Holomorf funktion

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 20 juni 2022; kontroller kräver 4 redigeringar .

En holomorf funktion eller en envärdig komplex analytisk funktion (från grekiskan ὅλος - "helhet, hel" och μορφή - "form"), ibland kallad en vanlig funktion - en funktion av en komplex variabel , definierad på en öppen delmängd av komplext plan och komplext differentierbart vid varje punkt. $\mathbb {C}$

Till skillnad från det verkliga fallet innebär detta villkor att funktionen är oändligt differentierbar och kan representeras av en Taylor-serie som konvergerar till den .

Holomorfa funktioner kallas också ibland analytiska , även om det andra konceptet är mycket bredare, eftersom en analytisk funktion kan vara multivalued , och kan också betraktas för reella tal .

Definition

Låt vara en öppen delmängd av och vara en komplext värderad funktion på . En funktion sägs vara holomorf i mängden om ett av följande ekvivalenta villkor är uppfyllt: $U$ $\mathbb {C}$ $f:U\to {\mathbb {C}}$ $U$ $U$

Funktionen har en komplex derivata vid varje punkt i mängden , det vill säga gränsen $U$ $f'(z)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(z+h)-f(z)}{h)).$
Funktionen är komplex-differentieringsbar vid varje punkt , det vill säga det finns ett antal så att i en grannskap av punkten $z\in U$ $L\in \mathbb {C}$ $z$ $f(z+h)=f(z)+Lh+o(h)$
Funktionen är reellt differentierbar och Cauchy-Riemann-villkoren och är uppfyllda vid varje punkt . Här och är de verkliga och imaginära delarna av funktionen som övervägs. $z=x+iy\in U$ ${\frac {\partial u}{\partial x))={\frac {\partial v}{\partial y))$ ${\frac {\partial u}{\partial y}}=-{\frac {\partial v}{\partial x}}.$ $u(z)$ $v(z)$
Funktionen är verkligt differentierbar och vid varje punkt , där . $z\in U$ ${\frac {\partial f}{\partial {\bar {z))))=0$ ${\frac {\partial }{\partial {\bar z))}={1 \över 2}\left({\frac {\partial }{\partial x))+i{\frac {\partial }{ \partial y}}\right),$
Taylor-serien av funktionen vid varje punkt har en konvergensradie som inte är noll, och dess summa är i vissa områden lika med . $z\in U$ $F Z)$ $z$
Funktionen är kontinuerlig och integrerad för alla slutna kurvor . $\int \limits _{\Gamma }\,f(z)\,dz=0$ $\Gamma \subset U$

Det faktum att alla dessa definitioner är likvärdiga är ett icke-trivialt och ganska anmärkningsvärt resultat av komplex analys.

En funktion sägs vara holomorf vid en punkt om den är holomorf i något område . $f$ $z_{0}\in U$ $z_{0}$

En funktion kallas holomorf om den är komplex differentierbar i sin domän. $f$

Relaterade definitioner

En hel funktion är en funktion som är holomorf på hela det komplexa planet.
En meromorf funktion är en funktion som är holomorf i en domän och har en pol i alla sina singulära punkter. $\Omega \setminus \{{z_{i)),\;i\i I\subset {\mathbb {N}}\}$ $z_{i}$
En funktion sägs vara holomorf på en kompakt mängd om det finns en öppen mängd som innehåller sådana som är holomorf i . $f$ $K$ $D$ $K$ $f$ $D$

Egenskaper

En komplex funktion är holomorf om och endast om Cauchy-Riemann-villkoren är uppfyllda $u+iv=f(x+iy)$ ${\frac {\partial u}{\partial x))={\frac {\partial v}{\partial y));\quad {\frac {\partial u}{\partial y))=-{\ frac {\partial v}{\partial x))$

och partiella derivat är kontinuerliga.

{\frac {\partial u}{\partial x)),\;{\frac {\partial u}{\partial y)),\;{\frac {\partial v}{\partial x)),\ ;{\frac {\partial v}{\partial y))

Summan och produkten av holomorfa funktioner är en holomorf funktion, som följer av differentieringens linearitet och uppfyllandet av Leibniz-regeln. Kvoten av holomorfa funktioner är också holomorf på alla punkter där nämnaren inte försvinner.
Derivatan av en holomorf funktion är återigen holomorf, så holomorfa funktioner är oändligt differentierbara i sin definitionsdomän.
Holomorfa funktioner kan representeras som konvergenta i något område av varje punkt i Taylor-serien .
Från vilken holomorf funktion som helst kan dess verkliga och imaginära delar särskiljas, som var och en kommer att vara en lösning på Laplace-ekvationen i . Det vill säga om är en holomorf funktion, då och är harmoniska funktioner. $\mathbb {R} ^{2}$ $f(x+iy)=u(x,\;y)+iv(x,\;y)$ $u$ $v$
Om det absoluta värdet av en holomorf funktion når ett lokalt maximum vid en inre punkt av dess domän, då är funktionen konstant (det antas att domänen är ansluten). Därav följer att maximum (och minimum, om det inte är lika med noll) av det absoluta värdet av den holomorfa funktionen kan nås endast vid domänens gräns.
I ett område där den första derivatan av en holomorf funktion inte försvinner och funktionen är univalent , utför den en konform mappning .
Cauchys integralformel relaterar värdet av en funktion vid en inre punkt i en region till dess värden vid gränsen till denna region.
Ur en algebraisk synvinkel är uppsättningen holomorfa funktioner på en öppen uppsättning en kommutativ ring och ett komplext linjärt utrymme . Det är ett lokalt konvext topologiskt vektorrum med seminorm lika med supremum på kompakta delmängder.
Enligt Weierstrass-satsen , om en serie holomorfa funktioner i en domän konvergerar enhetligt på någon kompakt uppsättning till då är dess summa också holomorf, och dess derivata är gränsen för derivator av partiella summor av serien [1] . $D$ $D,$
Om domänen inte försvinner, kommer den att vara holomorf i . $F Z)$ $G$ $f^{{-1}}(z)$ $G$

Vissa egenskaper hos holomorfa funktioner ligger nära egenskaperna hos polynom , vilket dock inte är förvånande - nedbrytbarheten av holomorfa funktioner i Taylor-serien indikerar att funktioner på något sätt är begränsande varianter av polynom. Antag, enligt den grundläggande satsen i algebra , vilket polynom som helst kan ha nollor högst sin grad. För holomofiska funktioner är ett liknande påstående sant, vilket följer av unikhetssatsen i en alternativ form:

Om uppsättningen nollor för en funktion holomorf i en enkelt ansluten domän har en gränspunkt i denna domän , då är funktionen identiskt lika med noll.
För en funktion av flera reella variabler räcker inte differentiabilitet med avseende på var och en av variablerna för att funktionen ska vara differentierbar. För en funktion av flera komplexa variabler är det tillräckligt att vara holomorf i var och en av variablerna för att funktionen ska vara holomorf ( Hartogs sats ).

Exempel

Alla polynom i z är holomorfa funktioner på hela planet . $\mathbb {C}$

Vidare är holomorfa, även om de inte är på hela det komplexa planet, rationella funktioner , exponentialfunktion , logaritm , trigonometriska funktioner , inversa trigonometriska funktioner och många andra klasser av funktioner, såväl som summor, skillnader, produkter, partiella holomorfa funktioner.

Exempel på icke-holomorfa funktioner på inkluderar $\mathbb {C}$

$f(z)=|z|$ ,
$f(z)=\överlinje {z}$ ,

eftersom de inte har en komplex derivata vid något tillfälle. I detta fall kommer begränsningen till den reella axeln att vara en analytisk funktion av den reella variabeln (eftersom den helt sammanfaller med begränsningen av funktionen ). $f(z)=\överlinje {z}$ $f(z)=z$

Historik

Termen "holomorf funktion" introducerades av två elever från Cauchy , Brio ( 1817 - 1882 ) och Bouquet ( 1819 - 1895 ), och kommer från de grekiska orden őλoς ( holos ), som betyder "hel", och μorφń ( morphe ) - form, bild. [2]

Idag föredrar många matematiker termen "holomorf funktion" istället för "analytisk funktion", eftersom det senare begreppet används för ett mer allmänt fall. Dessutom är ett av de viktiga resultaten av komplex analys att varje holomorf funktion är analytisk , vilket inte är uppenbart från definitionen. Termen "analytisk" används vanligtvis för det mer allmänna fallet, när funktionerna inte nödvändigtvis ges på det komplexa planet.

Variationer och generaliseringar

Flerdimensionellt fall

Det finns också en definition av holomorfin av funktioner för flera komplexa variabler

f\colon \mathbb {C} ^{n}\to \mathbb {C} .

För definitionen används begreppen -differentieringsbarhet och -linjäritet för sådana funktioner $\mathbb {C}$ $\mathbb {C}$

C-linjäritet

En funktion kallas -linjär om följande villkor är uppfyllda: $f$ $\mathbb {C}$

${\displaystyle f(z'+z'')=f(z')+f(z''),\quad z',\;z''\in \mathbb {C} ^{n))$ .
$f(\lambda z)=\lambda f(z),\quad z\in \mathbb {C} ^{n},\quad \lambda \in \mathbb {C}$

(för -linjära funktioner ). $\mathbb {R}$ $\lambda \in \mathbb{R}$

För alla linjära funktioner finns det sekvenser som . $\mathbb {R}$ $f$ $\{a_{n}\},\;\{b_{n}\}\subset \mathbb {C}$ $f=\summa _{{i=1}}^{{n}}(a_{i}z_{i}+b_{i}{\bar z}_{i})$
För alla linjära funktioner finns det en sekvens sådan att . $\mathbb {C}$ $f$ $\{a_{n}\}\subset \mathbb {C}$ $f=\summa _{{i=1}}^{{n}}a_{i}z_{i}$

C-differentieringsbarhet

En funktion kallas -differentierbar vid en punkt om det finns funktioner och sådana som finns i närheten av punkten $f$ $\mathbb {C}$ $z\in \mathbb {C} ^{n}$ $l$ $o$ $z$

f(z+h)=f(z)+l(h)+o(h),\quad \lim _{{h\to 0}}{\frac {o(h)}{h}}=0 ,

var är -linjär (för -differentieringsbarhet - -linjär) funktion. $l$ $\mathbb {C}$ $\mathbb {R}$ $\mathbb {R}$

Holomorfism

En funktion sägs vara holomorf i en domän om den är -differentierar i en grannskap av varje punkt i den domänen. $f$ $D,$ $\mathbb {C}$

Kvasianalyticitet

Anteckningar

↑ A. V. Domrin, A. G. Sergeev. Föreläsningar om komplex analys. Första halvåret. - M .: MIAN, 2004. - S. 79. - ISBN 5-98419-007-9 .
↑ Markushevich AI, Silverman, Richard A. (red.) Theory of functions of a Complex Variable. - M .: American Mathematical Society , 2:a uppl. — ISBN 0-8218-3780-X , [1] Arkiverad 13 november 2012 på Wayback Machine .

Litteratur

Holomorphic function // Encyclopedic Dictionary of Brockhaus and Efron : i 86 volymer (82 volymer och ytterligare 4). - St Petersburg. 1890-1907.
Shabat BV Introduktion till komplex analys. — M .: Nauka , 1969 . — 577 sid.
Titchmarsh E. Funktionsteori: Per. från engelska. - 2:a uppl., reviderad. — M .: Nauka , 1980 . — 464 sid.
Privalov II Introduktion till teorin om funktioner för en komplex variabel: En manual för högre utbildning. - M. - L .: Statens förlag, 1927 . — 316 sid.
Evgrafov M. A. Analytiska funktioner. - 2:a uppl., reviderad. och ytterligare — M .: Nauka , 1968 . — 472 sid.
Blakey, Joseph. Universitetsmatematik (neopr.) . — 2:a. — London: Blackie and Sons, 1958.

Länkar

Hazewinkel, Michiel, red. (2001), Analytisk funktion , Encyclopedia of Mathematics , Springer , ISBN 978-1-55608-010-4

Ordböcker och uppslagsverk

Stor norsk
Great Soviet (1 upplaga)

I bibliografiska kataloger
BNF : 119819963 GND : 4025645-5 J9U : 987007562960505171 LCCN : sh85061536 NDL : 00570426 NKC : ph321880