Kategori isomorfism

Kategoriisomorfism är en en-till-en-relation mellan kategorier som bevarar strukturen av objekt och morfismer: kategorier och är isomorfa om det finns funktorer och som är omvända till varandra, det vill säga (identitetsfunktion på ) och [1] . De två isomorfa kategorierna delar alla egenskaper som endast definieras i termer av kategoriteori; för alla praktiska ändamål är de identiska, skiljer sig endast i objekt- och morfismbeteckningar. $C$ $D$ $F\colon C\to D$ $G\colon D\to C$ $FG=1_{D}$ $D$ $GF=1_{C}$

Kategoriisomorfism är ett mycket starkt tillstånd som sällan uppfylls; i detta avseende används begreppet kategoriekvivalens oftare , för vilket det inte krävs att det är lika med , utan endast naturligt isomorft , och på liknande sätt vara naturligt isomorft . $FG$ $1_{D}$ $1_{D}$ $GF$ $1_{C}$

En funktor skapar en isomorfism av kategorier om och endast om den är bijektiv på objekt och på uppsättningen av morfismer [1] ; tack vare detta kriterium är det möjligt att bevisa kategoriernas isomorfism utan att konstruera en invers funktion . $F\colon C\to D$ $G$

Exempel

För en ändlig grupp- , fält- och gruppalgebra är kategorin linjära representationer av gruppgruppen isomorf till kategorin vänstermoduler över . En isomorfism kan beskrivas på följande sätt: om en representation av en grupp ges , där är ett vektorutrymme över , är gruppen av dess linjära automorfismer , och är en homomorfism av grupper , översätts till vänster -modulen enligt följande: $G$ $k$ $kg$ $k$ $G$ $kg$ $\rho \colon G\to \mathbf {GL} (V)$ $V$ $k$ $\mathbf {GL} (V)$ $k$ $\rho$ $V$ $kg$

\left(\sum _{g\in G}a_{g}g\right)v=\sum _{g\in G}a_{g}\rho (g)(v)

för något av och alla element av . Omvänt, om en vänster -modul ges , då är ett -vektorutrymme, och multiplikation med ett gruppelement leder till en -linjär automorfism av modulen (eftersom vi är inverterbara till ), som beskriver en grupphomomorfism . $v$ $V$ $\sum a_{g},g\in kG$ $kg$ $M$ $M$ $k$ $g$ $G$ $k$ $M$ $g$ $kg$ $G\to \mathbf {GL} (M)$

Vilken ring som helst kan betraktas som en pre-additiv kategori med ett enda objekt. Funktionskategorin för alla additivfunktioner från denna kategori till kategorin abelska grupper är isomorf till kategorin vänstermoduler över en ring.

Kategori automorfism uppstår i teorin om booleska algebror : kategorin booleska algebror är isomorf till kategorin booleska ringar . Den givna booleska algebran översätts till en boolesk ring med den symmetriska skillnaden som addition och den logiska multiplikationsoperationen som multiplikation. Omvänt, om en boolesk ring ges , då kan vi definiera unionsoperationen som , och skärningsoperationen som multiplikation. Båda dessa definitioner kan utvidgas till morfismer för att erhålla funktorer, och dessa funktorer är ömsesidigt inversa till varandra. $B$ $\landa$ $R$ $a\lor b=a+b+ab$

Om är en kategori med initialt objekt , då är kategorin objekt "ovanför" ( ) isomorf till . Dubbelt , om är ett terminalobjekt i , är funktorkategorin ( ) isomorf . $C$ $s$ $s{\downarrow }C$ $C$ $t$ $C$ $C{\downarrow }t$ $C$

Anteckningar

↑ 1 2 McLane, 2004 , sid. 25.

Litteratur

McLane S. Kapitel 1. Kategorier, funktioner och naturliga transformationer // Kategorier för den arbetande matematikern / Per. från engelska. ed. V. A. Artamonova. - M . : Fizmatlit, 2004. - S. 17-42. — 352 sid. — ISBN 5-9221-0400-4 .