En inre automorfism är en sorts gruppautomorfism definierad i termer av ett fast element i gruppen, kallat ett konjugat element . Formellt, om G är en grupp och a är ett element i gruppen G , så är den inre automorfismen som definieras av elementet a avbildningen f från G till sig själv, definierad för alla x från G av formeln
f ( x ) = a −1 xa .Här använder vi konventionen att gruppelement agerar till höger.
Operationen x ↦ a −1 xa kallas konjugation (se även " Konjugationsklass ") och det är ofta av intresse att skilja de fall där konjugering med hjälp av ett element lämnar ett annat element oförändrat från fallet när konjugation omvandlar ett element till ett annat element.
Faktum är att säga att konjugering av x med a lämnar x oförändrad är detsamma som att säga att a och x pendlar:
a −1 xa = x ⇔ ax = xa .Således fungerar förekomsten och antalet inre automorfismer som inte är identiska som ett mått på kommutativitet i en grupp.
En automorfism av en grupp G är inre om och endast om den förlängs i någon grupp som innehåller G [1] .
Uttrycket a −1 xa skrivs ofta som potensen av x a . Denna notation används eftersom regeln ( x a ) b = x ab är uppfylld .
Varje inre automorfism är naturligtvis en automorfism av gruppen G , det vill säga en bijektiv avbildning från G till G. Det är också en homomorfism , vilket betyder ( xy ) a = x a y a .
Sammansättningen av två inre automorfismer är återigen en inre automorfism (som nämnts ovan - ( x a ) b = x ab ) och mängden av alla inre automorfismer i gruppen G är själv en grupp (gruppen av inre automorfismer i gruppen G ) och betecknas med Inn( G ) .
Inn( G ) är en normal undergrupp av den fullständiga automorfismgruppen Aut ( G ) av G. Den yttre automorfismgruppen Out( G ) är faktorgruppen
Out( G ) ≡ Aut( G )/Inn( G )Gruppen av yttre automorfismer reflekterar på sätt och vis hur många automorfismer av G som är inre. Vilken icke-inre automorfism som helst ger ett icke-trivialt element i gruppen Out( G ) , men olika icke-inre automorfismer kan ge samma element i gruppen Out( G ) .
Genom att associera ett element a ∈ G med en inre automorfism f ( x ) = x a i gruppen Inn( G ) enligt ovan får vi en isomorfism mellan faktorgrupperna G /Z( G ) (där Z( G ) är centrum av G ) och gruppen av inre automorfismer:
G /Z( G ) = Inn( G ) .Detta är en konsekvens av det första isomorfismteoremet , eftersom Z( G ) är exakt uppsättningen av de element i G som ger identitetskartan när de används för att skapa en inre automorfism (konjugation förändrar ingenting).
Ett resultat av Wolfgang Gaschütz säger att om en grupp G är ändlig och är en icke-abelisk p -grupp , så har G en automorfism av ordningen p till viss del som inte är inre.
Ett öppet problem är om någon icke-abelsk p - grupp G har en automorfism av ordningen p . Frågan har ett positivt svar om G uppfyller något av följande villkor:
Gruppen av inre automorfismer Inn( G ) är trivial (det vill säga den består av endast ett neutralt element ) om och endast om gruppen G är abelisk .
Det är lätt att visa att Inn( G ) kan vara en cyklisk grupp endast när den är trivial.
Inre automorfismer kan utgöra hela automorfigruppen. En grupp för vilken alla automorfismer är inre och vars centrum är trivialt kallas komplett . Detta gäller för alla symmetriska grupper med n element när n inte är lika med 2 eller 6. Om n = 6 har den symmetriska gruppen en unik icke-trivial yttre automorfismklass, och för n = 2 den symmetriska gruppen, även om den inte har någon yttre automorfismer, är abelisk, vilket ger ett icke-trivialt centrum, och därför kan gruppen inte vara komplett.
Låt gruppen G sammanfalla med dess härledda undergrupp (i engelsk terminologi, den perfekta gruppen ). Om gruppen av dess inre automorfismer Inn( G ) är enkel , så kallas en sådan grupp G quasi- enkel .
Givet en ring R och en enhet u från R är avbildningen f ( x ) = u −1 xu en automorfism av ringen R . Automorfismer av en ring av detta slag kallas inre automorfismer av ringen R . Dessa automorfismer bildar en normal undergrupp av automorfigruppen i ringen R.
En Lie-algebra - automorfism 𝔊 kallas en inre automorfism om den har formen Ad g , där Ad är den konjugerade kartan av och g är ett element i Lie-gruppen vars algebra är lika med 𝔊 . Notationen för en inre automorfism av Lie-algebra är kompatibel med notationen för grupper i den meningen att en inre automorfism av en Lie-grupp genererar en unik inre automorfism av motsvarande Lie-algebra.