Kvasicyklisk grupp

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 19 februari 2019; kontroller kräver 3 redigeringar .

En kvasicyklisk p - grupp , för ett fast primtal p , är den enda p - gruppen där exakt p rötter av den p - e graden kan extraheras från vilket element som helst. Betecknas vanligtvis som Z ( p ∞ )

Den kvasicykliska p - gruppen kallas också för Prufer p -gruppen , efter den tyske matematikern Heinz Prüfer .

Egenskaper

En kvasicyklisk p - grupp kan representeras som en undergrupp U(1) bestående av komplexa rötter av enhet av graden p n , där n går genom alla naturliga tal:

\mathbb {Z} (p^{\infty })=\{\exp(2\pi im/p^{n})\mid m\in \mathbb {N} ,\,n\in \ mathbb {N} \}.\;

På motsvarande sätt kan en kvasicyklisk p - grupp ses som en undergrupp av Q/Z bestående av element vars ordning är en potens av p :

\mathbb {Z} (p^{\infty })=\mathbb {Z} [1/p]/\mathbb {Z} .

Prufer p - gruppen kan också ges av generatorer och relationer:

\mathbb {Z} (p^{\infty })=\langle \,g_{1},g_{2},g_{3},\ldots \mid g_{1}^{p}=1 ,g_{2}^{p}=g_{1},g_{3}^{p}=g_{2},\dots \,\rangle .

En kvasicyklisk p -grupp är den enda oändliga p -gruppen som är lokalt cyklisk (det vill säga sådan att varje finit delmängd av dess element genererar en cyklisk grupp ). Det är lätt att se att alla egentliga undergrupper av en kvasicyklisk grupp är cykliska.

En kvasicyklisk grupp är delbar .

I teorin om lokalt kompakta topologiska grupper är en kvasicyklisk p -grupp utrustad med den diskreta topologin Pontryagins dubbla till den kompakta gruppen av p -adiska heltal .

Kvasicykliska p - grupper, för alla möjliga primtal p , är de enda oändliga grupperna så att mängden av deras undergrupper är linjärt ordnad genom inbäddning:

0\subset \mathbf {Z} /p\subset \mathbf {Z} /p^{2}\subset \mathbf {Z} /p^{3}\subset \cdots \subset \mathbf {Z} (p^{\infty }).

På denna kedja av inneslutningar representeras Prufer p -gruppen som den direkta gränsen för dess ändliga undergrupper.

Som en -modul är Prufer p -gruppen Artinian men inte Noetherian (på samma sätt är den Artinian men inte Noetherian ). Som sådan är det ett motexempel till det möjliga påståendet att vilken artinian som helst är en Noetherian-modul. $\mathbb {Z}$

Länkar

kvasicyklisk grupp (engelska) på webbplatsen PlanetMath .
N.N. Williams. Kvasicyklisk grupp på Wolfram MathWorld -webbplatsen .
Jacobson, Nathan. Grundläggande algebra . - Dover, 2009. - ISBN 978-0-486-47187-7 .
Pierre Antoine Grillet. Abstrakt algebra. - Springer, 2007. - ISBN 978-0-387-71567-4 .
DL Armacost och WL Armacost. Om p-tetiska grupper (engelska) // Pacific J. Math .. - 1972. - Vol. 41, nr. 2 . - s. 295-301.