Linjär bråkdelfunktion

En linjär bråkfunktion är en numerisk funktion som kan representeras som ett bråk, vars täljare och nämnare är linjära funktioner .

Den linjär-fraktionella funktionen, som generellt mappar ett flerdimensionellt numeriskt utrymme till ett endimensionellt numeriskt utrymme, är ett viktigt specialfall:

för både i reellt och komplext rum - en rationell funktion , som i det allmänna fallet mappar ett endimensionellt numeriskt utrymme i sig själv med hjälp av polynom av en variabel av godtycklig grad ; $n=1$
för i ett komplext rum, en fraktionell-linjär transformation , som i det allmänna fallet kartlägger ett flerdimensionellt komplext rum i sig själv; $n=1$
när i komplexa och när i verkliga rymden, invertering med avseende på cirklar , - Möbius transformationer . $n=1$ $n=2$

Formell definition

En linjär bråkfunktion är en numerisk funktion av formen

\mathbb {U} ^{n}\to \mathbb {U} :w=L(u_{1},u_{2},\dots ,u_{n})={\frac {a_{1 }u_{1}+a_{2}u_{2}+\cdots +a_{n}u_{n}+b}{c_{1}u_{1}+c_{2}u_{2}+\cdots +c_{n}u_{n}+d}},

där är komplexa ( ) eller reella ( ) tal, är respektive komplexa eller reella variabler, är respektive komplexa eller reella koefficienter, $\mathbb {U}$ $\mathbb {Z}$ $\mathbb {R}$ $u_1, u_2, \prickar, u_n$ $a_{1},a_{2},\dots ,a_{n},$ $c_{1},c_{2},\dots ,c_{n},$ $b,d$

|c_{1}|+|c_{2}|+\dots +|c_{n}|+|d|>0

[1] .

Generalisering till kvaternioner är möjlig [2] .

Degenererade fall [1] :

|c_{1}|=|c_{2}|=\dots =|c_{n}|=0,

då blir den linjär-fraktionella funktionen en hel linjär funktion ;

om rangen av matrisen

\left({\begin{array}{cccc}a_{1}&a_{2}&\ldots &a_{n}&b\\c_{1}&c_{2}&\ldots &c_{n}&d\ end{array}}\right)

är lika med ett, då urartar den linjär-fraktionella funktionen till en konstant .

För en korrekt (icke-degenererad) linjär-fraktionell funktion [1] :

$|c_{1}|+|c_{2}|+\dots +|c_{n}|>0;$
lika med två matrisrang

\left({\begin{array}{cccc}a_{1}&a_{2}&\ldots &a_{n}&b\\c_{1}&c_{2}&\ldots &c_{n}&d\ slut{array}}\höger).

Verklig fraktionell linjär funktion

En real bråkdel linjär funktion är en numerisk funktion av formen

\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} :y=L(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})={\frac {a_{1 }x_{1}+a_{2}x_{2}+\cdots +a_{n}x_{n}+b}{c_{1}x_{1}+c_{2}x_{2}+\cdots +c_{n}x_{n}+d}},

var är reella tal, är reella variabler, är reella koefficienter, $\mathbb {R}$ $x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}$ $a_{1},a_{2},\dots ,a_{n},$ $c_{1},c_{2},\dots ,c_{n},$ $b,d$

|c_{1}|+|c_{2}|+\dots +|c_{n}|+|d|>0

[1] .

Funktion för en variabel

I enklaste fall och på riktigt $n=1$

x_{1}=x,

a_{1}=a,

b,

c_{1}=c,

d

graf av en linjär-fraktionell funktion - likbent hyperbel med asymptoter

x=-d/c

och

y=a/c,

parallellt med koordinataxlarna: [1] .

Asymptoter för en hyperbel

Låt en linjär-fraktionell funktion av en variabel

y={\frac {ax+b}{cx+d))

är irreducible, det vill säga, och kan inte reduceras till en hel linjär funktion, det vill säga . Vi väljer heltalsdelen av bråket och tar ut koefficienten vid [3] : $ad-bc\neq 0$ $c\neq 0$ $x$

y={\frac {{\frac {a}{c}}x+{\frac {b}{c}}}{x+{\frac {d}{c}}}}={\frac { {\frac {a}{c}}\left(x+{\frac {d}{c}}\right)+\left({\frac {b}{c}}-{\frac {ad}{c ^{2}}}\right)}{x+{\frac {d}{c}}}}=

={\frac {a}{c}}-{\frac {ad-bc}{c^{2}(x+{\frac {d}{c))))}.

Nu är det tydligt att funktionsgrafen erhålls från grafen genom följande elementära transformationer: ${\frac {ax+b}{cx+d}}$ ${\frac {1}{x}}$

sträcktider längs axeln och vid reflektion kring axeln ; $\left|{\frac {ad-bc}{c^{2}}}\right|$ $Oj$ $ad-bc>0$ $Oxe$
rör sig parallellt med axeln med ; $Oxe$ $-{\frac {d}{c))$
rör sig parallellt med axeln med . $Oj$ ${\frac {a}{c}}$

Således är en linjär-fraktionell funktion av en variabel en vanlig hyperbel av andra ordningen, linjerna och är hyperbelns asymptoter , ömsesidigt vinkelräta och parallella med koordinataxlarna, och skärningspunkten för asymptoterna , som inte hör hemma till kurvan, är dess centrum [3] . ${\frac {ax+b}{cx+d}}$ $x=-{\frac {d}{c))$ $y={\frac {a}{c}}$ $\left(-{\frac {d}{c}},{\frac {a}{c}}\right)$

Det är också uppenbart att den linjära fraktionella funktionen för en variabel [3] : ${\frac {ax+b}{cx+d}}$

"förlorar sin mening", det vill säga har ingen mening, upphör att "existera" vid punkten ; $x=-{\frac {d}{c))$
på intervallerna och funktionen ökar överallt som och minskar överallt som ; $\left(-\infty ,-{\frac {d}{c))\right)$ $\left(-{\frac {d}{c)),+\infty \right)$ $ad-bc>0$ $ad-bc<0$
med en obegränsad ökning av funktionens värde närmar de sig obegränsat till , vilket också kan ses av transformationen $|x|$ ${\frac {a}{c}}$

{\frac {ax+b}{cx+d}}={\frac {a+{\frac {b}{x}}}{c+{\frac {d}{x}}}}.

Derivat

\left({\frac {a}{c}}-{\frac {ad-bc}{c^{2}(x+{\frac {d}{c))))))\right) ' ={\frac {ad-bc}{c^{2}(x+{\frac {d}{c)))^{2}}}.

Obestämd integral :

\int \left({\frac {a}{c}}-{\frac {ad-bc}{c^{2}(x+{\frac {d}{c}})))\right )dx={\frac {a}{c}}x-{\frac {ad-bc}{c^{2}}}\ln \left|x+{\frac {d}{c}}\right| +C.

Den kanoniska ekvationen för en hyperbel

Först ger vi funktionen

y={\frac {a}{c}}-{\frac {ad-bc}{c^{2}(x+{\frac {d}{c))))}}

koordinera transformationer till formen

y'={\frac {m}{x'}}.

För att göra detta gör vi följande byten:

x'=x+{\frac {d}{c)),

y'=y-{\frac {a}{c)),

m=-{\frac {ad-bc}{c^{2}}},

vi får den önskade formen av funktionen [4] .

Låt oss nu rotera koordinataxlarna med en vinkel genom att ändra koordinaterna $45^{\circ },$

x'=x''\cos(45^{\circ })-y''\sin(45^{\circ })={\frac {x''-y''}{\sqrt { 2}}},

y'=x''\sin(45^{\circ })+y''\cos(45^{\circ})={\frac {x''+y''}{\sqrt { 2}}},

vi får in nya koordinater [4] :

x'y'=m,

{\frac {x''-y''}{\sqrt {2}}}{\frac {x''+y''}{\sqrt {2}}}=m,

{\frac {x''^{2}}{2m}}-{\frac {y''^{2}}{2m}}=1.

Den sista ekvationen är den kanoniska ekvationen för en liksidig hyperbel med halvaxlar [4] $a=b={\sqrt {2|m|}}.$

Funktion för två variabler

I fallet med och reell, grafen för en linjär-fraktionell funktion $n=2$ $x_{1},$ $x_{2},$ $a_{1},$ $a_{2},$ $b,$ $c_{1},$ $c_{2},$ $d$

y={\frac {a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+b}{c_{1}x_{1}+c_{2}x_{2}+d} }

är en hyperbolisk paraboloid [1] .

Komplex linjär-fraktionell funktion

En komplex linjär-fraktionell funktion är en numerisk funktion av formen

\mathbb {C} ^{n}\to \mathbb {C} :w=L(z_{1},z_{2},\dots ,z_{n})={\frac {a_{1 }z_{1}+a_{2}z_{2}+\cdots +a_{n}z_{n}+b}{c_{1}z_{1}+c_{2}z_{2}+\cdots +c_{n}z_{n}+d}},

där är komplexa tal, är komplexa variabler, är komplexa koefficienter, $\mathbb {C}$ ${\displaystyle z_{1},z_{2},\dots ,z_{n))$ $a_{1},a_{2},\dots ,a_{n},$ $c_{1},c_{2},\dots ,c_{n},$ $b,d$

|c_{1}|+|c_{2}|+\dots +|c_{n}|+|d|>0

[1] .

För komplex linjär bråkfunktion $n=1$

\mathbb {C} \to \mathbb {C} :w=L(z)={\frac {az+b}{cz+d))

—

analytisk funktion av en komplex variabel överallt i det utökade komplexa planet , förutom den punkt där den komplexa linjär-fraktionella funktionen har en enkel pol [1] . ${\widehat {\mathbb {C} }}=\mathbb {C} \cup \{\infty \}$ $z=-d/c$

För komplex linjär bråkfunktion $n\geqslant 1$

\mathbb {C} ^{n}\to \mathbb {C} :w=L(z_{1},z_{2},\dots ,z_{n})={\frac {a_{1 }z_{1}+a_{2}z_{2}+\cdots +a_{n}z_{n}+b}{c_{1}z_{1}+c_{2}z_{2}+\cdots +c_{n}z_{n}+d}},

—

en meromorf funktion i rymden av komplexa variabler som har en polär uppsättning ${\mathbb C}^{n}$ ${\displaystyle z_{1},z_{2},\dots ,z_{n))$

\{z\in \mathbb {C} ^{n};c_{1}z_{1}+c_{2}z_{2}+\cdots +c_{n}z_{n}+d= 0\}

[1] .

Anteckningar

↑ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Encyclopedia of Mathematics , vol. 2, 1979 , st. 384.
↑ Alan F. Beardon. De diskreta gruppernas geometri, 1983 , sid. 56.
↑ 1 2 3 Encyclopedia of Elementary Mathematics . Bok tre, 1952 , sid. 56-57.
↑ 1 2 3 Efimov N. V. Kort kurs i analytisk geometri, 2005 , 119, sid. 120.

Litteratur

Efimov N. V. En kort kurs i analytisk geometri: Uchebn. ersättning. 13:e upplagan, stereo. M.: FIZMATLIT, 2005. 238 s., ill. ISBN 5-9221-0252-4 .
Matematisk uppslagsverk : Kap. ed. I.M. Vinogradov , vol. 2 D-Koo. M .: "Sovjetiska encyklopedien", 1979. 1104 stb., Ill.
Encyclopedia of Elementary Mathematics . Bok tre. Funktioner och gränser (grunderna för analys) / Ed. P.S. Aleksandrov , A.I. Markushevich och A. Ya. Khinchin . M., L.: Statens förlag för teknisk och teoretisk litteratur, 1952. 559 s., ill.
Alan F. Beardon. Geometrin hos diskreta grupper. Berlin, Heidelberg, New York: Springer-Verlag, 1983. 337 s., 93 ill.