Bianchi klassificering

Bianchi -klassificeringen är en klassificering av verkliga tredimensionella Lie-algebror och grupper . Uppkallad efter Luigi Bianchi , som bevisade det 1898.

Klassificeringen innehåller 11 klasser; 9 av dem innehåller en algebra var och två innehåller en kontinuumfamilj av algebror. (Ibland ingår två grupper i oändliga familjer, vilket ger 9 i stället för 11 klasser.)

Termen Bianchi-klassificering används också för liknande klassificeringar i andra dimensioner, samt för klassificeringar av komplexa Lie-algebror.

Dimensioner 0, 1 och 2

Dimension 0: den enda Lie-algebra är den triviala nolldimensionella algebra.
Dimension 1: Den enda Lie-algebra är den Abeliska Lie-algebra . Dess yttre automorfismgrupp är den multiplikativa gruppen av reella tal som inte är noll. $\mathbb {R}$
Dimension 2: Det finns två Lie-algebror:
1. Abelian Lie Algebra med Outer Automorphism Group . $\mathbb {R} ^{2}$ $GL(2,\mathbb {R} )$
2. Lösbar Lie-algebra av övre triangulära 2×2-matriser med nollspår . Den har ett trivialt centrum och en trivial yttre automorfismgrupp. Den associerade enkelt sammankopplade Lie-gruppen är gruppen av affina transformationer av linjen (ibland kallas den -grupp ). $(a\cdot x+b)$

Dimension 3

Alla tredimensionella Lie-algebror, förutom typerna VIII och IX, kan konstrueras som en halvdirekt produkt av och , och verkar på någon 2×2-matris . Olika typer motsvarar olika typer av matriser , som beskrivs nedan. $\mathbb {R} ^{2}$ $\mathbb {R}$ $\mathbb {R}$ $\mathbb {R} ^{2}$ $M$ $M$

Typ I. Det är en abelsk och unimodulär Lie-algebra . Dess enkelt sammankopplade grupp har ett centrum och en yttre automorfismgrupp . Detta är fallet när det är 0. $\mathbb {R} ^{3}$ $\mathbb {R} ^{3}$ $GL(3,\mathbb {R} )$ $M$
Typ II : Heisenberg algebra , som är nilpotent och unimodulär. En enkelt sammankopplad grupp har ett centrum och en yttre automorfismgrupp . Detta är fallet när nilpotent men inte 0 (alla egenvärden är 0). $\mathbb {R}$ $GL(2,\mathbb {R} )$ $M$
Typ III : Denna algebra är produkten av en 2-dimensionell icke-Abelsk Lie-algebra. (Detta är begränsningsfallet för typ VI, när ett egenvärde försvinner.) Det är avgörbart och inte unimodulärt. En enkelt sammankopplad grupp har ett centrum . Dess yttre automorfismgrupp är gruppen av reella tal som inte är noll. Matrisen har ett noll- och ett icke-noll-egenvärde. $\mathbb {R}$ $\mathbb {R}$ $M$
Typ IV : algebra, definierad av [ y , z ] = 0, [ x , y ] = y , [ x , z ] = y + z . Det är avgörbart och inte unimodulärt. En enkelt sammankopplad grupp har ett trivialt centrum och en yttre automorfismgrupp som är produkten av de reella talen och en grupp av ordning 2. Matrisen har två lika stora egenvärden som inte är noll, men är inte diagonaliserbar . $M$
Typ V : [ y , z ] = 0, [ x , y ] = y , [ x , z ] = z . Lösbar och inte unimodulär. (Gränsfallet för typ VI, när båda egenvärdena är lika.) En enkelt sammankopplad grupp har ett trivialt centrum, och yttre automorfismer grupperar element av determinanten +1 eller −1. Matrisen har två lika egenvärden och är diagonaliserbar. $GL(2,\mathbb {R} )$ $M$
Typ VI : en oändlig familj: halvdirekta produkter av , där matrisen har distinkta reella egenvärden som inte är noll med summa som inte är noll. Algebror är avgörbara och inte unimodulära. En enkelt sammankopplad grupp har ett trivialt centrum och en yttre automorfismgrupp som är produkten av reella tal som inte är noll och en grupp av ordning 2. $\mathbb {R} ^{2}$ $\mathbb {R}$ $M$
Typ VI 0: Denna Lie-algebra är en halvdirekt produkt av , där matrisen M har distinkta reella nollsummaegenvärden som inte är noll. Det är avgörbart och unimodulärt. Detta är Lie-algebra för den 2-dimensionella Poincaré - gruppen, isometrigruppen i det 2-dimensionella Minkowski-utrymmet . En enkelt sammankopplad grupp har ett trivialt centrum och en yttre automorfismgrupp, en produkt av positiva reella tal med en dihedrisk grupp av ordningen 8. $\mathbb {R} ^{2}$ $\mathbb {R}$
Typ VII : en oändlig familj: halvdirekta produkter av , där matrisen har komplexa egenvärden, varken reella eller imaginära. Lösbar och inte unimodulär. En enkelt sammankopplad grupp har ett trivialt centrum, och yttre automorfismer grupperar reella tal som inte är noll. $\mathbb {R} ^{2}$ $\mathbb {R}$ $M$
Typ VII 0 : halvdirekt produkt av , där matrisen har imaginära egenvärden som inte är noll. Lösbar och unimodulär. Detta är Lie-algebra för gruppen plan isometri. En enkelt sammankopplad grupp har ett centrum Z och en yttre automorfismgrupp som är produkten av reella tal som inte är noll och en grupp av ordning 2. $\mathbb {R} ^{2}$ $\mathbb {R}$ $M$
Typ VIII : Liealgebra av 2×2 matriser med spår noll associerad med gruppen . Enkelt och unimodulärt. En enkelt sammankopplad grupp är inte en matrisgrupp; den betecknas , har ett centrum Z och en yttre automorfismgrupp av ordning 2. $sl(2,\mathbb {R} ^{2})$ $SL(2,\mathbb {R} ^{2})$ ${\widetilde {\mbox{SL}}}(2,\mathbf {R} )$
Typ IX : Liealgebra för den ortogonala gruppen . Den betecknas 𝖘𝖔(3) och är enkel och unimodulär. Den motsvarande enkelt anslutna gruppen är SU(2) ; den har ett center of order 2 och en trivial yttre automorfismgrupp, och är en rotationsgrupp . $O(3,\mathbb {R} )$

Klassificeringen av tredimensionella komplexa Lie-algebror är liknande, förutom att typerna VIII och IX blir isomorfa, medan typerna VI och VII blir en del av en enda familj av Lie-algebror.

Anslutna 3-dimensionella Lie-grupper kan klassificeras enligt följande: de är faktorn för den motsvarande enkelt anslutna Lie-gruppen av den diskreta undergruppen av centrum, så de kan läsas från den givna listan.

Grupper är associerade med 8 typer av geometrier i Thurstons geometriseringsförmodan . Mer exakt kan sju av de 8 geometrierna realiseras som vänsterinvarianta mått på en enkelt sammankopplad grupp (ibland på mer än ett sätt). Typgeometri kan inte implementeras på detta sätt. $\mathbb {S} ^{2}\times \mathbb {R}$

Länkar

R. Borcherds (engelska) , Liegrupper: Bianchi-klassificering på YouTube