Cyperts överdrift

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 6 februari 2020; kontroller kräver 2 redigeringar .

En Kiepert hyperbel är en hyperbel definierad av en given triangel . Om den senare är en triangel i allmänt läge, då är denna hyperbel den enda koniska sektionen som passerar genom dess hörn, ortocenter och centroid .

Definition via isogonal konjugation

En Kiepert-hyperbol är en kurva som är isogonalt konjugerad till en rät linje som går genom Lemoine-punkten och mitten av den omskrivna cirkeln i en given triangel.

Den räta linjen som går genom mitten av den omskrivna cirkeln och Lemoine-punkten kallas Brocards axel . Apollonius-punkter ligger på den . Med andra ord är en Kiepert-hyperbol en kurva som är isogonalt konjugerad med Brocard-axeln i en given triangel.

Definition i termer av trianglar i trilinjära koordinater

Definition i termer av trianglar i trilinjära koordinater [1] :

Om tre trianglar , och byggda på sidorna av triangeln , är lika , likbenta med baser på sidorna av den ursprungliga triangeln, och lika placerade (det vill säga, de är alla byggda antingen från utsidan eller inifrån), då linjer och skär varandra vid en punkt .

XBC

YCA

ZAB

ABC

AX

BY

CZ

N

Då kan Kiepert-hyperbolen definieras som punkternas lokus (se fig.).

N

Om den gemensamma vinkeln vid basen är , har de tre trianglarnas hörn följande trilinjära koordinater: $\theta$

$X(-\sin \theta :\sin(C+\theta ):\sin(B+\theta ))$
$Y(\sin(C+\theta ):-\sin \theta :\sin(A+\theta ))$
$Z(\sin(B+\theta ):\sin(A+\theta ):-\sin \theta )$

Trilinjära koordinater för en godtycklig punkt N som ligger på Kiepert-hyperbolen

(\operatörsnamn {cosec} (A+\theta ):\operatörsnamn {cosec} (B+\theta ):\operatörsnamn {cosec} (C+\theta ))

Kieperts hyperbelekvation i trilinjära koordinater

Platsen för punkter när vinkeln ändras vid basen av trianglarna mellan och är en Kiepert-hyperbol med ekvationen $N$ $\theta$ $-\pi /2$ $\pi/2$

{\frac {\sin(BC)}{x}}+{\frac {\sin(CA)}{y}}+{\frac {\sin(AB)}{z}}=0

där , , är de trilinjära koordinaterna för en punkt i triangeln. $x$ $y$ $z$ $N$

Kända punkter på Kiepert-hyperbolen

Bland de punkter som ligger på Kiepert-hyperbolen finns sådana viktiga punkter i triangeln [2] :

Menande $\theta$	Punkt $N$
$0$	$G$ , triangel tyngdpunkt (X2) $ABC$
$\pi/2$ (eller ) $-\pi /2$	$O$ , triangel ortocenter (X4) $ABC$
$\operatörsnamn {arctg} [\operatörsnamn {tg} (A/2)\operatörsnamn {tg} (B/2)\operatörsnamn {tg} (C/2)]$ [3]	Spieker Center (X10)
$\pi /4$	Vecten-punkter (X485)
$-\pi /4$	Vecten-punkter (X486)
$\pi /6$	$N_1$ , Napoleons första punkt (X17)
$-\pi /6$	$N_2$ , andra Napoleon -spetsen (X18)
$\pi /3$	$F_{1}$ , första Fermat-punkten (X13)
$-\pi /3$	$F_{2}$ , andra Fermat-spets (X14)
$-A$ (om ) (om ) $A<\pi /2$ $\pi -A$ $A>\pi /2$	Vertex $A$
$-B$ (om ) (om ) $B<\pi /2$ $\pi -B$ $B>\pi /2$	Vertex $B$
$-C$ (om ) (om ) $C<\pi /2$ $\pi -C$ $C>\pi /2$	Vertex $C$

Lista över punkter som ligger på Kiepert-hyperbolen

Kiepert-hyperbeln passerar genom följande centra i triangeln X(i) [3] :

för i=2, ( Triangelns tyngdpunkt ),
i=4 ( Ortocenter ),
i=10 ( Spieker center ; det vill säga mitten av en triangel med hörn i mitten av sidorna av den givna triangeln ABC [1] ),
i=13 (första Fermat-punkten ), i=14 (andra Fermat-punkten ),
i=17 ( första Napoleonpunkten ), i=18 ( andra Napoleonpunkten ),
i=76 (tredje Brocard-punkten ),
i=83 (punkt isogonalt konjugerad till mittpunkt mellan Brocard-punkter [1] ),
i=94, 96,
i=98 ( Tarry point =Tarry point),
i=226, 262, 275, 321,
i=485 ( Vectens yttre punkt ), i=486 ( Vectens inre punkt ),
i=598, 671, 801, 1029, 1131, 1132,
i=1139 (inre femhörningspunkt), i=1140 (yttre femhörningspunkt),
i=1327, 1328, 1446, 1676, 1677, 1751, 1916, 2009, 2010, 2051, 2052, 2394, 2592, 2593,
i=2671 (första gyllene arbelos-punkten=första gyllene arbelos-punkten),
i=2672 (andra gyllene arbelos-punkten=andra gyllene arbelos-punkten),
i=2986, 2996

Generalisering av Leicesters teorem i form av B. Giberts teorem (2000)

B. Giberts sats (2000) generaliserar Leicesters cirkelsats , nämligen: varje cirkel vars diameter är ett korda av en triangels Kiepert-hyperbol och är vinkelrät mot dess Euler-linje passerar genom Fermats punkter [4] [5] .

Historik

Denna hyperbel fick sitt namn efter den tyske matematikern Friedrich Wilhelm August Ludwig Kiepert , som upptäckte den (Friedrich Wilhelm August Ludwig Kiepert, 1846-1934) [1] .

Egenskaper

Kieperts hyperbel är liksidig eller liksidig (det vill säga dess asymptoter är vinkelräta), därför ligger dess mittpunkt, angivet i Encyclopedia of Triangle Centers som X (115), på Eulercirkeln .

Se även

Anteckningar

↑ 1 2 3 4 Eddy, Fritsch, 1994 , sid. 188-205.
↑ Akopyan A. V. , Zaslavsky A. A. . Geometriska egenskaper hos kurvor av andra ordningen. - 2:a uppl., tillägg - 2011. - S. 125-126.
↑ 1 2 Weisstein, Eric W. Kiepert Hyperbola (engelska) på Wolfram MathWorld- webbplatsen .
↑ B. Gibert (2000): [Meddelande 1270] . Inlägg i Hyacinthos onlineforum, 2000-08-22. Tillträde 2014-10-09.
↑ Paul Yiu (2010), The circles of Lester, Evans, Parry, and their generalizations Arkiverad 7 oktober 2021 på Wayback Machine . Forum Geometricorum, volym 10, sid 175-209. MR : 2868943

Litteratur

Eddy R. H., Fritsch R. . The Conics of Ludwig Kiepert: A Comprehensive Lesson in the Geometry of the Triangle // Math Magazine , 1994, 67 . - S. 188-205.