Smidigt grenrör

En slät grenrör är ett grenrör som har en slät struktur . Släta grenrör är en naturlig grund för att konstruera differentialgeometri . På differentiella grenrör introduceras ytterligare infinitesimala strukturer - tangentrymd , orientering, metrisk, anslutning, etc., och de egenskaper som är associerade med dessa objekt som är invarianta under gruppen av diffeomorfismer som bevarar den extra strukturen studeras.

Definition

Låt vara ett Hausdorff topologiskt utrymme . Om det för varje punkt finns dess grannskap , homeomorf till en öppen delmängd av rymden , så kallas det lokalt euklidiskt rum , eller en topologisk mångfald av dimensioner . $X$ $x\i X$ $U$ $\mathbb {R} ^{n}$ $X$ $n$

Paret , där är den indikerade homeomorfismen, kallas ett lokalt diagram vid punkten . Således motsvarar varje punkt en uppsättning reella tal , som kallas koordinater på kartan . En uppsättning kartor kallas en mångfaldsatlas om : $(U,\phi)$ $\phi$ $X$ $x$ $n$ $(x^{1},\ldots,x^{n})$ $(U,\phi)$ $\{(U_{\alpha },\phi _{\alpha })\},\alpha \i A,$ $C^k$ $(0\leqslant k\leqslant \infty )$ $X$

helheten av alla omslag , dvs. $U_{\alpha }$ $X$ $X=\cup _{{\alpha \in A}}U_{\alpha }$
för alla sådana som , mappning: $\alfa ,\beta \i A$ $U_{\alpha }\cap U_{\beta }\neq \varnothing$

\phi _{{\alpha }}^{{\beta }}=\phi _{\beta }\circ \phi _{\alpha }^{{-1}}:\phi _{\alpha }(U_ {\alpha }\cap U_{\beta })\to \phi _{\beta }(U_{\alpha }\cap U_{\beta })

är en smidig kartläggning av klassen ;

C^k

{\displaystyle \phi _{\alpha }^{\beta ))

är en mappning med en icke-noll Jacobian och kallas en mappning av limning av en karta på en karta

(U_{\alpha },\phi _{\alpha })

(U_{\beta },\phi _{\beta }).

Två -atlaser sägs vara likvärdiga om deras förening återigen bildar en -atlas. Uppsättningen av -atlaser är uppdelad i ekvivalensklasser, kallade - strukturer , för - differentiella (eller släta) strukturer. $C^k$ $C^k$ $C^k$ $C^k$ $1\leqslant k\leqslant \infty$

Ett topologiskt grenrör utrustat med en -struktur kallas ett jämnt grenrör . $X$ $C^k$ $C^k$

Anteckningar

Om limkartorna dessutom är analytiska ger denna definition en analytisk struktur, ibland betecknad med -struktur. ${\displaystyle C^{a))$

Komplexa grenrör

Problem med analytisk och algebraisk geometri leder till behovet av att överväga i definitionen av en differentiell struktur istället för ett utrymme med mer allmänna utrymmen eller till och med , där är ett fullständigt icke-diskret normerat fält. Så i fallet betraktar vi holomorfa ( analytiska komplex) -strukturer ( ) och motsvarande jämna grenrör - komplexa grenrör . Dessutom har varje sådant grenrör också en naturlig verklig analytisk struktur. $\mathbb {R} ^{n}$ $\mathbb {C} ^{n}$ $K^n$ $K$ $K=\mathbb {C}$ $C^k$ $k\geqslant 1$

Kompatibla strukturer

På varje analytiskt grenrör finns det en -struktur som är förenlig med det, och på en -grenrör, , -struktur om . Omvänt kan varje parakompakt -manifold, , förses med en analytisk struktur som är kompatibel med den givna, och denna struktur (upp till isomorfism ) är unik. Det kan dock hända att -grenröret inte kan förses med en -struktur, och om detta lyckas, så är en sådan struktur kanske inte unik. Till exempel är antalet -icke -isomorfa -strukturer på en -dimensionell sfär: $C^\infty$ $C^\infty$ $0\leqslant k\leqslant \infty$ $C^{r}$ $0\leqslant r\leqslant k$ $C^{r}$ $r\geqslant 1$ $C^{0}$ $C^1$ $\theta (n)$ $C^1$ $C^\infty$ $n$

$n$	ett	2	3	fyra	5	6	7	åtta	9	tio	elva	12
$\theta (n)$	ett	ett	ett		ett	ett	28	2	åtta	6	992	ett

Visar

Låta vara en kontinuerlig mappning av -förgreningar ; det kallas en -morfism (eller -mappning, , eller mappning av klassen ) av släta grenrör om för något par av diagram på X och på Y , såsom mappningen: $f:X\till Y$ $C^{r}$ $X,Y$ $C^k$ $C^k$ $k\leqslant r$ $C^k$ $(U_{\alpha },\phi _{\alpha })$ $(V_{\beta },\psi _{\beta })$ $f(U_{\alpha })\delmängd V_{\beta }$

\psi _{\beta }\circ f\circ \phi _{\alpha }^{{-1)):\phi _{\alpha }(U_{\alpha })\to \psi _{\beta } (V_{\beta })

tillhör klassen . En bijektiv kartläggning , om de är -kartor, kallas en isomorfism (eller diffeomorfism ). I detta fall sägs och deras -strukturer vara -isomorfa. $C^k$ $f$ $f^{-1}$ $C^k$ $C^k$ $X$ $Y$ $C^{r}$ $C^k$

Delmängder och inbäddningar

En delmängd av en -dimensionell -manifold kallas - en submanifold av dimension i om det för en godtycklig punkt finns en -strukturkarta sådan att och inducerar en homeomorfism med ett (slutet) delrum ; med andra ord, det finns en karta med koordinater , sådana som bestäms av relationerna . $Y$ $n$ $C^k$ $X$ $C^k$ $m$ $X$ $y\i Y$ $(U,\phi)$ $C^k$ $X$ $y\in U$ $\phi$ $U\cap Y$ $\mathbb{R} ^{m}\subset \mathbb{R} ^{n}$ $(x^{1},\ldots,x^{n})$ $U\cap Y$ $x^{m+1}=\ldots =x^{n}=0$

En mappning kallas - en inbäddning om den är en -submanifold i och är -diffeomorfism. $f:X\till Y$ $C^k$ $f(X)$ $C^k$ $Y$ $X\till f(X)$ $C^k$

Varje dimensionellt grenrör tillåter en inbäddning i såväl som i . Dessutom är uppsättningen av sådana inbäddningar överallt tät i kartläggningsutrymmet med avseende på den kompakta öppna topologin . Sålunda, övervägandet av släta grenrör som undergrenar av det euklidiska rummet ger ett av sätten att studera deras teori, på detta sätt etableras till exempel satserna om analytiska strukturer som nämns ovan. $n$ $C^k$ $\mathbb{R} ^{{2n+1}}$ $\mathbb{R} ^{{2n}}.$ $C^{k}(X,\mathbb{R} ^{{2n+1}})$

Litteratur

Bourbaki N. Differentiera och analytiska grenrör. Sammanfattning av resultat / per. från franska G. I. Olshansky. — M .: Mir, 1975. — 220 sid.
Dubrovin B. A., Novikov S. P. , Fomenko A. T. Modern geometri: Metoder och tillämpningar. - 2:a uppl., reviderad. - M . : Nauka, Ch. ed. Phys.-Matte. belyst. , 1986. - 760 sid.
Kobayashi Sh., Nomizu K. Fundamentals of differential geometri. - M. : Nauka, 1981. - T. 1. - 344 sid.
de Ram J. Differentiera grenrör / transl. från franska D. A. Vasilkova. - M. : IL, 1956. - 250 sid.
Leng S. Introduktion till teorin om differentierbara grenrör / per. från engelska. I. M. Dektyareva. — M .: Mir, 1967. — 203 sid.
Narasimhan R. Analys på verkliga och komplexa grenrör / per. från engelska. E. M. Chirki. — M .: Mir , 1971. — 232 sid.
Pontryagin LS Smooth grenrör och deras tillämpningar inom homotopi teori. - 2:a uppl. — M .: Nauka, 1976. — 176 sid.
Postnikov M. M. Introduktion till morseteori. — M .: Nauka, 1971. — 568 sid.
Rokhlin V. A. , Fuchs D. B. Inledande kurs i topologi. Geometriska huvuden. — M .: Nauka, 1977. — 487 sid.
Whitney X. Geometrisk integrationsteori / per. från engelska. I. A. Vainshtein. - M. : IL, 1960. - 355 sid.
Wells R. Differentialkalkyl på komplexa grenrör / per. från engelska. ed. B.S. Mityagin. - M . : Mir, 1976. - 284 sid.