Beräkning av koordinater för skärningspunkter för cirklar med samma höjd av armaturer

Beräkning av koordinaterna för skärningspunkterna för cirklar med lika höjder av armaturer - en analytisk metod som föreslagits av Gauss för att bestämma de geografiska koordinaterna för observatörens plats från de uppmätta höjderna av två armaturer och deras deklinationer och timvinklar , utan grafiska konstruktioner på kartan. Den används i astronomisk navigering tillsammans med Somner- metoden och överföringsmetoden (St. Hilaire-metoden) . Om det är omöjligt att bestämma observationstiden, tillåter metoden ändå att beräkna den geografiska latituden för observatörens plats.

I det allmänna fallet kräver denna metod inte kunskap om den numrerade platsen , eftersom observationen av den tredje armaturen tillåter oss att eliminera tvetydigheten vid bestämning av platsen för de två första. Om det är omöjligt att observera den tredje armaturen, för att lösa tvetydigheten, rekommenderas det att mäta azimuterna för de observerade armaturerna för att jämföra dem med de som beräknats för båda skärningspunkterna. Acceptabel noggrannhet för att ta azimut är ±10°. $(\varphi _{c};\lambda _{c})$

Inledande data

Under en viss tidpunkt erhöll observation höjden av två armaturer ovanför horisonten , respektive [1 ] . Också, från almanackan , deras deklinationer relaterade till detta ögonblick, och ; och Greenwich-timmevinklar och . Nordlig deklination och östlig longitud anses vara positiva värden, sydlig deklination och västlig longitud är negativa, i beräkningar är det nödvändigt att följa konventionen om tecken på kvantiteter . $UT_{o}$ ${\displaystyle h_{o1))$ ${\displaystyle h_{o2))$ $\delta _{1}$ $\delta _{2}$ ${\displaystyle t_{G1))$ $t_{G2}$

Om de valda armaturerna är stjärnor vars deklinationer och högra uppstigningar kan tas oförändrade under dagen, istället för Greenwich-timmevinklarna, är det tillåtet att använda värdena för deras högra uppstigningar uttryckta i vinkelmått , eller stjärnkomplement , . I detta fall beräknas den geografiska latituden för observatörens plats utan att veta den exakta tiden för observation av armaturerna. $\alfa$ $\tau ^{\star }$

Beräkningsförlopp

Tänk på de parallaktiska trianglarna och , där är den norra himlapolen , och är de observerade kropparna, är observatörens zenit . och är armaturernas zenitavstånd . $PZ\sigma _{1}$ $PZ\sigma _{2}$ $P_{N}$ $\sigma_1$ $\sigma_2$ $Z$ ${\displaystyle z_{1}=90^{\circ }-h_{o1))$ ${\displaystyle z_{2}=90^{\circ }-h_{o2))$

I det första steget av beräkningar (bestämning av latitud) krävs värdet på timvinkeln mellan armaturerna , vilket, när det gäller observation av planeter, solen eller månen, måste erhållas från deras Greenwich-timmevinklar: $\Delta t$

{\displaystyle \Delta t=t_{G2}-t_{G1))

När du observerar stjärnor kan detta värde erhållas från värdena för deras högra uppstigningar:

\Delta t=15^{\left[{\frac {\circ }{h}}\right]}\cdot (\alpha _{2}^{[h]}-\alpha _{1} ^{[h]})

Från fantastiska tillägg:

\Delta t=\underbrace {(t_{G}^{\curlyvee }+\tau _{2}^{\star })} _{t_{G2}}-\underbrace {(t_{G} ^{\curlyvee }+\tau _{1}^{\star })} _{t_{G1}}=\tau _{2}^{\star }-\tau _{1}^{\star }

De faktiska värdena för Greenwich-timmevinklar kommer att behövas i steget att beräkna longituden.

Enligt lagen om cosinus

Vinkelavstånd mellan armaturer, : $D_{12}$

\cos(D_{12})=\sin(\delta _{1})\cdot \sin(\delta _{2})+\cos(\delta _{1})\cdot \cos( \delta _{2})\cdot \cos(\Delta t)

Den konstanta delen av den parallaktiska vinkeln , , vid den första ljuskällan: $q_{1}$

\cos(q_{1})={\frac {\sin(\delta _{2})-\sin(\delta _{1})\cdot \cos(D_{12})}{\ cos(\delta _{1})\cdot \sin(D_{12})}}={\frac {\sin(\delta _{2})}{\cos(\delta _{1})\cdot \sin(D_{12})}}-{\frac {\tan(\delta _{1})}{\tan(D_{12})}}

Den variabla delen av den parallaktiska vinkeln, , från den första stjärnan till observatören: $\Delta q_{1}$

\cos(\Delta q_{1})={\frac {\sin(h_{o2})-\sin(h_{o1})\cdot \cos(D_{12})}{\cos( h_{o1})\cdot \sin(D_{12})}}={\frac {\sin(h_{o2})}{\cos(h_{o1})\cdot \sin(D_{12}) }}-{\frac {\tan(h_{o1})}{\tan(D_{12})}}

Observatören kan vara placerad på en av två punkter, eller , belägen symmetriskt med avseende på bågen , det faktiska värdet av den paralaktiska vinkeln kan vara summan eller skillnaden av vinklarna och . $Fix_{1}$ $Fix_{2}$ $D_{12}$ $q_{1}$ $\Delta q_{1}$

Latitud för den första korsningen, : $\varphi _{(q_{1}+\Delta q_{1})}$

\sin(\varphi _{(q_{1}+\Delta q_{1})})=\sin(\delta _{1})\cdot \sin(h_{o1})+\cos( \delta _{1})\cdot \cos(h_{o1})\cdot \cos(q_{1}+\Delta q_{1})

Latitud för den andra korsningen, : $\varphi _{(q_{1}-\Delta q_{1})}$

\sin(\varphi _{(q_{1}-\Delta q_{1})})=\sin(\delta _{1})\cdot \sin(h_{o1})+\cos( \delta _{1})\cdot \cos(h_{o1})\cdot \cos(q_{1}-\Delta q_{1})

Baserat på en grov uppskattning av observatörens aktuella position väljs ett latitudvärde, , som ligger närmast det förväntade värdet. Ytterligare beräkningar görs med den. $\varphi _{o}$

Vinkelns tecken kan bestämmas utan att försöka beräkna båda latitudvärdena. Det räcker att kontrollera med typen av triangel : om den numrerade platsen och den förhöjda polen i världen är på samma sida av bågen , ska värdet tas med ett minustecken, om den numrerade platsen och polen på världen är på olika sidor, bör värdet tas med ett plustecken. $\Delta q_{1}$ ${\displaystyle P\sigma _{1}\sigma _{2))$ $D_{12}$ $\Delta q_{1}$ $\Delta q_{1}$

Huvudvärdet för den lokala timvinkeln , , för den första armaturen för latitud : $t_{1}$ $\varphi _{o}$

\cos(t_{1})={\frac {\sin(h_{o1})-\sin(\delta _{1})\cdot \sin(\varphi _{o})}{\ cos(\delta _{1})\cdot \cos(\varphi _{o})}}={\frac {\sin(h_{o1})}{\cos(\delta _{1})\cdot \cos(\varphi _{o})}}-\tan(\delta _{1})\cdot \tan(\varphi _{o})

Eftersom funktionen $\arccos(x)$ alltid returnerar vinkelvärden i intervallet bestäms det faktiska värdet av den lokala timvinkeln, , av stjärnans position i förhållande till observatörens meridian: om den är i väster, då , om till öster alltså . $0^{\circ }...180^{\circ }$ $t_{m1_{i))$ $t_{m1_{I}}=t_{1}$ $t_{m1_{II}}=360^{\circ }-t_{1}$

Om stjärnan är nära observatörens meridian kan det vara svårt att säkert bestämma dess öst- eller västra azimut, särskilt för armaturer som ligger nära zenit. För att välja det faktiska värdet på timvinkeln bör man beräkna höjden på den andra stjärnan, förväntad för båda möjliga värdena på , och jämföra med det observerade värdet . $t_{m1_{i))$ ${\displaystyle h_{o2))$

t_{m2_{I}}=\underbrace {(t_{m1_{I}}-t_{G1})} _{\lambda _{o_{I}}}+t_{G2}

är den lokala timvinkeln för den andra armaturen vid funktionens huvudvärde

\arccos(\cos(t_{1}))

t_{m2_{II}}=\underbrace {(t_{m1_{II}}-t_{G1})} _{\lambda _{o_{II}}}+t_{G2}

är den lokala timvinkeln för den andra armaturen vid det andra möjliga värdet för ingångsvariabeln

\sin(h_{c2_{I))=\sin(\varphi _{o})\cdot \sin(\delta _{2})+\cos(\varphi _{o})\cdot \ cos(\delta _{2})\cdot \cos(t_{m2_{I}})

- den beräknade höjden på den andra armaturen för platsen

(\varphi _{o};\lambda _{o_{I)))

\sin(h_{c2_{II))=\sin(\varphi _{o})\cdot \sin(\delta _{2})+\cos(\varphi _{o})\cdot \ cos(\delta _{2})\cdot \cos(t_{m2_{II}})

- den beräknade höjden på den andra armaturen för platsen

(\varphi _{o};\lambda _{o_{II)))

Longitud beräknas med värdet av timvinkeln, , för den första armaturen, vid vilken den beräknade, , och observerade, , höjden för den andra armaturen är konsekventa. $t_{m1_{i))$ $h_{c2_{i))$ ${\displaystyle h_{o2))$

Longitud för den valda skärningspunkten av cirklar med samma höjd, : $\lambda _{o}$

\lambda _{o}=t_{m1_{i}}-t_{G1}

Observatörens geografiska koordinater och positioner vid tidpunkten bestäms. $\varphi _{o}$ $\lambda _{o}$ $UT_{o}$

Tvetydighetsupplösning

Om bara två armaturer var tillgängliga för observation, till exempel solen och månen, och det är omöjligt att eliminera tvetydigheten i valet av koordinater genom att observera den tredje armaturen, och beräkningsplatsen är okänd ens ungefär, är det nödvändigt för att beräkna azimuterna för en av armaturerna för båda korsningarna och jämföra dem med de observerade värdena.

Stjärnans azimut, : $A$

\cos(A)={\frac {\sin(\delta )-\sin(h)\cdot \sin(\varphi _{i})}{\cos(h)\cdot \cos(\ varphi _{i})}}={\frac {\sin(\delta )}{\cos(h)\cdot \cos(\varphi _{i))}}-\tan(h)\cdot \tan (\varphi _{i})

För att välja rätt värde på latitud (och i framtiden longitud) är det tillräckligt att ha en uppskattning av azimuten för den observerade armaturen med en tolerans på ±10°.

Med hjälp av haversines

Koordinaterna för skärningspunkterna, enligt samma initiala data, kan beräknas [2] med en enda trigonometrisk funktion - vinkelns haversin , . För att erhålla en koordinatnoggrannhet på en bågminut är en 4-siffrig tabell över naturvärden för haversin lämplig [3] , som låter dig göra beräkningar utan att använda elektroniska miniräknare eller tabeller med logaritmer för värdena för flera trigonometriska funktioner . $\operatörsnamn {hav} (\theta )$

Extra kvantiteter och : $F$ $G$

F=\operatörsnamn {hav} (\delta _{2}-\delta _{1})

G=\operatörsnamn {hav} (\delta _{2}+\delta _{1})

Vinkelavstånd mellan armaturer, : $D_{12}$

\operatörsnamn {hav} (D_{12})=F+(1-FG)\cdot \operatörsnamn {hav} (\Delta t)

Vinkel som kompletterar : $D_{12}$

{\displaystyle D^{*}=90^{\circ }-D_{12))

Zenith avstånd , , av den första armaturen; zenitavstånd, , och polaravstånd , , för den andra stjärnan: $z_{1}$ $z_{2}$ $p_{2}$

{\displaystyle z_{1}=90^{\circ }-h_{o1))

{\displaystyle z_{2}=90^{\circ }-h_{o2))

{\displaystyle p_{2}=90^{\circ }-\delta _{2))

Det polära avståndet mäts alltid från den nordliga himlapolen.

Extra kvantiteter , , , och : $J$ $K$ $L$ $P$ $R$ $S$

J=\operatörsnamn {hav} (h_{o1}-D^{*})

K=\operatörsnamn {hav} (h_{o1}+D^{*})

L=\operatörsnamn {hav} (\delta _{1}-D^{*})

P=\operatörsnamn {hav} (\delta _{1}+D^{*})

R=\operatörsnamn {hav} (\delta _{1}-h_{o1})

S=\operatörsnamn {hav} (\delta _{1}+h_{o1})

Extra hörn : $\alfa$

\operatörsnamn {hav} (\alpha )={\frac {\operatörsnamn {hav} (z_{2})-J}{1-KJ))

Extra hörn : $(\alpha +\beta )$

\operatörsnamn {hav} (\alpha +\beta )={\frac {\operatörsnamn {hav} (p_{2})-L}{1-PL))

Hjälpvinkel , med hänvisning till den första skärningspunkten för cirklar av samma höjd: $\beta _{I}$

\beta _{I}=(\alpha +\beta )-\alpha

Vinkeln som är komplementär till latituden , och latituden för den första skärningspunkten, : $\phi _{I}^{*}$ $\varphi _{I}$

\operatörsnamn {hav} (\phi _{I}^{*})=R+(1-RS)\cdot \operatörsnamn {hav} (\beta _{I})

\varphi _{I}=90^{\circ }-\phi _{I}^{*}

Om det erhållna latitudvärdet inte överensstämmer med den ungefärliga uppskattningen av observatörens aktuella position, beräknas latituden för den andra skärningspunkten för cirklar med samma höjd:

\beta _{II}=(360^{\circ }-(\alpha +\beta ))-\alpha

\operatörsnamn {hav} (\phi _{II}^{*})=R+(1-RS)\cdot \operatörsnamn {hav} (\beta _{II})

\varphi _{II}=90^{\circ }-\phi _{II}^{*}

Ytterligare beräkningar görs med det valda värdet . $\varphi _{o}$

Extra kvantiteter och : $U$ $V$

U=\operatörsnamn {hav} (\delta _{1}-\varphi _{o})

V=\operatörsnamn {hav} (\delta _{1}+\varphi _{o})

Grundvärdet för den lokala timvinkeln , , för den första armaturen, för latitud : $t_{1}$ $\varphi _{o}$

\operatörsnamn {hav} (t_{1})={\frac {\operatörsnamn {hav} (z_{1})-U}{1-VU))

Eftersom funktionen alltid returnerar vinkelvärden i intervallet bestäms det faktiska värdet av den lokala timvinkeln, , av stjärnans position i förhållande till observatörens meridian: om den är i väster, då , om till öster alltså . $\operatörsnamn {archav} (x)$ $0^{\circ }...180^{\circ }$ $t_{m1_{i))$ $t_{m1_{I}}=t_{1}$ $t_{m1_{II}}=360^{\circ }-t_{1}$

Om stjärnan är nära observatörens meridian kan det vara svårt att säkert bestämma dess öst- eller västra azimut, särskilt för armaturer som ligger nära zenit. För att välja värdet på timvinkeln bör man beräkna höjden på den andra armaturen, förväntad för båda möjliga värdena, och jämföra med det observerade värdet . ${\displaystyle h_{o2))$

t_{m2_{I}}=\underbrace {(t_{m1_{I}}-t_{G1})} _{\lambda _{o_{I}}}+t_{G2}

är den lokala timvinkeln för den andra armaturen vid funktionens huvudvärde

\operatörsnamn {archav} (\operatörsnamn {hav} (t_{1}))

t_{m2_{II}}=\underbrace {(t_{m1_{II}}-t_{G1})} _{\lambda _{o_{II}}}+t_{G2}

är den lokala timvinkeln för den andra armaturen vid det andra möjliga värdet för ingångsvariabeln

M=\operatörsnamn {hav} (\delta _{2}-\varphi _{o})

N=\operatörsnamn {hav} (\delta _{2}+\varphi _{o})

\operatörsnamn {hav} (z_{c2_{I)))=M+(1-MN)\cdot \operatörsnamn {hav} (t_{m2_{I))))

\operatörsnamn {hav} (z_{c2_{II)))=M+(1-MN)\cdot \operatörsnamn {hav} (t_{m2_{II)))

Bågen är zenitavståndet för den andra armaturen, beräknad för platsen . $z_{c2_{i))$ $(\varphi _{o};\lambda _{o_{i)))$

h_{c2_{i}}=90^{\circ }-z_{c2_{i}}

är den beräknade höjden för den andra armaturen.

Longitud för skärningspunkten, : $\lambda _{o}$

\lambda _{o}=t_{m1_{i}}-t_{G1}

Observatörens geografiska koordinater och positioner vid tidpunkten bestäms. $\varphi _{o}$ $\lambda _{o}$ $UT_{o}$

Tvetydighetsupplösning

Vinkelavstånd för armaturen från den förhöjda polen, : $ePD$

ePD={\begin{cases}90^{\circ }-\vert \delta \vert &\quad \delta {\text{ och }}\varphi _{i}{\text{ med samma namn (både norra eller båda södra halvkloten)))\\90^{\circ }+\vert \delta \vert &\quad \delta {\text{ och }}\varphi _{i}{\text{ olika)) \end{ fall}}

Stjärnans azimut, : $A$

\operatörsnamn {hav} (A)={\frac {\operatörsnamn {hav} (ePD)-\operatörsnamn {hav} (\vert \varphi _{i}\vert -h)}{1-\operatörsnamn {hav} (\vert \varphi _{i}\vert -h)-\operatörsnamn {hav} (\vert \varphi _{i}\vert +h)))

För att välja rätt värde på latitud (och i framtiden longitud) är det tillräckligt att ha en uppskattning av azimuten för den observerade armaturen med en tolerans på ±10°.

Anteckningar

↑ Om höjderna på armaturerna inte mättes samtidigt, är det nödvändigt att korrigera höjden på en av dem genom att reducera till ett ögonblick , om observatören var i rörelse krävs det dessutom att höjden kommer till en zenit .
↑ Lars Bergman, All-Haversine fix . Hämtad 23 september 2019. Arkiverad från originalet 23 september 2019. (obestämd)
↑ 4-siffrig tabell över naturvärden av haversines, PDF, 51kB

Länkar

Litteratur

Kapten 3:e rang A. Lusis, Bestämning av en plats genom stjärnor med hjälp av en förbättrad metod för isoliner på hög höjd , "Sea Collection" 1988 nr 12, s. 65