Hypotes om monstruöst nonsens

Den monstruösa månskensförmodan [2] är en beprövad matematisk gissning som på ett oväntat [3] sätt förbinder en enkel finit monstergrupp och modulära funktioner (i synnerhet den -invarianta ) [4] . $M$

Den första manifestationen av sambandet upptäcktes i slutet av 1970-talet av John McKay , som uppmärksammade det faktum att koefficienterna för Fourier-serien av den normaliserade -invarianten: $j$

j(\tau )={\frac {1}{q))+744+196884q+21493760q^{2}+864299970q^{3}+\cdots

[5]

( är förhållandet mellan halvperioder , ) är specifika linjära kombinationer av dimensioner [6] av irreducerbara representationer av gruppen : $\tau$ $q=e^{2\pi i\tau }$ $r_{i}$ $M$

{\begin{aligned}1&=r_{1}\\196884&=r_{1}+r_{2}\\21493760&=r_{1}+r_{2}+r_{3}\\864299970&= 2r_{1}+2r_{2}+r_{3}+r_{4}\\20245856256&=3r_{1}+3r_{2}+r_{3}+2r_{4}+r_{5}\\& =2r_{1}+3r_{2}+2r_{3}+r_{4}+r_{6}\\333202640600&=5r_{1}+5r_{2}+2r_{3}+3r_{4}+2r_ {5}+r_{7}\\&=4r_{1}+5r_{2}+3r_{3}+2r_{4}+r_{5}+r_{6}+r_{7}\\\dots \end{aligned}}

John Thompson , för att förklara fenomenet, föreslog att man skulle studera potensserier med koefficienter som är karaktärer av monsterrepresentationer beräknade för dess olika element. 1979 konstruerade John Conway (som myntade termen "monstruöst nonsens" när han först lärde sig om McKay-relationen) och Simon Norton sådana funktioner (McKay-Thompson-serien), och fann deras likhet med huvudmodulära funktioner ( tyska: Hauptmodul ), med angivande av innehållet i hypotesen: varje McKay-Thompson-serie motsvarar en viss modulär huvudfunktion [7] .

1992 bevisades gissningen av Conways student Richard Borcherds , som senare vann Fields-priset bland annat för detta resultat. Beviset förlitade sig i huvudsak på egenskaperna hos någon algebra av vertexoperatorer ( monster-vertex algebra ), för vilka monstergruppen är en symmetrigrupp, och därmed kopplingen mellan påståendet med strängteori och konformfältteori (baserad på algebror för vertexoperatorer) upptäcks.

Anteckningar

↑ Ian Stewart . The Taming of Infinity: A History of Mathematics from First Numbers to Chao Theory / övers. från engelska. E. Pogosyan. — M. : Mann, Ivanov i Ferber, 2019. — S. 297. — ISBN 9785001174554 .
↑ En sådan översättning av hypotesens namn finns i populärvetenskaplig litteratur [1] ; i vetenskaplig ryskspråkig litteratur används termen moonshine ofta utan översättning.
↑ David Terr. Monstrous Moonshine (engelska) på Wolfram MathWorld- webbplatsen .
↑ Ian Stewart. Taming Infinity: A History of Mathematics from First Numbers to Chao Theory . — ISBN 5001174554 .
↑ OEIS - sekvens A014708 _
↑ OEIS - sekvens A001379 _
↑ JH Conway och S.P. Norton. Monstruus Moonshine // Bull. London Math. soc. - 1979. - Vol. 11. - P. 308-339. - doi : 10.1112/blms/11.3.308 .