R-funktion

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 1 maj 2016; kontroller kräver 5 redigeringar .

R-funktion ( Rvachev- funktion ) - en numerisk funktion av reella variabler, vars tecken bestäms helt av tecknen på dess argument med motsvarande uppdelning av den numeriska axeln i intervall och . R-funktioner introducerades först i verk av V. L. Rvachev [1] [2] [3] . Till skillnad från klassisk analytisk geometri handlar teorin om R-funktioner om syntesen av problem och ekvationer med kända egenskaper. [fyra]

För att studera R-funktioner måste man inte bara kunna klassisk analytisk geometri, utan även mängdlära.

Definition

En numerisk funktion kallas en R-funktion om det finns en tillhörande boolesk funktion med samma antal argument som

Begreppet R-funktion introduceras på liknande sätt för antalet argument

Varje R-funktion har en unik tillhörande boolesk funktion. Det omvända är inte sant: samma booleska funktion motsvarar ett oändligt antal (gren) av R-funktioner.

Uppsättningen av R-funktioner är sluten i betydelsen överlagring av R-funktioner. Ett system av R-funktioner kallas tillräckligt komplett om mängden av alla superpositioner av element (mängden av -realiserbara funktioner) har en icke-tom skärningspunkt med varje gren av mängden R-funktioner. Ett tillräckligt villkor för fullständighet är fullständigheten hos systemet med motsvarande tillhörande booleska funktioner.

Kompletta system av R-funktioner

Det mest använda kompletta systemet med R-funktioner är systemet (för ):

När vi har systemet :

När vi har systemet :

I det senare fallet sammanfaller R-funktionerna för konjunktion och disjunktion med motsvarande t-norm och t-konorm för fuzzy logik :

Applikationer

Med hjälp av R-funktioner är det möjligt att i implicit form konstruera ekvationerna för gränserna för sammansatta domäner från de kända ekvationerna för enkla domäner. Beskrivning av gränsen för ett komplext område i form av ett enda analytiskt uttryck gör att du kan skapa strukturer för att lösa gränsvärdesproblem för matematisk fysik som är beroende av obestämda komponenter och exakt uppfyller gränsvillkoren . De osäkra komponenterna i sådana strukturer kan sedan hittas genom en av variations- eller projektionsmetoderna för att lösa gränsvärdesproblem (samlokalisering, Rayleigh-Ritz , Bubnov-Galyorkin-Petrov , minsta kvadrater ). Metoden för att lösa randvärdesproblem för partiella differentialekvationer baserade på teorin om R-funktioner kallas strukturmetoden för R-funktioner eller, i utländsk litteratur, RFM (R-Functions Method).

R-funktioner kan betraktas som ett verktyg för oändligt värdead logik eller fuzzy logik .

R-funktioner används (främst av elever från den vetenskapliga Kharkov - skolan) för att lösa en stor klass av problem inom matematisk fysik ( teori om elasticitet [5] [6] [7] [8] [9] , elektrodynamik [10] [ 11] [12] , teori termisk konduktivitet [13] [14] [15] [16] ), samt inom flerdimensionell digital signal- och bildbehandling [17] , datorgrafik och andra områden.

Tillämpning av teorin om R-funktioner och vågor på lösningen av gränsvärdesproblem inom matematisk fysik

I arbetet av professor V.F. Kravchenko och hans elev A.V. Yurin [12] föreslog och underbyggde en ny metod baserad på teorin om R-funktioner och WA-funktionssystem [18] [19] [20] (vågor byggda på basis av atomfunktioner), med hjälp av Galerkin-Petrov variationen princip.

När man överväger en bred klass av gränsvärdesproblem av olika fysisk karaktär, blir det nödvändigt att lösa partiella differentialekvationer där området som studeras har en komplex konfiguration. I sådana fall används som regel numeriska metoder: rutnät (metod för ändliga skillnader, ändliga element, gränselement), variations- och projektionsmetoder (metoden för Ritz, Bubnov-Galerkin-Petrov, kollokationer, Treftts, minsta kvadratmetoden, metod för fiktiva områden , R-funktioner). Men var och en av dem har sina egna fördelar och nackdelar. Således har rutnätmetoder en hög effektivitet av algoritmen (på grund av vilken de används i stor utsträckning), men de tar inte exakt hänsyn till geometrin hos objektet som studeras. När det gäller variationsmetoder är det inte alltid möjligt att konstruera basfunktioner som skulle uppfylla alla erforderliga villkor. Därför är deras användning begränsad. Metoden för R-funktioner [11] , som har geometrisk flexibilitet och universalitet med avseende på den valda metoden för att minimera det funktionella, bör särskilt lyftas fram . Tillämpningen av detta tillvägagångssätt kräver betydande beräkningskostnader. Detta beror på användningen av strukturformler, som är baserade på funktionerna i regionen konstruerade med hjälp av R-operationer. Sådana funktioner kan ha en komplex struktur, och för att beräkna integraler av dem över en region av icke-standardform är det nödvändigt att använda kvadraturformler med en hög noggrannhetsordning. Wavelet-baser gör det möjligt att kringgå ovanstående nackdelar på grund av deras unika egenskaper [21] [22] och utveckla ett adaptivt beräkningsschema utan att använda integrationsoperationen. Detta tillvägagångssätt är möjligt på grund av införandet av speciella koefficienter som återspeglar basens differential- och integralegenskaper, såväl som koefficienterna för wavelet-expansionen av domänfunktionerna, gränsförhållanden och den högra sidan av ekvationen. Huvudverktyget för att implementera den nya metoden baserad på R-funktioner och wavelets är Galerkin-Petrov-schemat [23] [24] för att lösa partiella differentialekvationer.

I verk [12] [20] , med hjälp av exemplet att lösa gränsvärdesproblem av elliptisk typ, visas effektiviteten av metoden för R-funktioner (V.L. Rvachevs funktioner) i kombination med WA-funktionssystem [18] , som tar bort alla nackdelar som anges nedan.

Anteckningar

  1. ↑ Rvachev V. L. Geometriska tillämpningar av logikens algebra. - Kiev: Tekhnika, 1967.
  2. ↑ Rvachev V. L. Metoder för logikalgebra i matematisk fysik. - Kiev: Nauk. tanke, 1974.
  3. ↑ Rvachev V. L. Teorin om R-funktioner och några av dess tillämpningar. - Kiev: Nauk. trodde 1982.
  4. ↑ Kaledin, Valery Olegovich. Teori om R-funktioner: en lärobok för lärosäten i riktning mot Tillämpad matematik och informatik: rek. UMO-universitet i Ryska federationen / V. O. Kaledin, E. V. Reshetnikova, V. B. Gridchina; delstaten Kemerovo. un-t, Novokuznetsk in-t (fil.). - 2:a uppl., reviderad. och ytterligare - Novokuznetsk: NFI KemSU, 2017. - 119 sid.
  5. ↑ Rvachev V. L., Kurpa L. V., Sklepus N. G., Uchishvili L. A. Metod för R-funktioner vid problem med böjning och vibrationer av plattor med komplex form. - Kiev: Naukova Dumka, 1973.
  6. ↑ Rvachev V. L., Protsenko V. S. Kontaktproblem av elasticitetsteori för icke-klassiska regioner. - Kiev: Naukova Dumka, 1977.
  7. ↑ Rvachev V. L., Kurpa L. V. R-funktioner i problem med plåtteorin. - Kiev: Naukova Dumka 1987.
  8. ↑ Rvachev V. L., Sinekop N. S. Metod för R-funktioner i problem med teorin om elasticitet och plasticitet. - Kiev: Naukova Dumka 1990.
  9. ↑ Pobedrya B. E. Numeriska metoder i teorin om elasticitet och plasticitet. - M .: Moscow State Universitys förlag, 1995.
  10. ↑ Kravchenko V. F., Basarab M. A. Boolesk algebra och approximationsmetoder i gränsvärdesproblem för elektrodynamik. — M.: Fizmatlit, 2004.
  11. ↑ 1 2 Kravchenko VF, Rvachev VL Algebra av logik, atomfunktioner och vågor i fysiska tillämpningar. — M.: Fizmatlit, 2006.
  12. ↑ 1 2 3 V.F. Kravchenko, A.V. Yurin. Tillämpning av teorin om R-funktioner och vågor på lösning av gränsvärdesproblem av elliptisk typ. Elektromagnetiska vågor och elektroniska system. 2009. V.14. Nummer 3. s. 4-39.
  13. ↑ Rvachev V. L., Slesarenko A. P. Algebro-logiska och projektionsmetoder i värmeöverföringsproblem. - Kiev: Nauk. tanke, 1978.
  14. ↑ Basarab M. A., Kravchenko V. F., Matveev V. A. Matematisk modellering av fysikaliska processer i gyroskopi. - M .: Radioteknik, 2005.
  15. ↑ Basarab M. A., Kravchenko V. F., Matveev V. A. Metoder för modellering och digital signalbehandling i gyroskopi. — M.: Fizmatlit, 2008.
  16. ↑ Matveev V. A., Lunin B. S., Basarab M. A. Navigationssystem baserade på vågiga halvledargyroskop. — M.: Fizmatlit, 2008.
  17. ↑ Digital signal- och bildbehandling i radiofysiska tillämpningar / Ed. V. F. Kravchenko. — M.: Fizmatlit, 2007.
  18. ↑ 1 2 V.F. Kravchenko, O.S. Labunko, A.M. Lehrer, G.P. Sinyavsky. Kapitel 3, 4 // Beräkningsmetoder i modern radiofysik. Under. ed. V.F. Kravchenko. — Moskva: Fizmatlit, 2009.
  19. ↑ Kravchenko V.F., Kravchenko O.V., Pustovoit V.I., Churikov D.V., Yurin A.V. Tillämpning av familjer av atomära, WA-system och R-funktioner i moderna problem inom radiofysik. Del II // Radioteknik och elektronik: Granskning. - 2015. - Nr T. 60. Nr 2 . — S. 109-148 .
  20. ↑ 1 2 Kravchenko V.F., Kravchenko O.V., Pustovoit V.I., Churikov D.V., Yurin A.V. Tillämpning av familjer av atomära, WA-system och R-funktioner i moderna problem inom radiofysik. Del IV // Radioteknik och elektronik. - 2015. - T. 60 , nr 11 . - S. 1113-1152 .
  21. ↑ Dobeshi I. Tio föreläsningar om wavelets. Izhevsk: Forskningscentrum "Regular and Chaotic Dynamics", 2001.
  22. ↑ Novikov I.Ya., Protasov V.Yu., Skopina M.A. Stänkteori. Moskva: Fizmatlit, 2006.
  23. ↑ Aubin J.P. Ungefärlig lösning av elliptiska gränsvärdesproblem. M.: Mir, 1972.
  24. ↑ Krasnoselsky M.A., Vainenko G.M., Zabreiko P.P., Rutitsky Ya.B., Stetsenko V.Ya. Ungefärlig lösning av operatorekvationer. Moskva: Nauka, 1969.

Se även

Länkar