Kombinatorisk geometri

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 24 juni 2022; verifiering kräver 1 redigering .

Kombinatorisk eller diskret geometri är en gren av geometrin som studerar de kombinatoriska egenskaperna hos geometriska objekt och relaterade konstruktioner. I kombinatorisk geometri betraktar de ändliga och oändliga diskreta mängder eller strukturer av grundläggande geometriska objekt av samma typ ( punkter , linjer , cirklar , polygoner , kroppar med samma diameter , heltalsgitter , etc.) och väcker frågor relaterade till egenskaperna hos olika geometriska strukturer från dessa objekt eller på dessa strukturer. Problemen med kombinatorisk geometri sträcker sig från specifika "objekt"-kombinatoriska frågor (men inte alltid med enkla svar) - tesselleringar , packning av cirklar på ett plan , Picks formel - till allmänna och djupa frågor, såsom Borsuk -förmodan , Nelson- Erdős-Hadwiger problem .

Historik

Även om polyedrar , plattsättningar och packningar av sfärer studerades av Kepler och Cauchy , började modern kombinatorisk geometri att ta form i slutet av 1800-talet. Några av de första problemen var: packning täthet av cirklar av Axel Thue , projektiv konfiguration Steinitz , geometri av Minkowski siffror och problemet med fyra färger av Francis Guthrie .

Problemexempel

Följande exempel ger en uppfattning om utbudet av problem inom kombinatorisk geometri.

Vitalis täckande lemma är ett kombinatoriskt geometriskt resultat. Används flitigt i måttteori.

Problemet med möjliga och mest täta packningar av cirklar på ett plan och bollar i rymden . De tätaste packningarna av cirklar och sfärer verkar uppenbara. Men ett fullständigt matematiskt bevis för cirklar erhölls först 1940 [1] . För bollar dök ett datorbevis på Keplers gissningar upp 400 år senare 1998 i matematikern Thomas Hales arbete

Erdős-Szekeres sats om konvexa polygoner säger att i vilken som helst tillräckligt stor uppsättning punkter i en allmän position på planet kan man hitta punkter som är hörn av en konvex polygon. Erdős-Szekeres gissningar om det minsta antalet punkter som nödvändigtvis innehåller en konvex -gon har hittills inte bevisats. Detta problem är också ett problem för Ramsey-teorin . $n$ $n$

Minkowskis konvexa kroppssats . Låta vara en sluten konvex kropp , symmetrisk med avseende på ursprunget för koordinater -dimensionella euklidiska rymden, med volym . Sedan finns det en heltalspunkt som skiljer sig från . Detta teorem markerade början av siffrors geometri . $S$ $O$ $n$ $\geq 2^{n}$ $S$ $O$

Borsuks gissning säger att varje kropp med diameter i det dimensionella euklidiska utrymmet kan delas upp i delar så att diametern på varje del är mindre än . Denna gissning bevisades för dimensioner och , men vederlagdes för utrymmen av hög dimension. Enligt den uppskattning som är känd idag är den felaktig för utrymmen av dimension 64 och mer [2] . $d$ $n$ $n+1$ $d$ $2$ $3$

Danzer-Grunbaums problem är att hitta en ändlig uppsättning av så många punkter i ett flerdimensionellt utrymme som möjligt, mellan vilka endast spetsiga vinklar kan konstrueras.

Se även

Anteckningar

↑ Chang, Hai-Chau & Wang, Lih-Chung (2010), A Simple Proof of Thue's Theorem on Circle Packing, arΧiv : 1009.4322v1 [math.MG].
↑ Thomas Jenrich, ett 64-dimensionellt motexempel på två avstånd till Borsuks gissning Arkiverad 26 december 2018 på Wayback Machine

Länkar

Bezdek, Andras; Kuperberg, W. Diskret geometri: till ära av W. Kuperbergs 60-årsdag (engelska) . — New York, NY: Marcel Dekker, 2003. - ISBN 0-8247-0968-3 .
Bezdek, Karoly. Klassiska ämnen i diskret geometri (obestämd) . — New York, NY: Springer, 2010. — ISBN 978-1-4419-0599-4 .
Brass, Peter; Moser, William; Pach, JanosForskningsproblem inom diskret geometri (obestämd) . - Berlin: Springer, 2005. - ISBN 0-387-23815-8 .
Pach, Janos; Agarwal, Pankaj K. Kombinatorisk geometri (obestämd) . — New York: Wiley-Interscience , 1995. — ISBN 0-471-58890-3 .
Goodman, Jacob E. och O'Rourke, Joseph. Handbook of Discrete and Computational Geometry, andra upplagan . - Boca Raton: Chapman & Hall/CRC, 2004. - ISBN 1-58488-301-4 .
Gruber, Peter M. Konvex och diskret geometri. - Berlin: Springer, 2007. - ISBN 3-540-71132-5 .
Matousek, Jiri. Föreläsningar om diskret geometri. - Berlin: Springer, 2002. - ISBN 0-387-95374-4 .
Vladimir Boltyanski, Horst Martini, Petru S. Soltan,. Utflykter i kombinatorisk geometri (neopr.) . - Springer, 1997. - ISBN 3-540-61341-2 .

I bibliografiska kataloger	GND : 4130271-0 J9U : 987007539732105171 LCCN : sh2002004432 NKC : ph187935