Binär grupp av tetraeder

I matematik är den binära gruppen i en tetraeder (betecknad som 2 T eller <2,3,3>) någon icke- abelian grupp av 24 :e ordningen . Gruppen är en förlängning av ordningen 12 tetraedrisk grupp T (eller (2,3,3)) av ordningen 2 cykliska gruppen och är den omvända bilden av tetraedergruppen för 2:1 täckande homomorfism den speciella ortogonal grupp av spinorgruppen . Detta antyder att den binära gruppen i tetraedern är en diskret undergrupp av Spin(3)-gruppen av den 24:e ordningen. $\operatörsnamn {Snurra} (3)\till \operatörsnamn {SO} (3)$

Den binära gruppen av tetraedern beskrivs enklast som en diskret undergrupp av quaternion- enheter under isomorfismen , där Sp(1) är den multiplikativa gruppen av quaternion-enheter (se beskrivningen av denna homomorfism i artikeln quaternions and space rotation ). $\operatorname {Spin} (3)\cong \operatorname {Sp} (1)$

Elements

Den binära gruppen av en tetraeder anges som gruppen av ettor i Hurwitz- ringen av heltal . Det finns 24 sådana enheter

{\displaystyle \{\pm 1,\pm i,\pm j,\pm k,{\tfrac {1}{2))(\pm 1\pm i\pm j\pm k)\))

med valfri kombination av tecken.

Alla 24 enheter är lika med 1 i absolut värde och är därför i gruppen av enheter av kvaternioner Sp(1). Det konvexa skrovet av dessa 24 element i 4-dimensionell rymd bildar en konvex regelbunden 4-dimensionell polyeder som kallas en 24-cell .

Egenskaper

Den binära gruppen av tetraedern 2 T passar in i den korta exakta sekvensen

1\to \{\pm 1\}\to 2T\to T\to 1.

Denna sekvens delar inte i den meningen att 2T inte är en halvdirekt produkt av {±1} och T . Faktum är att det inte finns någon undergrupp 2 T isomorf till T .

Den binära gruppen i tetraedern är den täckande gruppen för den tetraedriska gruppen. Om vi betraktar den tetraedriska gruppen som en alternerande grupp av fyra bokstäver , kommer den binära gruppen av tetraedern att vara en täckande grupp $T\cong A_{4}$ $2T\cong {\widehat {A_{4))}.$

Mitten av gruppen 2T är undergruppen {±1}. Den inre automorfismgruppen är isomorphic , medan den fullständiga automorphismgruppen är isomorphic [1] . $A_{4}$ $S_4$

Den binära gruppen av en tetraeder kan skrivas som en halvdirekt produkt

{\displaystyle 2T=Q\rtimes \mathbb {Z} _{3))

där Q är kvaterniongruppen som består av 8 Lipschitz-enheter och Z 3 , den tredje ordningens cykliska grupp som bildas av ω = −1(1+ i + j + k ). Gruppen Z 3 fungerar på en normal undergrupp Q som en konjugation . Konjugering med avseende på ω är en automorfism av Q som roterar i , j och k .

Det kan visas att tetraederns binära grupp är isomorf till den linjära gruppen SL(2,3), gruppen av alla 2×2 matriser över ett ändligt fält F 3 med enhetsdeterminant.

Gruppuppdrag

Grupp 2 T har en uppgift som definieras av formeln

\langle r,s,t\mid r^{2}=s^{3}=t^{3}=första\rangle

vilket motsvarar

\langle s,t\mid (st)^{2}=s^{3}=t^{3}\rangle .

Generatorer ges av formeln

s={\tfrac {1}{2}}(1+i+j+k)\qquad t={\tfrac {1}{2}}(1+i+jk).

Undergrupper

Kvaterniongruppen , bestående av 8 Lipschitz-enheter , bildar en normal undergrupp på 2 T med index 3. Denna grupp och mitten {±1} är de enda icke-triviala normala undergrupperna.

Alla andra undergrupper i gruppen 2T är cykliska grupper av ordningen 3, 4 och 6 bildade av olika element.

Stora dimensioner

Eftersom den tetraedriska gruppen generaliserar till rotationssymmetrigruppen i n - simplex (som en undergrupp av SO( n )), finns det en motsvarande binär grupp av högre ordning som är en täckning av 2-grenröret, erhållen från täckningen $\operatörsnamn {Snurra} (n)\till \operatörsnamn {SO} (n).$

Rotationssymmetrigruppen för en n - simplex kan representeras som en alternerande grupp av bokstäver, och motsvarande binära grupp är en täckande grupp av 2-grenröret. För alla högre dimensioner utom och (motsvarande 5-dimensionella och 6-dimensionella förenklingar) är denna binära grupp en täckande grupp (maximal täckning) och superperfekt , men för dimensionerna 5 och 6 finns det ytterligare en speciell som täcker 3 -varianter och binära grupper är inte superperfekta. $n+1$ $A_{n+1},$ $A_{6}$ $A_7$

Användning i teoretisk fysik

Den binära gruppen av tetraedern användes i samband med Yang-Mills teorin 1956 av Yang Zhenning [2] . Den användes först för att bygga en fysisk modell av Paul Frampton och Thomas Kephart 1994 [3] . 2012 visades det [4] att förhållandet mellan vinklarna för neutrinoexpansion, erhållet [5] med hjälp av binär tetraedrisk symmetri, överensstämmer med teorin.

Se även

Binär grupp av en polyeder
Binär cyklisk grupp
Binär dihedral grupp
Binär grupp av oktaedern
Binär grupp av icosahedron

Anteckningar

↑ Speciell linjär grupp:SL(2,3) . gruppprops . Tillträdesdatum: 18 juni 2015. Arkiverad från originalet 4 juli 2015. (obestämd)
↑ Fall, 1956 , sid. 874-876.
↑ Frampton, 1995 , sid. 4689-4704.
↑ Eby, 2012 , sid. 117-304.
↑ Eby, 2009 , sid. 386-390.

Litteratur

John H. Conway, Derek A. Smith. Om Quaternions och Octonions. - Natick, Massachusetts: A.K. Peters, Ltd, 2003. - ISBN 1-56881-134-9 .
H.S.M. Coxeter, W.O.J. Moser. Generatorer och relationer för diskreta grupper, 4:e upplagan. - New York: Springer-Verlag, 1980. - ISBN 0-387-09212-9 . 6.5 De binära polyedriska grupperna, sid. 68
E.M. Case, Robert Karplus, C.N. Yang. Konstiga partiklar och bevarandet av isotopisk spin // Fysisk granskning. - 1956. - T. 101 . - doi : 10.1103/PhysRev.101.874 .
Paul H. Frampton, Thomas W. Kephart. Enkla Nonabelian Finita Flavor Groups and Fermion Masses // International Journal of Modern Physics. - 1995. - T. A10 .
David A. Eby, Paul H. Frampton. Nonnoll theta(13)signaler icke-maximal atmosfärisk neutrinoblandning // Fysisk granskning. - 2012. - T. D86 . - doi : 10.1103/physrevd.86.117304 . - arXiv : 1112.2675 .
David A. Eby, Paul H. Frampton, Shinya Matsuzaki. Förutsägelser för neutrinoblandningsvinklar i en T′-modell // Fysikbokstäver. - 2009. - T. B671 . - s. 386-390. - arXiv : 0801.4899 .