Switch (algebra)

En kommutator av operatorer och i algebra , såväl som kvantmekanik , är en operator . I allmänhet är det inte lika med noll. Begreppet en kommutator sträcker sig också till godtyckliga associativa algebror (inte nödvändigtvis operatoralgebror). Inom kvantmekaniken har namnet på kvant -Poisson-fästet också fastnat för kommutatorn för operatörer . ${\hat {A}}$ ${\hat B}$ $[{\hat A},{\hat B}]={\hat A}{\hat B}-{\hat B}{\hat A}$

Om kommutatorn för två operatörer är lika med noll, kallas de pendling, annars är de icke-pendlande.

Identiteter med kommutatorn

Antikommutativitet : Denna identitet innebär att för alla operatörer . $[A,B]=-[B,A].$ $[A,A]=0$ $A$

I associativ algebra är följande identiteter också sanna:

$[A,BC]=[A,B]C+B[A,C]$ . Denna identitet är Leibniz-regeln för en operator. Av denna anledning kallas en operator för en inneboende härledning i algebra. Operatören har en liknande egenskap $D_{A}=[A,\cdot ].$ $D_{A}$ ${\tilde D}_{A}=[\cdot ,A].$
Jacobi-identitet : En algebra som uppfyller Jacobi-identiteten kallas en Lie-algebra . Alltså, från vilken associativ algebra som helst kan man få en Lie-algebra om man definierar multiplikation i den nya algebra som en kommutator av element i den gamla algebra. $[A,[B,C]]+[B,[C,A]]+[C,[A,B]]=0.$
$[AB,C]+[BC,A]+[CA,B]=0.$ Denna identitet är en annan notation av Jacobi-identiteten.
$[AB,C]=A[B,C]+[A,C]B$
$[ABC,D]=AB[C,D]+A[B,D]C+[A,D]BC$
$[AB,CD]=A[B,CD]+[A,CD]B=A[B,C]D+AC[B,D]+[A,C]DB+C[A,D ]B$
$[A,BCD]=[A,B]CD+B[A,C]D+BC[A,D]$
$[A,BCDE]=[A,B]CDE+B[A,C]DE+BC[A,D]E+BCD[A,E]$
$[ABCD,E]=ABC[D,E]+AB[C,E]D+A[B,E]CD+[A,E]BCD$
$[[[A,B],C],D]+[[[B,C],D],A]+[[[C,D],A],B]+[[[D,A], B],C]=[[A,C],[B,D]]$
$e^{A}Be^{-A}=B+[A,B]+{\frac {1}{2!}}[A,[A,B]]+{\frac {1}{ 3!}}[A,[A,[A,B]]]+\cdots \equiv e^{\operatörsnamn {ad} (A)}B.$ Denna formel är giltig i algebror där en matrisexponent kan definieras, till exempel i Banach-algebra eller i ringen av formella potensserier . Det spelar också en avgörande roll i kvantmekanik och kvantfältteori för att konstruera störningsteori för operatörer i Heisenberg- representationen och i interaktionsrepresentationen .
$\ln \left(e^{A}e^{B}e^{-A}e^{-B}\right)=[A,B]+{\frac {1}{2!} [(A+B),[A,B]]+{\frac {1}{3!}}\left([A,[B,[B,A]]]]/2+[(A+ B ),[(A+B),[A,B]]]\höger)+\cdots .$

Kommutatorn i kvantmekaniken

Som bekant motsvarar den fysiska mätningen i kvantmekaniken verkan av operatören av en fysisk storhet på systemets tillståndsvektor . De så kallade rena tillstånden , där den fysiska storheten har ett strikt definierat värde, motsvarar egenvektorer , medan värdet på storheten i ett givet tillstånd är egenvärdet för den rena tillståndsvektorn: ${\hat F}$ $f$ ${\hat F}$

{\hat {F}}\psi _{i}=f\psi _{i}

Om två kvantmekaniska storheter är mätbara samtidigt, kommer de båda i rena tillstånd att ha ett visst värde, det vill säga uppsättningarna av egenvektorer för storhetsoperatorerna sammanfaller. Men då kommer de att pendla:

{\hat {F}}{\hat {G}}\psi _{i}=g{\hat {F}}\psi _{i}=gf\psi _{i}={\hat {G}}{\hat {F}}\psi _{i}

Följaktligen motsvarar icke-pendlingsoperatörer fysiska kvantiteter som inte har ett bestämt värde samtidigt. Ett typiskt exempel är momentumoperatorerna (momentumkomponenter ) och motsvarande koordinat (se osäkerhetsrelationen ). ${\hat p}_{x}=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x))$ ${\hat x}=x$

Bevarandelagar

Egenvärdena för Hamiltonian i ett kvantsystem är energivärdena i stationära tillstånd. En uppenbar konsekvens av ovanstående är att en fysisk storhet vars operatör pendlar med Hamiltonian kan mätas samtidigt med systemets energi. Men inom kvantmekaniken tar energi en speciell roll. Från Schrödinger-ekvationen

i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t))={\hat {H))\psi

och definitionen av den totala derivatan av operatören med avseende på tid

{\dot {{\hat f}}}={\hat {{\dot f}}}

man kan få ett uttryck för den totala tidsderivatan av en fysisk storhet, nämligen:

{\dot {\hat {f))}={i \over \hbar }[{\hat {H)),{\hat {f))]+{\frac {\partial {\hat { f))}{\partial t))

Därför, om operatören av en fysisk kvantitet pendlar med Hamiltonian, ändras inte denna kvantitet med tiden . Denna relation är kvantanalogen av identiteten

{\dot {f))={\mathcal {\{}}H,f{\mathcal {\}}}+{\frac {\partial f}{\partial t}}

från klassisk mekanik, där {,} är Poisson-parentesen av funktioner. I likhet med det klassiska fallet uttrycker det närvaron av vissa symmetrier i systemet, vilket genererar integraler av rörelse . Det är egenskapen för bevarande under vissa rymdsymmetrier som ligger till grund för definitionen av många kvantanaloger av klassiska storheter, till exempel definieras rörelsemängd som en mängd som bevaras under alla översättningar av systemet, och rörelsemängd definieras som en kvantitet som bevaras under rotationer.

Vissa kommuteringsrelationer

Låt oss ange värdena för några vanliga kommutatorer.

{\hat r}_{i},{\hat p}_{i},{\hat L}_{i}

är operatorn för den i:te komponenten för radievektorn, rörelsemängd och rörelsemängd ; - Kroneckerdeltat ; är en absolut antisymmetrisk tredje rang pseudotensor .

\delta _{{ij}}

e_{{ijk}}

[{\hat {r}}_{i},{\hat {p}}_{j}]=i\hbar \delta _{ij}

[{\hat {p)),f({\vec {r)))]=-i\hbar \nabla f

[{\hat {L}}_{i},{\hat {r}}_{j}]=i\hbar e_{ijk}{\hat {r}}_{k}

[{\hat {L}}_{i},{\hat {p}}_{j}]=i\hbar e_{ijk}{\hat {p}}_{k}

[{\hat {L}}_{i},{\hat {L}}_{j}]=i\hbar e_{ijk}{\hat {L}}_{k}

[{\hat L}^{2},{\hat L}_{i}]=0

Som regel är relationerna för det normaliserade ögonblicket nödvändiga: $\ {\hat L}_{j}=\hbar {\hat l}_{j}$

[{\hat {l}}_{i},{\hat {r}}_{j}]=ie_{ijk}{\hat {r}}_{k}

[{\hat {l}}_{i},{\hat {p}}_{j}]=ie_{ijk}{\hat {p}}_{k}

[{\hat {l}}_{i},{\hat {l}}_{j}]=ie_{ijk}{\hat {l}}_{k}

[{\hat l}^{2},{\hat l}_{i}]=0

Det kan ses från dessa relationer att en partikels rörelsemängd inte kan mätas samtidigt med dess koordinater eller rörelsemängd. Dessutom, förutom det fall då momentet är lika med noll, är dess olika komponenter inte mätbara samtidigt. Denna rörelsemängd skiljer sig fundamentalt från rörelsemängden och radievektorn, där alla tre komponenterna kan bestämmas samtidigt. För rörelsemängd kan du bara mäta dess projektion på någon axel (vanligtvis ) och kvadraten på dess längd. $z$

Liealgebra för fysiska storheter

Kommutatorn är kvantanalogen till Poisson-fästet inom klassisk mekanik . Kommutatoroperationen introducerar strukturen för en Lie-algebra på operatorer (eller element i en algebra) , så antikommutativ multiplikation i en Lie-algebra kallas också en kommutator.

Icke-pendlingskvantiteter

Icke-pendlande kvantiteter kallas kvantiteter vars kommutator . $A$ $B$ $[A,B]=AB-BA\neq 0$

Två fysiska storheter är mätbara samtidigt om och endast om deras operatörer pendlar [1] .

Antikommutator

Antikommutatorn är en symmetriserande operator över elementen i ringen , som bestämmer graden av "antikommutativitet" för multiplikation i ringen:

[x,y]_{+}:=xy+yx

Den kommutativa " Jordan-multiplikationen " introduceras genom antikommutatorn . Clifford-algebra relaterar alltid naturligt antikommutatorn till den bilinjära formen som definierar den.

Exempel

Antikommutatorn för ett par olika imaginära enheter för kvaternioner är lika med noll.
Med hjälp av antikommutatorn bestäms Dirac- gammamatriserna .

Litteratur

Blokhintsev D. I. Grunderna i kvantmekaniken. - 5:e uppl. — M.: Nauka, 1976. — 664 sid.
Boum A. Kvantmekanik: grunder och tillämpningar. — M.: Mir, 1990. — 720c.
Dirac P. Kvantmekanikens principer. - 2:a uppl. — M.: Nauka, 1979. — 480 sid.
Landau L. D. , Lifshits E. M. Kvantmekanik (icke-relativistisk teori). — Upplaga 4. — M .: Nauka , 1989. — 768 sid. - (" Teoretisk fysik ", volym III). - ISBN 5-02-014421-5 .

Se även

Anteckningar

↑ 3.7. Samtidig mätning av olika fysiska storheter . Hämtad 15 april 2016. Arkiverad från originalet 24 april 2016. (obestämd)