Kristallografisk grupp

Kristallografisk grupp (Fedorov-gruppen) - en diskret grupp av rörelser - dimensionellt euklidiskt utrymme , med ett begränsat grundläggande område . $n$

Bieberbachs teorem

Två kristallografiska grupper anses vara ekvivalenta om de är konjugerade i gruppen av affina transformationer i det euklidiska rummet.

Bieberbachs satser

Varje dimensionell kristallografisk grupp innehåller linjärt oberoende parallella översättningar ; gruppen av linjära delar av transformationerna (det vill säga bilden i ) är ändlig. $n$ $\Gamma$ $n$ $G$ $\Gamma$ $GL_{n}$
Två kristallografiska grupper är ekvivalenta om och endast om de är isomorfa som abstrakta grupper.
För alla finns det bara ett ändligt antal dimensionella kristallografiska grupper som anses upp till ekvivalens (vilket är en lösning på Hilberts 18:e problem ). $n$ $n$

Satsen tillåter oss att ge följande beskrivning av strukturen av kristallografiska grupper som abstrakta grupper: Låt vara mängden av alla parallella översättningar som tillhör den kristallografiska gruppen . Då är en normal undergrupp av finita index, isomorf och sammanfaller med dess centraliserare i . Närvaron av en sådan normal undergrupp i en abstrakt grupp är också ett tillräckligt villkor för att gruppen ska vara isomorf till en kristallografisk grupp. $L$ $\Gamma$ $L$ $\mathbb{Z } ^{n}$ $\Gamma$ $\Gamma$ $\Gamma$

Gruppen av linjära delar av den kristallografiska gruppen bevarar gittret ; med andra ord, i gitterbasen skrivs transformationer från av heltalsmatriser. $G$ $\Gamma$ $L$ $L$ $G$

Antal grupper

Antalet kristallografiska grupper av dimensionellt utrymme med eller utan orienteringsbevarande ges av sekvenserna A004029 och A006227 . Upp till likvärdighet finns det $n$

17 platta kristallografiska grupper [1]
219 rumsliga kristallografiska grupper;
- om vi betraktar rymdgrupper upp till konjugation med hjälp av affina transformationer som bevarar orientering , då kommer det att finnas 230 av dem.
I dimension 4 finns det 4894 orienteringsbevarande kristallografiska grupper, eller 4783 utan orienteringsbevarande [2] [3] .

Möjliga symmetrier

Punktelement

Element av symmetri av finita figurer som lämnar åtminstone en punkt fixerad.

Roterande symmetriaxlar, spegelsymmetriplan, inversionscentrum (symmetricentrum) och felaktiga rotationer - inversionsaxlar och spegelrotationsaxlar. Felaktiga rotationer definieras som successiva rotationer och inversioner (eller reflektioner i ett vinkelrät plan). Vilken som helst spegelroterande axel kan ersättas med en inverterad axel och vice versa. När man beskriver rymdgrupper, prioriteras vanligtvis inversionsaxlar (medan Schoenflies symbolism använder spegelrotationsaxlar). I 2-dimensionella och 3-dimensionella kristallografiska grupper kan endast rotationer runt symmetriaxlarna med vinklar på 180° (2:a ordningens symmetriaxel), 120° (3:e ordningen), 90° (4:e ordningen) och 60° förekomma ( 6:e ordningen). Symmetriaxlarna i Bravais symbolism betecknas med bokstaven L med ett nedsänkt n som motsvarar axelordningen ( ), i internationell symbolik (Hermann-Mogen symbolism), med arabiska siffror som anger axelordningen (till exempel = 2 , = 3 och = 4). Inversionsaxlar i Bravais symbolik betecknas med bokstaven Ł med ett lägre numeriskt index n motsvarande ordningen på den roterande axeln ( Ł n ), i internationella symboler - med ett digitalt index med ett streck över n (till exempel Ł 3 = 3 , £ 4 = 4 , £ 6 = 6 ). Läs mer om felaktiga rotationer och deras notation här . Symmetriaxlar L 3 , L 4 , L 6 kallas symmetriaxlar av högre ordning [4] . Spegelns symmetriplan betecknas P av Brava och m i internationell symbolik. Inversionscentrum betecknas C i Brava och 1 i internationella symboler. $L_{n}$ $L_{2}$ $L_{3}$ $L_{4}$

Alla möjliga kombinationer av punktsymmetrielement leder till 10 punktsymmetrigrupper i 2-dimensionellt rum och 32 punktgrupper i 3-dimensionellt rum.

I det 4-dimensionella rymden uppträder en ny typ av symmetrielement - dubbla rotationer i två absolut vinkelräta plan . Detta ökar antalet symmetrielement som är kompatibla med translationssymmetri. För utrymmen med dimensionerna 4 och 5 i en kristall är punktsymmetrielement med ordningsföljderna 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10 och 12 möjliga. Dessutom, eftersom rotationer i vart och ett av de absolut vinkelräta planen kan vara möjliga utförs i olika riktningar, uppträder enantiomorfa par av punktsymmetrielement (t.ex. en dubbelrotation av fjärde ordningen, där rotationer på 90° i det första planet och 90° i det andra planet kombineras enantiomorfa till en dubbel rotation av fjärde ordningen, där rotationer på 90° i det första planet och -90° i det andra planet kombineras andra). Alla möjliga kombinationer av punktsymmetrier i 4-dimensionell rymd leder till 227 4-dimensionella punktgrupper, varav 44 är enantiomorfa (det vill säga totalt 271 punktsymmetrigrupper erhålls).

I 6-dimensionella och 7-dimensionella rum i en kristall, punktsymmetrielement med ordning 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 18, 20, 24 och 30 är möjliga [5] . Se även en:Crystallographic restriction theorem .

Sändningar

I kristallografiska grupper är översättningar alltid närvarande - parallella överföringar , när de förskjuts genom vilka kristallstrukturen kombineras med sig själv. Translationssymmetrin hos en kristall kännetecknas av Bravais-gittret . I det 3-dimensionella fallet är 14 typer av Bravais-galler möjliga totalt. I dimensionerna 4, 5 och 6 är antalet typer av Bravais-gitter 64, 189 respektive 841 [6] . Ur gruppteoretisk synvinkel är en översättningsgrupp en normal abelian undergrupp av en rymdgrupp, och en rymdgrupp är en förlängning av dess översättningsundergrupp. Faktorgruppen för rymdgruppen av translationsundergruppen är en av punktgrupperna.

Komplexa symmetrioperationer

Rotationer runt axlarna med simultan translation av någon vektor i riktningen för denna axel (skruvaxel) och reflektion i förhållande till planet med samtidig förskjutning av någon vektor parallell med detta plan (glidreflektionsplan). I internationella symboler betecknas spiralaxlar med numret på motsvarande roterande axel med ett index som kännetecknar mängden överföring längs axeln under samtidig rotation. Möjliga spiralaxlar i 3D-fallet: 2 1 (rotera 180° och skift 1/2 translation), 3 1 (rotera 120° och skift 1/3 translation), 3 2 (rotera 120° och skift 2/3 translation), 4 1 (rotera 90° och skift 1/4 translation), 4 2 (rotera 90° och skift 1/2 translation), 4 3 (rotera 90° och skift 3/4 translation), 6 1 , 6 2 , 6 3 , 6 4 , 6 5 (rotera med 60° och skift med 1/6, 2/6, 3/6, 4/6 respektive 5/6 översättningar). Axlarna 3 2 , 4 3 , 6 4 och 6 5 är enantiomorfa till axlarna 3 1 , 4 1 , 6 2 respektive 6 1 . Det är på grund av dessa axlar som det finns 11 enantiomorfa par av rymdgrupper - i varje par är den ena gruppen en spegelbild av den andra.

Glidreflektionsplan är betecknade beroende på glidriktningen med avseende på kristallcellens axlar. Om glidning sker längs en av axlarna, indikeras planet med motsvarande latinska bokstav a , b eller c . I detta fall är mängden slip alltid lika med hälften av översättningen. Om glidningen är riktad längs ytans diagonal eller cellens rumsdiagonal, betecknas planet med bokstaven n i fallet med en glidning lika med halva diagonalen, eller d i fallet med en glidning lika med en fjärdedel av diagonalen (detta är endast möjligt om diagonalen är centrerad). n- och d -planen kallas även kilplan. d -plan kallas ibland diamantplan eftersom de finns i diamantstrukturen (engelska diamant - diamant).

I vissa rymdgrupper finns det plan där glidning sker både längs en axel och längs cellens andra axel (det vill säga planet är både a och b eller a och c eller b och c ). Detta beror på centreringen av ytan parallellt med glidplanet. 1992 introducerades symbolen e för sådana plan . [7] Nikolai Vasil'evich Belov föreslog också att man skulle introducera notationen r för plan med glidning längs den rumsliga diagonalen i en romboedrisk cell. Men r -plan sammanfaller alltid med vanliga spegelplan, och termen har inte slagit fast.

Notation

Numrering

Kristallografiska (spatiala) grupper med alla deras inneboende symmetrielement sammanfattas i den internationella referensboken International Tables for Crystallography , utgiven av International Union of Crystallography . Det är tillåtet att använda den numrering som anges i denna handbok. Grupper numreras från 1 till 230 i ordningsföljd efter ökande symmetri.

Herman-Mogens symbolik

Mellanslagsgruppsymbolen innehåller Bravais gittersymbol (versal P, A, B, C, I, R eller F) och den internationella punktgruppsymbolen. Bravais gittersymbol anger närvaron av ytterligare translationsnoder inuti den elementära cellen: P (primitiv) — primitiv cell; A, B, C (A-centrerad, B-centrerad, C-centrerad) - en extra nod i mitten av ansiktet A, B eller C, respektive; I (I-centrerad) - kroppscentrerad (ytterligare nod i mitten av cellen), R (R-centrerad) - kroppscentrerad två gånger (två ytterligare noder på den elementära cellens huvuddiagonal), F (F- centrerad) - ansiktscentrerad (ytterligare noder i mitten av alla ansikten).

Den internationella symbolen för punktgruppen bildas i allmänhet av tre symboler som betecknar de symmetrielement som motsvarar de tre huvudriktningarna i kristallcellen. Ett symmetrielement som motsvarar en riktning förstås vara antingen en symmetriaxel som går längs denna riktning, eller ett symmetriplan vinkelrätt mot den, eller båda (i detta fall skrivs de genom en bråkdel, till exempel 2/c är symmetriaxeln av 2:a ordningen och betesreflektionsplanet vinkelrätt mot den med en förskjutning i riktningen c ). De viktigaste anvisningarna är:

riktningar för basvektorer för en cell vid triklinisk, monoklinisk och rombisk syngoni;
riktningen för axeln av den fjärde ordningen, riktningen för en av basvektorerna vid basen av enhetscellen och riktningen längs diagonalen av cellens bas i fallet med en tetragonal syngoni;
riktningen för axeln av 3:e ordningen eller 6:e ordningen, riktningen för en av basvektorerna vid basen av den elementära cellen och riktningen för vektorn längs elementarcellens diagonal i en vinkel på 60° mot föregående en i fallet med ett hexagonalt system (detta inkluderar även det trigonala systemet, som i detta fall ges till den hexagonala orienteringen av enhetscellen);
riktningen för en av basvektorerna, riktningen längs elementarcellens rumsdiagonal och riktningen längs bisektrisen av vinkeln mellan basvektorerna.

Hermann-Mogen-symbolerna förkortas vanligtvis genom att beteckningarna på de saknade symmetrielementen tas bort i enskilda riktningar, när detta inte skapar oklarhet, till exempel skriver de P4 istället för P411. Dessutom, i avsaknad av tvetydighet, utelämnas beteckningarna för andra ordningens axlar, som är vinkelräta mot symmetriplanet, till exempel byt ut C med . ${\tfrac {2}{m}}{\tfrac {2}{m}}{\tfrac {2}{m}}$ $Cmmm$

Schoenflies symbol

Schoenflies-symbolen definierar symmetriklassen (huvudsymbol och underskrift) och det villkorliga numret för gruppen inom denna klass (upphöjt).

C n - cykliska grupper - grupper med en enda speciell riktning representerade av en rotationssymmetriaxel - betecknas med bokstaven C , med en nedsänkt n som motsvarar ordningen på denna axel.

Med ni -grupper med en enda inversionssymmetriaxel följs av en sänkt i .
C nv (från tyska vertikal - vertikal) - har också ett symmetriplan som ligger längs den enda symmetriaxeln eller huvudaxeln, som alltid anses vara vertikal.
C nh (från tyska horisontell - horisontell) - har också ett symmetriplan vinkelrätt mot symmetrins huvudaxel.

S 2 , S 4 , S 6 (från tyska spiegel - spegel) - grupper med en enda spegelsymmetriaxel.

C s - för ett plan med obestämd orientering, det vill säga inte fixerat på grund av frånvaron av andra symmetrielement i gruppen.

D n - är en C n - grupp med ytterligare n symmetriaxlar av andra ordningen, vinkelräta mot den ursprungliga axeln.

D nh - har också ett horisontellt symmetriplan.
D nd (från tyska diagonal - diagonal) - har också vertikala diagonala symmetriplan som går mellan symmetriaxlarna av andra ordningen.

O, T - symmetrigrupper med flera axlar av högre ordning - grupper av kubisk syngoni. De betecknas med bokstaven O om de innehåller hela uppsättningen symmetriaxlar för oktaedern, eller med bokstaven T om de innehåller hela uppsättningen symmetriaxlar för tetraedern.

O h och T h - innehåller också ett horisontellt symmetriplan
T d - innehåller också ett diagonalt symmetriplan

n kan vara 1, 2, 3, 4, 6.

Historik

Ursprunget till teorin om kristallografiska grupper är förknippat med studiet av symmetri av ornament ( ) och kristallstrukturer ( ). Klassificeringen av alla plana (tvådimensionella) och rumsliga (tredimensionella) kristallografiska grupper erhölls oberoende av Fedorov (1885), Schoenflies (1891) och Barlow (1894). Huvudresultaten för flerdimensionella kristallografiska grupper erhölls av Bieberbach [8] . $n=2$ $n=3$

Se även

Anteckningar

↑ Bakgrundsgrupper - från Wolfram MathWorld . Hämtad 8 maj 2013. Arkiverad från originalet 2 juni 2013. (obestämd)
↑ H. Brown, R. Bülow, J. Neubüser, H. Wondratschek och H. Zassenhaus, Crystallographic Groups of Four-Dimensional Space. Wiley, NY, 1978, sid. 52.
↑ J. Neubüser, B. Souvignier och H. Wondratschek, Corrections to Crystallographic Groups of Four-Dimensional Space av Brown et al. (1978) [New York: Wiley and Sons], Acta Cryst (2002) A58, 301. http://journals.iucr.org/a/issues/2002/03/00/au0290/index.html Arkiverad 18 januari 2012 på Wayback Machine
↑ Yu. K. Egorov-Tismenko, G. P. Litvinskaya, Yu. G. Zagalskaya, Crystallography, ed. Moscow State University, 1992, sid 22.
↑ T. Janssen, JL Birman, V. A. Koptsik, M. Senechal, D. Weigel, A. Yamamoto, S. C. Abrahams och T. Hahn, Acta Cryst. (1999). A55, 761-782
↑ Opgenorth, J; Plesken, W; Schulz, T (1998), "Crystallographic Algorithms and Tables", Acta Cryst. A 54(5): 517-531
↑ PM de Wolff, Y. Billiet, J. D. H. Donnay, W. Fischer, R. B. Galiulin, A. M. Glazer, Th. Hahn, M. Senechal, D.P. Shoemaker, H. Wondratschek, A.J.C. Wilson, & S.C. Abrahams, 1992, Acta Cryst., A48, 727-732.
↑ Bieberbach L. Über die Bewegungsgruppen der Euklidischen Raume I.—Math. Ann., 1911, 70, S. 297-336; 1912, 72, S. 400-412.

Litteratur

J. Wolf, Utrymmen med konstant krökning. Översättning från engelska. Moskva: "Nauka", Huvudupplagan av fysisk och matematisk litteratur, 1982.
Usch. Egorov-Tismenko, G.P. Litvinskaya, Theory of crystal symmetry, M. GEOS, 2000 (tillgänglig online http://geo.web.ru/db/msg.html?mid=1163834 )
Kristallografisk grupp // Matematisk uppslagsverk : [i 5 volymer] / Kap. ed. I. M. Vinogradov . - M . : Soviet Encyclopedia, 1982. - T. 3: Koo - Od. - S. 106-108. - 1184 stb. : sjuk. — 150 000 exemplar.
Kovalev O.V. Irreducerbara och inducerade representationer och presentationer av Fedorov-grupper. - M. : Nauka, 1986. - 368 sid.

Länkar

Rymdgrupp - artikel från Great Soviet Encyclopedia .