Vektor bunt

En vektorbunt är en specifik geometrisk konstruktion som motsvarar en familj av vektorrymdsparametriserade av ett annat utrymme ( det kan till exempel vara topologiskt utrymme , mångfaldigt eller algebraisk struktur ): varje punkt i utrymmet är associerad med ett vektorrum så att deras förening bildas ett utrymme av samma typ som (topologiskt utrymme, varietet eller algebraisk struktur, etc.), som kallas utrymmet för en vektorbunt över . Själva utrymmet kallas buntens bas . $X$ $X$ $x$ $X$ $V_{x}$ $X$ $X$ $X$

En vektorbunt är en speciell typ av lokalt triviala buntar , som i sin tur är en speciell typ av buntar .

Vanligtvis betraktar man vektorrum över reella eller komplexa tal. I det här fallet kallas vektorbuntar för reella respektive komplexa. Komplexa vektorbuntar kan betraktas som riktiga med en extra struktur.

Exempel

Det enklaste exemplet är en trivial bunt , som har formen av en direkt produkt , där är ett topologiskt utrymme (buntens bas) och är ett vektorrum. $X\times V$ $X$ $V$
Ett mer komplicerat exempel är tangentbunten för ett jämnt grenrör : varje punkt på grenröret är associerat med ett tangentutrymme till grenröret vid den punkten. Tangentbunten kan i allmänhet vara icke-trivial.
Ett annat exempel på en icke-trivial bunt är Möbiusremsan . Vi börjar med en trivial bunt av dimension 1 över ett segment och limmar linjerna i dess ändar enligt regeln . Detta är ett exempel på en vektorbunt som inte kan orienteras. $[0,1]$ $[0,t]\sim [1,-t]$

Definitioner

En vektorbunt är en lokalt trivial bunt vars fiber är ett vektorrum, med en strukturgrupp av reversibla linjära transformationer . $V$ $V$

Relaterade definitioner

Ett delpaket U av ett vektorknippe V på ett topologiskt utrymme X är en samling linjära delrum , , som i sig har strukturen som ett vektorknippe. $U_{x}\subset V_{x}$ $x\i X$
En linjebunt är en vektorbunt av rang 1.

Morfismer

En morfism från ett vektorknippetill ett vektorknippeges av ett par kontinuerliga mappningarochså att ${\displaystyle \pi _{1}\colon E_{1}\to X_{1))$ ${\displaystyle \pi _{2}\colon E_{2}\to X_{2))$ ${\displaystyle f\colon E_{1}\to E_{2))$ ${\displaystyle g\colon X_{1}\to X_{2))$

$g\circ \pi _{1}=\pi _{2}\circ f$
för alla är den inducerade mappningen en linjär mappning av vektorrum. $x\in X_{1}$ $\pi _{1}^{-1}(\{x\})\to \pi _{2}^{-1}(\{g(x)\}),$ $f,$

Observera att det är definierat (eftersom är en operation); i det här fallet säger de att det täcker . $g$ $f$ $\pi_{1}$ $f$ $g$

Klassen för alla vektorbuntar, tillsammans med buntmorfismer, bildar kategorin . Genom att begränsa oss till vektorbuntar som är släta grenrör och släta morfismer av buntar får vi kategorin släta vektorbuntar . Vektorbuntsmorfismer är ett specialfall av kartläggning av buntar mellan lokalt triviala buntar, de kallas ofta en homomorfism av (vektor)buntar .

Homomorfismen av buntar från till tillsammans med den omvända homomorfismen kallas isomorfismen av (vektor)buntar . I det här fallet kallas buntarna isomorfa . En isomorfism av en vektorbunt (rank ) över till en trivial bunt (rank over ) kallas trivialisering , medan den kallas trivial (eller trivialiserbar ). Det framgår av definitionen av en vektorbunt att vilken vektorbunt som helst är lokalt trivial . $E_1$ $E_2$ $E_1$ $E_2$ $k$ $E$ $X$ $k$ $X$ $E$ $E$

Operationer på paket

De flesta operationer på vektorrum kan utökas till vektorbuntar genom att göra punktvis .

Till exempel, om är en vektorbunt på , så finns det en bunt på , kallad den dubbla bunten , vars fiber vid en punkt är det dubbla vektorutrymmet . Formellt kan det definieras som en uppsättning par , var och . Den dubbla bunten är lokalt trivial. $E$ $X$ $E^{*}$ $X$ $x\i X$ $(E_{x})^{*}$ $E^{*}$ $(x,\varphi )$ $x\i X$ $\varphi \in E_{x}^{*}$

Det finns många funktionella operationer som utförs på par av vektorrum (på ett enda fält). De sträcker sig direkt till par av vektorbuntar på (över ett givet fält). Här är några exempel. $E,F$ $X$

Whitney-summan , eller bunten av den direkta summan av och, är en vektorbuntpå, vars fiber vid en punktär den direkta summan av vektorutrymmenaoch. $E$ $F$ $E\oplus F$ $X$ $x$ $E_{x}\oplus F_{x}$ ${\displaystyle E_{x))$ $F_{x}$

En tensorproduktbunt definieras på liknande sätt, med användning av punktvisa tensorprodukter av vektorrum. $E\otimes F$

Ett homomorfismknippe ( hom-bundle ) är ett vektorknippe vars fiber vid en punkt är utrymmet för linjära avbildningar från till (ofta betecknad med eller ). Denna bunt är användbar eftersom det finns en bijektion mellan homomorfismer av vektorbuntar från till till och delar till . $\operatorname {Hom} \,(E,F)$ $x$ ${\displaystyle E_{x))$ $F_{x}$ $\operatorname {Hom} \,(E_{x},F_{x})$ $L(E_{x},F_{x})$ $E$ $F$ $X$ $\operatorname {Hom} \,(E,F)$ $X$

Se även

Länkar

Mishchenko A.S. Vektorbuntar och deras applikationer. - M . : Vetenskap. Huvud. ed. Phys.-Matte. lit., 1984. - 208 sid.
Jürgen Jost. Riemannian Geometry and Geometric Analysis - (2002) Springer-Verlag, Berliná ISBN 3-540-42627-2 - Se avsnitt 1.5 .
Ralph Abraham , Jerrold E. Marsden. Foundations of Mechanics, - (1978) Benjamin-Cummings, LondonbISBN 0-8053-0102-X -Se avsnitt 1.5.