$ $F^i$ $\sum_i F^i\frac{\partial}{\partial x^i}$

\operatorname{div} F = \frac{1}{\sqrt{g}}\sum^n_{i=1}\frac{\partial}{\partial x^i}(\sqrt{g}F^i )

och komponenterna i gradienten för funktionen f , enligt formeln

(\nabla f)^{j}=\summa _{{i=1}}^{n}g^{{ij}}{\frac {\partial f}{\partial x^{i}}}.

Laplace- Beltrami-operatören på : $X$

\Delta f=\operatörsnamn {div}(\nabla f)={\frac {1}({\sqrt {g))))\summa _{{i=1))^{n}{\frac {\ partiell }{\partial x^{i))}{\Big (}{\sqrt {g))\summa _{{k=1))^{n}g^{{ik)){\frac {\ partiell f}{\partial x^{k))}{\Big )}.

Värdet är en skalär, det vill säga det ändras inte när koordinaterna transformeras. $\Delta f$

Applikation

Med den här operatorn är det bekvämt att skriva Laplace , Poissons ekvationer och vågekvationen . Inom fysik är Laplace-operatorn tillämpbar inom elektrostatik och elektrodynamik, kvantmekanik , i många ekvationer av kontinuumfysik , och i studiet av jämvikten mellan membran, filmer eller gränssnitt med ytspänning (se Laplace-tryck ), i stationära problem med diffusion och värmeledning, som reducerar, i den kontinuerliga gränsen, till de vanliga Laplace- eller Poisson-ekvationerna eller till några av deras generaliseringar.

Variationer

D'Alembert-operatorn är en generalisering av Laplace-operatorn för hyperboliska ekvationer . Inkluderar andraderivatan med avseende på tid.
Vektor Laplace-operatorn är en generalisering av Laplace-operatorn för fallet med ett vektorargument .

Se även

Nabla-operatör
D'Alembert operatör
Laplace ekvation
harmonisk funktion
Kirchhoff matris
V.G.Vodnev, A.F.Naumovich, N.F.Naumovich "Mathematical Dictionary of Higher Education". Förlag MPI 1984.

Anteckningar

↑ Notationen för Laplace-operatorn i form av kvadraten på nabla-operatorn bör undvikas , eftersom det inte framgår av en sådan notation om skalär- eller vektorprodukten avses med kvadratur.
↑ V.G. Vodnev, A.F. Naumovich, N.F. Naumovich "Mathematical Dictionary of Higher School". MPI Publishing House 1984. Artikel "Laplace-operatör" och "Vektorfältrotor".
↑ Timan A. F., Trofimov V. N. Introduktion till teorin om harmoniska funktioner. M. Vetenskap. 1968. 208s.

Länkar

MathWorld-beskrivning av Laplacian Arkiverad 17 juni 2020 på Wayback Machine

Differentialkalkyl

Main

privata vyer

Differentialoperatorer
( i olika koordinater )

Första beställning	Nabla-operatör Lutning Divergens Rotor Helmholtzian
andra beställning	Elliptisk operatör Laplace-operatör Laplace vektor operatör D'Alembert operatör Laplace-Beltrami operatör
högre order	Hypoelliptisk operatör

Relaterade ämnen