Lokalt trivialt paket

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 9 juli 2021; verifiering kräver 1 redigering .

En lokalt trivial bunt är en bunt som lokalt ser ut som en direkt produkt av .

Definition

Låt , och vara topologiska rum . En surjektiv kontinuerlig mappning kallas en lokalt trivial bunt av ett utrymme över en bas med fiber om det för någon punkt på basen finns en stadsdel över vilken bunten är trivial . Det senare betyder att det finns en homeomorfism så att diagrammet är kommutativt $E$ $B$ $F$ $\pi \colon E\till B$ $E$ $B$ $F$ $x\i B$ $U\delmängd B$ $\phi \colon \pi ^{{-1}}(U)\till U\ gånger F$

Här är projiceringen av produkten av utrymmen på den första faktorn. ${\mathrm {proj_{1}}}:\,U\ gånger F\ till U$

Utrymmet kallas också för buntens totala utrymme , eller buntutrymmet . $E$

Relaterade definitioner

En sektion av en bunt är en mappning sådan att . Generellt sett har inte varje paket en sektion. Låt till exempel vara ett grenrör och vara ett underpaket av enhetslängdsvektorer i tangentbunten . Då är sektionen av bunten ett vektorfält utan nollor på . Igelkottskamningssatsen visar att ett sådant fält inte finns på en sfär. $s:B\till E$ $\pi \circ s={\mathrm {id}}_{B}$ $M$ $E\ till M$ $TM$ $E$ $M$
Uppsättningen kallas buntens fiber över spetsen . Varje fiber är homeomorf till rymden , så utrymmet kallas den allmänna (eller modell) fibern i bunten , $F_{x}=\pi ^{{-1}}\{x\}$ $\pi$ $x\i B$ $F$ $F$ $\pi$
En homeomorfism som identifierar begränsningen av en bunt över ett område av en punkt med någon trivial bunt kallas den lokala trivialiseringen av bunten över en grannskap av en punkt . $\varphi$ $\pi$ $x$ $\pi$ $x$
Om är en täckning av basen av öppna uppsättningar, och är motsvarande trivialiseringsmappningar, kallas familjen trivialiserande atlas av bunten . $\{U_{{\alpha }}\}$ $B$ $\varphi _{{\alpha }}:\pi ^{{-1}}(U_{{\alpha }})\till U_{{\alpha }}\ gånger F$ $\{(U_{{\alpha )),\varphi _{{\alpha )))\}$ $\pi :E\till B$
Antag att en lokalt trivial fibrering är försedd med ett bastäcke med distingerad trivialisering och begränsningen av eventuell jämförelsemappning till en fiber tillhör någon undergrupp av gruppen av alla automorfismer . Då kallas det en lokalt trivial bunt med strukturgrupp . $\pi :E\till B$ $\{U_{\alpha }\}$ $B$ $\phi _{\alpha }:U_{\alpha }\times F\to \pi ^{{-1}}(U_{\alpha })$ $\phi _{\alpha }^{{-1}}\circ \phi _{\beta }$ $G$ $F$ $\pi$ $G$

Exempel

Trivial bunt, det vill säga projektion på den första faktorn. $B\ gånger F\ till B$
Varje täckning är en lokalt trivial fibrering med en diskret fiber.
Tangent- , cotangens- och tensorbuntar över ett godtyckligt grenrör är lokalt triviala.
Om är en topologisk grupp , och är dess slutna undergrupp, och faktoriseringen har lokala sektioner, så är det ett fiberknippe ( Steenrod 1951 , §7). $G$ $H$ $\pi :G\to G/H$ $\pi$ $H$
Möbiusremsan är utrymmet för en icke-trivial fibrering över en cirkel.
Hopf-paketet är ett icke-trivialt paket . Det har inga sektioner, eftersom det är ett huvudpaket med strukturgrupp , och varje huvudpaket som tillåter ett avsnitt är trivialt. $S^{3}\till S^{2}=S^{3}/S^{1}$ $U(1)$
En bunt kan konstrueras genom att godtyckligt specificera dess bas (mellanrum ), gemensamma fiber (mellanrum ) och övergångskartor (Cech 1-cocycle ) för något öppet täcke av rymden . Då kan utrymmet E formellt erhållas som en uppsättning trippel av formen med identifieringsregeln: $B$ $F$ $\{u_{{\alpha \beta }}:U_{{\alpha }}\to {\mathrm {Aut}}\,F\}$ $B$ $\{(\alpha ,x,f_{{\alpha }}):\,x\i U_{{\alpha }}),\,f_{{\alpha }}\i F\}$

(\alpha ,x,f_{{\alpha }})=(\beta ,x,f_{{\beta }})

, om

f_{{\beta }}=u_{{\beta \alpha }}f_{{\alpha }}

Egenskaper

För lokalt triviala buntar gäller den täckande homotopisatsen . Låt — vara en lokalt trivial bunt, kartor och , så , och en kartläggningshomotopi ( dvs. ). Sedan finns det en mappningshomotopi så att , det vill säga följande diagram är kommutativt $\pi :E\till B$ $g\colon M\to B$ $f\colon M\to E$ $g=\pi \circ f$ ${\tilde g}\colon M\ gånger [0;1]\till B$ $g$ ${\tilde g}(m,0)=g(m)$ ${\tilde f}\colon M\ gånger [0;1]\till E$ $f$ ${\tilde {g}}=\pi \circ {\tilde {f}}$ ${\begin{matrix}M\times [0;1]\!&&{\stackrel {{\tilde f}}{\longrightarrow }}\!&&E\\\\&&{\tilde g}\searrow &&\downarrow \pi \\\\&&&&B\end{matris}}$
Låt det finnas ett lokalt trivialt fiberknippe ( ibland skrivet formellt som ). Då är sekvensen av homotopigrupper exakt : $E\ till B$ $F$ $F\till E\till B$

\dots \to \pi _{2}(F)\to \pi _{2}(E)\to \pi _{2}(B)\to \pi _{1}(F)\to \pi _{1}(E)\to \pi _{1}(B)\to \pi _{0}(F)

Övergångskartorna uppfyller Cech 1-samcykelvillkoret :

Om , då .

x\in U_{{\alpha }}\cap U_{{\beta }}\cap U_{{\gamma }}

u_{{\beta \alpha }}(x)=u_{{\beta \gamma }}(x)\circ u_{{\gamma \alpha }}(x)

Två buntar över samma bas och med samma fiber är isomorfa om och endast om Cech 1-samcyklerna som motsvarar dem är kohomologiska. (Observera att i fallet när gruppen är icke-kommutativ, bildar den endimensionella kohomologin inte en grupp , utan bildar en uppsättning på vilken gruppen av Cech 0-kokedjor verkar (till vänster) : ${\mathrm {Aut}}\,F$ $H^{1}(B,{\mathrm {Aut}}\,F)$ $C^{0}(B,{\mathrm {Aut}}\,F)$ $u_{{\alpha \beta }}'(x)=f_{{\alpha }}(x)\circ u_{{\alpha \beta }}(x)\circ f_{{\beta }}(x) ^{{-1}}$ ,

var är Cech 0-cochain som verkar på Cech 1-cocycle . 1-samcykler sägs vara kohomologiska om de ligger i samma omloppsbana som denna åtgärd.)

\{f_{{\alpha }}:U_{{\alpha }}\till {\mathrm {Aut}}\,F\}

\{u_{{\alpha \beta }}:U_{{\alpha }}\cap U_{{\beta }}\to {\mathrm {Aut}}\,F\}

För varje lokalt trivial bunt och kontinuerlig mappning är den inducerade bunten lokalt trivial. $\pi :X\till B$ $f:B'\till B$ $f^{*}(\pi)$

Variationer och generaliseringar

Lokalt triviala buntar är ett specialfall
- Gurevich buntar och
- Serre fibrationer .

Om utrymmena är släta (differentierbara) grenrör , är mappningen slät och tillåter en trivialiserande atlas med släta trivialiseringsmappningar, då kallas själva bunten en slät bunt . $E,B,F$ $\pi$
En bunt kallas holomorf om utrymmena är komplexa grenrör, kartläggningen är holomorf och det finns en trivialiserande atlas med holomorfa trivialiseringsmappningar. $E,B,F$ $\pi$
Huvudbunt .

Se även

Yang-Mills teori

Litteratur

Vasiliev V. A. Introduktion till topologi. - M. : FAZIS, 1997. - 132 sid. — ISBN 5-7036-0036-7 .
Steenrod, Norman (1951), The Topology of Fiber Bundles , Princeton University Press, ISBN 0-691-08055-0