Homotopi grupper av sfärer

Homotopi grupper av sfärer är ett av huvudobjekten för studier inom homotopi teori , ett område av algebraisk topologi . Homotopigrupper av sfärer klassificerar mappningar mellan högre dimensionella sfärer upp till kontinuerlig deformation. Homotopigrupper av sfärer är diskreta algebraiska objekt, nämligen ändligt genererade abelska grupper . Även om klassificeringen av ändligt genererade Abeliska grupper är mycket enkel, är den exakta strukturen för homotopigrupperna av sfärer inte helt känd.

Att hitta dem var en av de viktigaste riktningarna i utvecklingen av topologi och matematik i allmänhet på 1950- och 60-talen, fram till skapandet av generaliserade kohomologiteorier . [1] Anledningen till detta var både det faktum att homotopigrupperna av sfärer är grundläggande topologiska invarianter , vars förståelse leder till en bättre förståelse av topologiska utrymmen i allmänhet, och närvaron av ett stort antal komplexa regelbundenheter i deras struktur. . Resultatet var både upptäckten av några allmänna regelbundenheter, såsom stabila homotopigrupper av sfärer och J-homomorfismen , och beräkningen av grupper för små parametervärden.

Informell introduktion

En flerdimensionell dimensionssfär är ett topologiskt utrymme , som kan representeras som ett lokus av punkter i det dimensionella euklidiska rummet , på avstånd från ursprunget för koordinater på ett avstånd av 1. I synnerhet är en cirkel , och är en vanlig två- dimensionell sfär . $S^{n}$ $n$ $(n+1)$ $S^{1}$ $S^{2}$

Om är något topologiskt utrymme med en markerad punkt , då dess -th homotopi grupp är uppsättningen av avbildningar från till till , anses upp till homotopies , det vill säga kontinuerliga störningar, som dessutom måste bevara den markerade punkten. I synnerhet är den grundläggande gruppen , det vill säga gruppen av slutna vägar i ett topologiskt utrymme med kompositionsoperationen . I det flerdimensionella fallet kan denna uppsättning också utrustas med en gruppstruktur, medan, till skillnad från den grundläggande gruppen, för gruppen kommer att vara kommutativ . $X$ $x$ $i$ $\pi _{i}(X)$ $S^{i}$ $X$ $ett$ $x$ $\pi _{1}(X)$ $i\geqslant 2$ $\pi _{i}(X)$

Varje mappning från en sfär med lägre dimension till en sfär med högre dimension kan dras samman till en punkt, så att grupperna vid . Men redan cirkelns fundamentala grupp är en oändlig cyklisk grupp . Dess element, det vill säga avbildningar från cirkeln in i sig själv upp till homotopi, definieras unikt av antalet varv av bilden av cirkeln runt dess centrum, och när man komponerar banor läggs antalet varv till. Liksom i det endimensionella fallet är homotopigruppen av avbildningar från den -dimensionella sfären in i sig själv oändligt cyklisk. Gruppens struktur är dock inte intuitivt uppenbar: den genereras av Hopf-fibrationen . $\pi _{i}(S^{n})=0$ $i<n$ $\pi _{1}(S^{1})\simeq \mathbb {Z}$ $S^{1}$ $n$ $\pi _{n}(S^{n})\simeq \mathbb {Z}$ $\pi _{3}(S^{2})$

Små värden

	π 1	π 2	π 3	π 4	π 5	π6 _	π 7	π 8	π9 _	π 10	π 11	π 12	π 13	π 14	π 15	pi 16
S1 _	Z	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
S2 _	0	Z	Z	Z2 _	Z2 _	Z12 _	Z2 _	Z2 _	Z3 _	Z15 _	Z2 _	Z 2 2	Z 12 × Z 2	Z 84 × Z 2 2	Z 2 2	Z6 _
S3 _	0	0	Z	Z2 _	Z2 _	Z12 _	Z2 _	Z2 _	Z3 _	Z15 _	Z2 _	Z 2 2	Z 12 × Z 2	Z 84 × Z 2 2	Z 2 2	Z6 _
S4 _	0	0	0	Z	Z2 _	Z2 _	Z × Z 12	Z 2 2	Z 2 2	Z 24 × Z 3	Z15 _	Z2 _	Z 2 3	Z 120 × Z 12 × Z 2	Z 84 × Z 2 5	Z26 _ _
S5 _	0	0	0	0	Z	Z2 _	Z2 _	Z24 _	Z2 _	Z2 _	Z2 _	Z 30	Z2 _	Z 2 3	Z 72 × Z 2	Z 504 x Z 2 2
S6 _	0	0	0	0	0	Z	Z2 _	Z2 _	Z24 _	0	Z	Z2 _	Z60 _	Z 24 × Z 2	Z 2 3	Z 72 x Z 2
S7 _	0	0	0	0	0	0	Z	Z2 _	Z2 _	Z24 _	0	0	Z2 _	Z 120	Z 2 3	Z 2 4
S8 _	0	0	0	0	0	0	0	Z	Z2 _	Z2 _	Z24 _	0	0	Z2 _	Z × Z 120	Z 2 4

Anteckningar

↑ D.B. Fuks. Homotopigrupper av sfärerna (engelska) . Encyclopedia of Mathematics. Hämtad 5 november 2017. Arkiverad från originalet 8 november 2017.

Litteratur

Fomenko A. T. , Fuchs D. B. En kurs i homotopi topologi. — M .: Nauka , 1989.
Hatcher, Allen. Algebraisk topologi . - Cambridge University Press , 2002. - ISBN 978-0-521-79540-1 .