En boolesk ring är en ring med idempotent multiplikation, det vill säga en ring där för alla [1] [2] [3] .
Det mest kända exemplet på en boolesk ring erhålls från boolesk algebra genom att införa addition och multiplikation enligt följande:
I synnerhet bildar Boolean för en del uppsättning en boolesk ring med avseende på den symmetriska skillnaden och skärningspunkten mellan delmängder . I samband med detta grundläggande exempel, genom att introducera addition i en boolesk ring som " exklusiv eller " för booleska algebror, och multiplikation som en konjunktion , används symbolen ibland för addition i booleska ringar , och för multiplikation, tecknen på gitterinfimum ( , , ).
Varje boolesk ring som erhålls på detta sätt från en boolesk algebra har en enhet , som sammanfaller med enheten för den ursprungliga booleska algebra. Dessutom definierar varje boolesk ring med identitet unikt en boolesk algebra genom följande definitioner av operationer:
I varje boolesk ring , som en konsekvens av idempotens med avseende på multiplikation:
,och eftersom annulus är en abelisk grupp , är det möjligt att subtrahera en komponent från båda sidor av denna ekvation.
Varje boolesk ring är kommutativ , vilket också är en konsekvens av multiplikationens idempotens:
,som ger , vilket i sin tur betyder .
Varje icke-trivial finit boolesk ring är en direkt summa av restfält modulo 2 ( ) och har en enhet .
Kvoteringen av en boolesk ring av ett godtyckligt ideal är också en boolesk ring. På samma sätt är varje underring av någon boolesk ring en boolesk ring. Varje primideal i en boolesk ring är maximal : en kvotring är en integritetsdomän , såväl som en boolesk ring, så den är isomorf till ett fält , som visar maximalitet . Eftersom maximala ideal alltid är primtal, är begreppen primtal och maximal ideal desamma för booleska ringar.
Booleska ringar är helt platta , det vill säga alla moduler över dem är platt .
Varje ändligt genererat ideal för en boolesk ring är principiellt .