Adiabatisk invariant

En adiabatisk invariant är en fysisk storhet som inte ändras med en jämn förändring i vissa parametrar i ett fysiskt system , så att den karakteristiska tiden för denna förändring är mycket längre än den karakteristiska tiden för de processer som sker i själva systemet [1] .

Ursprunget till termen

Adiabatisk process innebar ursprungligen en process utan värmeväxling med omgivningen. Namnet uppstod från termen "adiabatiskt skal" ( annat grekiskt ἀδιάβατος - "ogenomträngligt") - ett skal som inte låter värme passera igenom.

Men i mitten av 1900-talet började vissa vetenskapsmän (särskilt L. D. Landau ) att kalla detta en process som passerar genom praktiskt taget jämviktstillstånd, det vill säga ganska långsamt och smidigt. Nu kallas en sådan process kvasi-statisk eller jämvikt. Historiskt sett uppträdde namnet "adiabatisk invariant" i analogi med en sådan termodynamisk process.

För närvarande används ordet "adiabatisk" igen i sin ursprungliga betydelse ("process utan värmeväxling med mediet"), men termen "adiabatisk invariant" har redan etablerat sig.

Klassisk mekanik

I ett klassiskt mekaniskt system som utför periodisk rörelse med en period och beror på parametern , bestäms adiabaticiteten för parameterändringen av tillståndet $T$ $\lambda$

T{\frac {d\lambda }{dt}}\ll \lambda

Hamiltonfunktionen hos systemet beror på dess interna variabler och parametern

{\mathcal {H}}={\mathcal {H}}(q,p,t,\lambda )

Interna variabler och förändras snabbt med tiden, med en period på . Men systemets energi är integralen av rörelse med den konstanta parametern . När parametern ändras över tiden $q$ $sid$ $T$ $E$ $\lambda$

{\frac {dE}{dt))={\frac {\partial {\mathcal {H))}{\partial \lambda )){\frac {d\lambda }{dt))

När detta uttryck är medelvärde över tid över en period kan vi anta att parametern är oförändrad. $\lambda$

{\overline {\frac {dE}{dt))}={\frac {d\lambda }{dt)){\overline {\frac {\partial {\mathcal {H))}{\partial \lambda }}}

där medelvärdet definieras som

{\overline {\frac {\partial {\mathcal {H))}{\partial \lambda ))}={\frac {1}{T))\int \limits _{0}^{T }{\frac {\partial {\mathcal {H))}{\partial \lambda ))\,dt

Det är bekvämt att byta från integration över tid till integration över en variabel : $q$

dt={\frac {dq}{\partial {\mathcal {H}}/\partial p}}

I det här fallet är perioden $T$

T=\oint {\frac {dq}{\partial {\mathcal {H))/\partial p))

där integrationen genomförs framåt och bakåt inom koordinatförändringen under rörelseperioden.

Att skriva momentum som en funktion av energi , koordinat och parameter, efter några transformationer kan man få $E$ $q$

\oint \left({\frac {\partial p}{\partial E)){\overline {\frac {\partial E}{\partial t))}+{\frac {\partial p}{ \partial \lambda }}{\frac {d\lambda }{dt}}\right)\,dq=0

Äntligen kan du skriva

{\overline {\frac {dI}{dt))}=0

där värdet

I={\frac {1}{2\pi }}\oint p\,dq

och kommer att vara en adiabatisk invariant.

Integralen som ingår i det resulterande uttrycket får en enkel geometrisk betydelse om vi vänder oss till begreppet fasrummet och fasbanan för systemet i det. I det aktuella fallet har systemet en frihetsgrad , så fasutrymmet är ett fasplan som bildas av en uppsättning punkter med koordinater och . Eftersom systemet utför periodisk rörelse är dess fasbana [2] en sluten kurva på detta plan, respektive integralen tas längs denna slutna kurva. Som ett resultat följer det att integralen är lika med arean av figuren som begränsas av systemets fasbana. $sid$ $q$ $\oint p\,dq$

Arean kan också uttryckas som en tvådimensionell integral, då för den adiabatiska invarianten,

I={\frac {1}{2\pi }}\int dp\,dq

Exempel. Harmonisk oscillator

Betrakta, som ett exempel, en endimensionell harmonisk oscillator . Hamiltonfunktionen hos en sådan oscillator har formen

H={\frac {p^{2}}{2m}}+{\frac {m\omega ^{2}q^{2}}{2}}

var är oscillatorns naturliga (cykliska) frekvens . Fasbaneekvationen i detta fall bestäms av energisparlagen och har därför formen $\omega$ $H(p,q)=E$

{\frac {p^{2}}{2m}}+{\frac {m\omega ^{2}q^{2}}{2}}=E

Det kan ses från ekvationen att banan är en ellips med halvaxlar och följaktligen dess yta, dividerat med , är lika med . Således är kvantiteten en adiabatisk invariant för en harmonisk oscillator. Det följer att i de fall där parametrarna för oscillatorn ändras långsamt, ändras dess energi i proportion till frekvensen. ${\sqrt {2mE}}$ ${\displaystyle {\sqrt {2E/m\omega ^{2))))$ $2\pi$ ${\frac {E}{\omega ))$ $I={\frac {E}{\omega ))$

Egenskaper för den adiabatiska invarianten

Energiderivatan av den adiabatiska invarianten är lika med perioden dividerat med . $2\pi$

2\pi {\frac {\partial I}{\partial E))=T

eller

{\frac {\partial E}{\partial I))=\omega

var är den cykliska frekvensen. $\omega$

Med hjälp av kanoniska transformationer kan man göra en adiabatisk invariant av en ny variabel, som kallas handlingsvariabeln. I det nya variabelsystemet spelar det rollen som momentum . Variabeln konjugerat till den kanoniskt kallas vinkelvariabeln .

Anteckningar

↑ Dykhne A. M. Adiabatiska invarianter // Physical Encyclopedia / Kap. ed. A. M. Prokhorov . - M .: Soviet Encyclopedia , 1988. - T. 1. Aharonov-Bohm-effekten - Långa rader. - S. 26. - 704 sid. — 100 000 exemplar.
↑ Fasbana - en uppsättning punkter med koordinater lika med de värden som antar värdena och i processen med systemrörelse. $sid$ $q$

Litteratur

Landau L. D., Lifshitz E. M. Mechanics. - 4:e upplagan, reviderad. — M .: Nauka , 1988 . - S. 199-202. — 215 sid. — (”Teoretisk fysik”, volym I). — ISBN 5-02-013850-9 .
Kotelnikov IA- föreläsningar om plasmafysik. Volym 1: Fundamentals of Plasma Physics. - 3:e uppl. - St Petersburg. : Lan , 2021. - 400 sid. - ISBN 978-5-8114-6958-1 .