Fredholm alternativ

Fredholm-alternativet är en uppsättning av Fredholms satser om lösbarheten av Fredholm-integralekvationen av det andra slaget.

Olika formuleringar av alternativet ges. Källmässigt förstås Fredholmsalternativet endast som det första Fredholmssatsen, som säger att antingen en inhomogen ekvation har en lösning för vilken fri term som helst, eller så har en adjoint (unions)ekvation en icke-trivial lösning [1] . Fredholms alternativ för integralekvationer är en generalisering till det oändligt dimensionella fallet av liknande satser i ett ändligt dimensionellt rum (för system av linjära algebraiska ekvationer ). Generaliserad av F. Riss till linjära operatorekvationer med helt kontinuerliga operatorer i Banach-rum [2] .

Finitdimensionellt utrymme

Antingen har ekvationen en lösning för valfri höger sida , eller så har ekvationen som ansluter till den en icke-trivial lösning $\mathcal Az = u$ $u \i W$ $\mathcal A^*w=0$

Bevis

Metod 1

Låt . Det finns två fall: antingen , eller . Villkoret är ekvivalent med villkoret , vilket innebär att ekvationen har en lösning för eventuella . Dessutom, eftersom , då , och därmed, har ekvationen inte en lösning som inte är noll. Villkoret är ekvivalent med villkoret , vilket betyder att det finns en vektor som inte är noll , det vill säga en lösning som inte är noll . Dessutom har ekvationen ingen lösning för någon . $r = \operatörsnamn{rg} \mathcal A, ~m = \operatörsnamn{dim} W$ $r=m$ $r<m$ $r=m$ $\operatorname {im} {\mathcal {A}}=W$ $\mathcal Az = u$ $u \i W$ $\operatörsnamn{rg} \mathcal A = \operatörsnamn{rg} \mathcal A^*$ $\operatorname {ker} {\mathcal {A}}^{*}=0$ $\mathcal A^*w=0$ $r<m$ $\operatörsnamn {dim} (\operatörsnamn {ker} {\mathcal {A}}^{*})>0$ $w \in \operatörsnamn{ker} \mathcal A^*$ $\mathcal A^*w=0$ $\operatörsnamn{im} \mathcal A \ne W$ $\mathcal Az = u$ $u \i W$

Metod 2

Låt system (1), d.v.s. ha en lösning för eventuella . I det här fallet , eftersom det annars för vissa skulle vara mindre än rangordningen för den utökade matrisen och systemet (1) skulle vara inkonsekvent på grund av Kronecker-Capelli-satsen . Eftersom , då under dessa förhållanden , det vill säga är lika med antalet okända i system (2) och detta system har bara en trivial lösning. $A\cdotX=B$ $B$ $\operatörsnamn{rg} A = m$ $B$ $\operatörsnamn{rg} A$ $\operatörsnamn{rg} A^T= \operatörsnamn{rg} A$ $\operatörsnamn{rg} A^T = m$
Låt nu systemet vara inkonsekvent för vissa . Därför betyder , , och , det vill säga rangordningen för matrisen för system (2) är mindre än antalet okända och detta system har en lösning som inte är noll. $A\cdotX=B$ $B$ $\operatörsnamn{rg}A<m$ $\operatörsnamn{rg}A^T<m$

Följande notationer används i beviset: — matrisens rangordning , — rummets dimension , — operatorns bild , — operatorns defekt , — operatorns kärna , — den transponerade matrisen . $\operatörsnamn{rg} A$ $A$ $\operatörsnamn{dim} W$ $W$ $\operatörsnamn{im} \mathcal A$ ${\mathcal {A}}$ $\operatörsnamn{def} \mathcal A$ $\mathcal A$ $\operatörsnamn{ker} \mathcal A$ ${\mathcal {A}}$ $A^{T}$

Fredholm-alternativet för en linjär operator som verkar i ett utrymme innebär att antingen den grundläggande ekvationen har en unik lösning för någon , eller så har den homogena ekvationen som ansluter sig till den en icke-trivial lösning [1] . ${\mathcal {A}}$ $V$ $u\in V$

Integralekvationer

Formuleringar

Fredholmsalternativet är formulerat för Fredholms integralekvation

\varphi(x) = \lambda \int\limits_0^a K(x, y) \varphi(y) \, dy + f(x) \qquad (1)

med en kontinuerlig kärna och dess tillhörande ekvation $K(x, y)$

\psi(x) = \bar \lambda \int\limits_0^a K^*(x, y) \psi(y) \, dy + g(x), \qquad (1')

$K^*(x, y) = \overline{K(y, x)}$ . En homogen ekvation är en ekvation med noll fri term f eller g.

Påstående 1. Om integralekvationen (1) med en kontinuerlig kärna är lösbar i för vilken fri term som helst , så är ekvationen (1') associerad med den lösbar i för vilken fri term som helst , och dessa lösningar är unika ( Fredholms första sats ) . $C[0, a]$ $f \in C[0, a]$ $C[0, a]$ $g \i C[0, a]$

Om integralekvationen (1) är lösbar i C[0, a] inte för någon fri term , då: $f$

1) homogena ekvationer (1) och (1') har samma (ändliga) antal linjärt oberoende lösningar ( Fredholms andra sats );

2) för att ekvation (1) ska vara lösbar är det nödvändigt och tillräckligt att den fria termen är ortogonal mot alla lösningar av unionshomogena ekvationen (1') ( Fredholms tredje sats ) [3] . $f$

Formulering 2. Om Fredholms homogena integralekvation endast har en trivial lösning, så har motsvarande inhomogena ekvation alltid en och endast en lösning. Om den homogena ekvationen har någon icke-trivial lösning, så har den inhomogena integralekvationen antingen ingen lösning alls, eller har ett oändligt antal lösningar beroende på den givna funktionen [4] [5] . $f(x)$

Idé om beviset

Degenererad kärna

Fredholms integralekvation (1) med en degenererad kärna av formen

K(x, y) = \sum_{i = 1}^N f_i(x) g_i(y)

kan skrivas om i formen

\varphi(x) = \lambda \sum\limits_{i = 1}^N c_i f_i(x) + f(x),

var

c_i = \int\limits_0^a \varphi(y) g_i(y) \, dy

är okända nummer. Genom att multiplicera den resulterande likheten med och integrera över intervallet reduceras ekvationen med en degenererad kärna till ett ekvivalent system av linjära algebraiska ekvationer med avseende på de okända : $g_k(x)$ $[0,a]$ $(c_1, c_2, \dots, c_N)$

c_k = \lambda \sum_{i = 1}^N \alpha_{ki} c_i + a_k,

var

\alpha_{ki} = \int\limits_0^a g_k(x) f_i(x) \, dx, \quad a_k = \int\limits_0^a g_k(x) f(x) \, dx.

Därför följer Fredholm-alternativet direkt av det finitdimensionella fallet [6] .

En godtycklig kontinuerlig kärna

I det allmänna fallet är beviset för Fredholm-alternativet för integralekvationer baserat på representationen av en godtycklig kontinuerlig kärna i formen

K(x, y) = P(x, y) + Q(x, y),

där är en degenererad kärna ( polynom ) och är en liten kontinuerlig kärna, . Sedan tar ekvation (1) formen $P(x, y)$ $Q(x,y)$ $|Q(x, y)| < \varepsilon, \, 0 \le x \le a$

\varphi = \lambda P \varphi + \lambda Q \varphi + f,

där och är integrerade operatorer med kärnor och resp. $P$ $F$ $P(x, y)$ $Q(x,y)$

Vi introducerar en okänd funktion med formeln $\Phi (x)$

\Phi = \varphi - \lambda Q \varphi

För är funktionen unikt uttryckt i form av formeln $|\lambda| < \frac{1}{\varepsilon a}$ $\varphi$ $\Phi$

\varphi = (I - \lambda Q)^{-1} \Phi = (I + \lambda R) \Phi,

där är identitetsoperatorn , är en integrerad operator med kärnan , kärnans upplösning . Sedan tar den ursprungliga ekvationen formen $jag$ $R$ $R(x, y, \lambda)$ $Q(x,y)$

\Phi = \lambda T \Phi + f,

var

T = P + \lambda PR

är en integrerad operator med degenererad kärna

T(x, y, \lambda) = P(x, y) + \lambda \int\limits_0^a P(x, \xi) R(\xi, y, \lambda) d\xi,

analytisk i cirkeln . På liknande sätt transformeras den allierade integralekvationen (1') till formen $\lambda$ $|\lambda| < \frac{1}{\varepsilon a}$

\psi = \bar \lambda T^* \psi + g_1.

Således är ekvationerna (1) och (1') cirkelekvivalenta med ekvationer med degenererade kärnor, vilket gör det möjligt att härleda Fredholm-alternativet för det allmänna fallet [6] . $|\lambda| < \frac{1}{\varepsilon a}$

Konsekvenser

Uppsättningen av karakteristiska nummer för den kontinuerliga kärnan har inga ändliga gränspunkter och är därför högst räknebar . Faktum är att i varje cirkel sammanfaller de karakteristiska talen för kärnan med de karakteristiska talen för den degenererade kärnan, som är nollorna för den analytiska funktionen . $|\lambda| < \frac{1}{\varepsilon a}$ $K(x, y)$
Varje karakteristiskt tal har en ändlig multiplicitet (antalet linjärt oberoende egenfunktioner ). Följer av den andra Fredholmssatsen. De karakteristiska talen kan numreras i stigande ordning efter deras modul :

|\lambda_1| \le |\lambda_2| \le\prickar,

upprepas i denna sekvens lika många gånger som dess mångfald. $\lambda_k$

Om är det karakteristiska numret av kärnan , då är det karakteristiska numret av kärnan , och de har samma multiplicitet. $\lambda _{0}$ $K(x, y)$ $\bar \lambda_0$ $K^*(x, y)$
Egenfunktioner av och kärnor och , som motsvarar de karakteristiska siffrorna och respektive och , är ortogonala mot : . $\varphi_k$ $\psi _{i}$ $K(x, y)$ $K^*(x, y)$ $\lambda_k$ $\bar \lambda_i$ $\lambda_k \ne \lambda_i$ $(\varphi_k, \psi_i) = 0$

Med hjälp av dessa egenskaper kan man omformulera Fredholm-alternativet i termer av karakteristiska tal och egenfunktioner:

Om , då är integralekvationerna (1) och (1') unikt lösbara för alla fria termer. $\lambda \ne \lambda_k, \, k = 1, 2, \prickar$
Om , då de homogena ekvationerna $\lambda = \lambda_k$

\varphi = \lambda_k K \varphi, \quad \psi = \bar \lambda_k K^* \psi,

har samma (ändliga) antal linjärt oberoende lösningar — kärnegenfunktioner och kärnegenfunktioner . $r_k\ge 1$ $\varphi_k, \varphi_{k + 1}, \dots, \varphi_{k + r_k - 1}$ $K(x, y)$ $\psi_k, \psi_{k + 1}, \dots, \psi_{r_k - 1}$ $K^*(x, y)$

Om , då för lösbarheten av ekvation (1) är det nödvändigt och tillräckligt att $\lambda = \lambda_k$

(f, \psi_{k + i}) = 0, \quad i = 0, 1, r_k - 1.

[6]

Banach utrymme

Med tanke på ekvationerna

A x - x = y, \quad (2)

A^* f - f = g, \quad (2')

där är en helt kontinuerlig operatör som agerar i ett Banach-utrymme , och är en adjoint operatör som agerar i ett dubbelutrymme . Då är antingen ekvationerna (2) och (2') lösbara för valfri höger sida, i vilket fall de homogena ekvationerna $A$ $E$ $A^{*}$ $E^{*}$

A x - x = 0

A^* f - f = 0

har bara nolllösningar, eller homogena ekvationer har samma antal linjärt oberoende lösningar

x_1, x_2, \dots, x_n; \quad f_1, f_2, \dots, f_n;

i detta fall, för att ekvation (2) (respektive (2')) ska ha en lösning, är det nödvändigt och tillräckligt att

f_i(y) = 0, \quad i = 1, 2, \dots, n

(respektive ) [7] . $g(x_i) = 0, \, i = 1, 2, \dots, n$

Tillämpning för att lösa problem med gränsvärden för elliptiska ekvationer

Neumanns metod för att lösa Dirichlet-problemet

\Delta u(x) = 0, \quad x \in G, \quad u(s) = g(s), \quad s \in C

är att lösningen söks i formen $u$

u(x) = \int\limits_C \mu(t) \frac{\partial}{\partial n_t} \log \frac{1}{r_{xt))dt,

det vill säga i form av en dubbellagerpotential . Här är ett platt område, är en sluten kurva som begränsar den och har kontinuerlig krökning , är avståndet från en punkt till en punkt på konturen , är den inre normalen till punkten . Funktionen måste uppfylla integralekvationen $G$ $C$ $r_{xt}$ $x$ $t$ $S$ $n_t$ $C$ $t$ $\mu$

\frac{1}{\pi} g(s) = \mu(s) + \int\limits_C K(s, t) \mu(t) \, dt

med kontinuerlig kärna

K(s, t) = \frac{1}{\pi} \frac{\partial}{\partial n_t} \log \frac{1}{r_{xt))dt.

Enligt Fredholm-alternativet har antingen denna inhomogena ekvation en lösning för valfritt val av kontinuerlig funktion , eller den homogena ekvationen $\mu (s)$ $g(s)$

\nu(s) + \int\limits_C K(s, t) \mu(t) \, dt = 0

medger en lösning som inte är noll . Det senare är omöjligt, detta kan visas med maximiprincipen för harmoniska funktioner . Därför har det interna Dirichlet-problemet en lösning för alla kontinuerliga gränsvärden . Liknande resultat erhölls för det externa Dirichlet-problemet , såväl som för Neumann-problemet [8] . $\nu(s)$ $g(s)$

Se även

Anteckningar

↑ 1 2 Ilyin V. A., Kim G. D. Linear Algebra and Analytic Geometry, 1998 , sid. 313.
↑ Lyusternik L. A., Sobolev V. I. Elements of functional analysis, 1965 , sid. 268.
↑ Vladimirov V.S., Zharinov V.V. Equations of matematisk fysik, 2004 , sid. 221.
↑ Tricomi F. Integral Equations, 1960 , sid. 87.
↑ Krasnov M. L. Integralekvationer, 1975 , sid. 49.
↑ 1 2 3 Vladimirov V. S., Zharinov V. V. Equations of matematisk fysik, 2004 , Kapitel IV, § 4.2.
↑ Lyusternik L. A., Sobolev V. I. Elements of functional analysis, 1965 , sid. 280.
↑ Riess F., Sökefalvi-Nagy B. Lectures on Functional Analysis, 1979 , s. 81.

Litteratur

Finitdimensionellt utrymme

Ilyin V. A. , Kim G. D. Linear Algebra and Analytic Geometry. - M . : Moscows förlag. un-ta, 1998. - 320 sid. — ISBN 5-211-03814-2 .

Integralekvationer

Vladimirov V. S. , Zharinov V. V. Ekvationer av matematisk fysik: Lärobok för universitet. - 2:a uppl., stereotyp .. - M . : Fizmatlit, 2004. - 400 sid. - ISBN 5-9221-0310-5 .
Trikomi F. Integralekvationer. - M . : Förlag för utländsk litteratur, 1960.
Krasnov M. L. Integralekvationer. (Introduktion till teori). - M . : Ch. ed. Phys.-Matte. belyst. förlag "Science", 1975.
Petrovsky IG Föreläsningar om teorin om integralekvationer. — M .: Nauka, 1965. — 128 sid.
Riess F. , Sökefalvi-Nagy B. Föreläsningar om funktionsanalys. — M .: Mir, 1979. — 592 sid.

Banach utrymme

Lyusternik L. A. , Sobolev V. I. Element av funktionell analys. - Ed. 2:a, reviderad. — M .: Nauka, 1965. — 520 sid.