Galois grupp

Galois-gruppen är den grupp som är kopplad till fälttillägget . Spelar en viktig roll i studiet av fältförlängningar , särskilt i Galois teori . Detta koncept (i samband med permutationsgruppen av rötterna till ett polynom ) introducerades i matematiken av Evariste Galois 1832.

Definition

Låt fältet K vara Galois-förlängningen av fältet P . En en-till-en-mappning av ett fält K på sig själv kallas en automorfism om den mappar summan till summan och produkten till produkten, det vill säga om för något element i fältet K är likheterna $f$ $a,b$

f(a+b)=f(a)+f(b),\ f(ab)=f(a)\cdot f(b).

Galois - gruppen för en given fältförlängning är samlingen av alla automorfismer i fältet K som bevarar element i fältet P :. Betecknas vanligtvis som G ( K , P ) eller Gal ( K , P ). $\forall a\in P\;f(a)=a$

Egenskaper

Galois-gruppen av en finit förlängning är finit . Dess ordning (antal element) är lika med expansionsgraden [ K : P ].

Exempel

Om det utökade fältet sammanfaller med det ursprungliga, innehåller Galois-gruppen endast ett element: enheten (identitetsautomorfism).
För att utöka fältet av reella tal till fältet för alla komplexa tal , innehåller Galois-gruppen 2 element: enheten och komplex konjugation .
Tilläggsfältet består av tal av formen , där a , b är rationella tal . Galois-gruppen innehåller här 2 element: enheten och operationen som ändrar den 2:a termens tecken med . ${\mathbb {Q}}[{\sqrt {2}}]$ $a+b{\sqrt {2}}$ ${\sqrt {2}}$
Låt p vara ett primtal . Betrakta finita fält och , varav den första är naturligt inbäddad i den andra. Galois-gruppen i denna förlängning är cyklisk , den genereras av Frobenius-automorfismen . $\mathbb {F} _{p}$ $\mathbb {F} _{p^{n}}$ ${\displaystyle x\mapsto x^{p))$
Galois-grupp av en algebraisk ekvation [1] .

Betrakta en algebraisk ekvation av fjärde graden . Den tillåter följande transformationer av variabeln x : . För följande , det vill säga . Därför följer det att . Det betyder att ekvationen kan transformeras .

P(x)=x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1=0

y=1/x,\ y=x^{2},\ y=-(x^{3}+x^{2}+x+1)

y=1/x

y^{4}+y^{3}+y^{2}+y+1=(x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1)/x ^{4}

{\displaystyle P(y)=P(x)/x^{4))

P(x)=0

P(y)=0

P(x)=0

y=1/x

För det visar sig . Att dividera denna ekvation med originalet ger . Så omvandlingen tillåts också av ekvationen .

y = x^2

P(y)=y^{4}+y^{3}+y^{2}+y+1=x^{8}+x^{6}+x^{4}+x^ {2}+1

P(x)

P(y)=(x^{4}-x^{3}+x^{2}-x+1)P(x)

y = x^2

P(x)

På liknande sätt kan följande transformationsformel erhållas för transformationen: .

y=-(x^{3}+x^{2}+x+1)

P(y)=(x^{8}+3x^{7}+6x^{6}+9x^{5}+9x^{4}+7x^{3}+4x^{2} +x+1)P(x)

Låt oss nu bevisa att ekvationen tillåter en oändlig grupp av transformationer , där den tar alla heltal (positiva och negativa) värden som inte är multiplar av fem. Låt oss först titta på ersättningen . Av denna jämlikhet följer att , ..., . För att bevisa att ekvationen tillåter en oändlig grupp av transformationer för , räcker det att visa att transformationen är tillåten . För denna transformation har vi: . Negativa heltalsvärden erhålls genom att tillämpa transformationen . Det är lätt att bevisa att de resulterande transformationerna bildar en grupp.

P(x)

{\displaystyle y=x^{n))

n

x^{4}=-(x^{3}+x^{2}+x+1)

x^{5}=x\cdot x^{4}=-(x^{4}+x^{3}+x^{2}+x)=1,\ x^{6}= x\cdot x^{5}=x

{\displaystyle x^{n}=x^{n-5))

P(x)

{\displaystyle y=x^{n))

5\!\ \nmid n

y=x^{3}

P(y)=x^{12}+x^{9}+x^{6}+x^{3}+1=x^{2}+x^{4}+x+x^ {3}+1=0

n

y=1/x

Den konstruerade gruppen av transformationer omvandlar varje rot av en ekvation till en rot av samma ekvation. Låt oss nu spåra hur exakt varje rot i ekvationen omvandlas under påverkan av denna grupp av transformationer. Från förloppet av algebra är det känt att rötterna till ekvationen är tal . Transformationen översätter rot till , rot till , rot till , rot till . Den resulterande substitutionen betecknas med . På liknande sätt kan man visa att omvandlingen leder till en substitution . Transformationen resulterar i en substitution . De återstående transformationerna ger inga nya substitutioner.

{\displaystyle y=x^{n))

P(x)

P(x)

P(x)

x_{1}=z,\ x_{2}=z^{2},\ x_{3}=z^{3},\ x_{4}=z^{4},\ z=e ^{2\pi i/5}

y = x^2

x_{1}

x_{2}

x_{2}

x_{4}

x_{3}

x_{1}

x_{4}

x_{3}

(x_{1},x_{2},x_{4},x_{3})

y=x^{3}

(x_{1},x_{3},x_{4},x_{2})

y=x^{-1}

(x_{1},x_{4})(x_{2},x_{3})

Således inducerar gruppen av transformationer av ekvationens rötter en ändlig grupp av ordning fyra, bestående av följande element: . Denna ändliga grupp kallas ekvationens Galois - grupp .

{\displaystyle y=x^{n))

P(x)

1,(x_{1},x_{2},x_{4},x_{3}),(x_{1},x_{3},x_{4},x_{2}),( x_{1},x_{4})(x_{2},x_{3})

P(x)

Låta vara cirkeldelningsfältet av grad n . Galois-gruppen med en cirkulär förlängning är isomorf till den multiplikativa gruppen av restringens modulo n . $K_n$ $K_{n}/Q$ $Z_{n}^{*}$

Applikation

Fälttillägg

Betrakta en kedja av successiva fältförlängningar: Konstruera en Galois-grupp för fält som är extrema i kedjan: Enligt Galois-teorins huvudsats motsvarar varje mellanliggande fält i kedjan av förlängningar en undergrupp av gruppen G , det vill säga, en kedja av fältförlängningar kan associeras med en kedja av kapslade undergrupper, som minskar från G till de triviala undergrupperna . Om vi betraktar alla mellanliggande fält på en gång (det vill säga fält i formen ), är denna korrespondens en bijektion från uppsättningen mellanliggande fält till uppsättningen av undergrupper i Galois-gruppen. Dessutom är de undergrupper som motsvarar normala förlängningar normala undergrupper av G och vice versa. $L_{1}\subset L_{2}\subset \cdots \subset L_{n}.$ $G=\operatörsnamn {Gal} (L_{n},L_{1}).$ $L_{k}$ $G_{k}$ $L_{1}\subset X\subset L_{n}$

Denna korrespondens tillåter oss att studera ändliga förlängningar av fält med hjälp av gruppteori. Till exempel följer det omedelbart att antalet mellanliggande fält för en given normal förlängning alltid är ändlig (som antalet undergrupper i en ändlig grupp).

Algebraiska ekvationer

Huvudfältet i en algebraisk ekvation är en uppsättning tal som kan erhållas från koefficienterna för denna ekvation med hjälp av operationerna addition , subtraktion , multiplikation och division . Ett nedbrytningsfält är en uppsättning tal som kan erhållas med ett ändligt antal av samma operationer, baserat på ekvationens koefficienter och rötter. Huvudfältet i det allmänna fallet är endast ett underfält till sönderdelningsfältet.

Det är vanligt att kalla Galois-gruppen som bildas av automorfismer av nedbrytningsfältet för Galois-gruppen i denna ekvation . Varje automorfism från Galois-gruppen G ( K , P ) mappar varje rot av ett godtyckligt polynom över fältet P tillbaka till en rot av samma polynom. Således kan Galois-gruppen i alla algebraiska ekvationer som inte har flera rötter betraktas som en permutationsgrupp (det är så Evarist Galois själv ansåg det ).

Anteckningar

↑ N. Kh. Ibragimov. En kort digression om Galois-gruppen // ABC of group analysis. - M . : Kunskap, 1989. - S. 42.

Litteratur

Artin E. Galois teori. - M. : MTSNMO, 2008. - ISBN 978-5-94057-062-2 .
Postnikov M. M. Galois teori. — M .: Nauka, 1963. — 220 sid.