En vertexlänk av en polyeder eller en vertexfigur är en polyeder med en mindre dimension, som erhålls i en sektion av den ursprungliga polyedern av ett plan som skär av en vertex. Speciellt innehåller en vertexlänk information om ordningen på polyederytor runt en vertex.
Om du tar en del av polyedern, markera en punkt någonstans på var och en av de intilliggande kanterna, rita segment på ytorna, koppla ihop de erhållna punkterna, som ett resultat får du en komplett cykel (polygon) runt vertexen. Denna polygon är vertexlänken.
Den formella definitionen kan variera mycket beroende på omständigheterna. Till exempel ändrade Coxeter (1948, 1954) sin definition för att passa den aktuella diskussionen. De flesta av definitionerna av en länk som anges nedan passar lika bra både för oändliga plattsättningar på planet och för rumsliga plattsättningar av polyedrar .
Om du skär en vertex av en polyeder genom att skära var och en av kanterna som gränsar till vertexen, kommer snittytan att vara en länk. Detta är kanske det vanligaste tillvägagångssättet och det mest begripliga. Olika författare gör ett klipp på olika ställen. Wenninger [1] [2] skär varje kant på enhetsavstånd från vertexen, liksom Coxeter (1948). För enhetliga polyedrar skär Dorman Lukes konstruktion varje intilliggande kant i mitten. Andra författare gör ett snitt genom spetsen på andra sidan av varje kant [3] [4] .
Cromwell [5] gör en sfärisk sektion centrerad i spetsen. Sektionsytan eller länken är alltså en sfärisk polygon på den sfären.
Många kombinatoriska och beräkningsmässiga tillvägagångssätt (till exempel Skilling [6] ) betraktar en länk som en ordnad (eller delvis ordnad) uppsättning punkter av alla närliggande (kantanslutna) hörn för en given vertex.
I teorin om abstrakta polyedrar består länken av en given vertex V av alla element som faller in på vertexen – hörn, kanter, ytor och så vidare.
Denna uppsättning element är känd som toppstjärnan .
Länken till en vertex av en n -polytop är en ( n − 1)-polytop. Till exempel är vertexlänken för en 3-polytop en polygon och länken för en 4-polytop är en 3-polytop.
Länkar är mest användbara för enhetliga polytoper , eftersom alla hörn delar samma länk.
För icke-konvexa polyedrar kan länken också vara icke-konvex. Uniforma polyedrar kan till exempel ha ytor i form av stellerade polygoner , länkar kan också stelleras.
Ytan på den dubbla polyedern är dubbel med länken till motsvarande vertex.
Om polyedern är regelbunden kan den beskrivas med Schläfli-symbolen , ansikts- och länksymbolerna kan extraheras från denna notation.
I det allmänna fallet har en vanlig polyeder med Schläfli-symbolen { a , b , c ,..., y , z } ytor (av högsta dimensionen) { a , b , c ,..., y } och länken kommer att vara { b , c ,..., y , z }.
Eftersom den dubbla polytopen för en vanlig polytop också är regelbunden och representeras av omvända index i Schläfli-symbolen, är det lätt att förstå att den dubbla figuren till länken av en vertex är en cell i den dubbla polytopen. För vanliga polyedrar är detta faktum ett specialfall av Dorman Lukes konstruktion .
Länken till toppen av de stympade kubiska bikakorna är en heterogen fyrkantig pyramid . En oktaeder och fyra stympade kuber som ligger nära varje vertex bildar en rumslig mosaik .
| Vertex länk : Ojämn fyrkantig pyramid | Schlegel diagram |
perspektiv |
| Formad av den kvadratiska basen av oktaedern | (3.3.3.3) | |
| och fyra likbenta triangulära sidor av en trunkerad kub | (3.8.8) |
Ett annat koncept förknippat med en länk är en kantlänk . En kantlänk är en ( n − 2)-polytop som representerar arrangemanget av n − 1-dimensionella ytor runt en given kant (intill den givna kanten). En kantlänk är en vertexlänk till en vertexlänk [7] . Kantlänkar är användbara för att uttrycka länkar mellan element i regelbundna och enhetliga polyedrar.
Regelbundna och enhetliga polytoper som härrör från reflektioner med en aktiv spegel har en enda typ av kantlänk, men i allmänhet kan en enhetlig polytop ha lika många länkar som speglar är aktiva när de byggs, eftersom varje aktiv spegel skapar en kant i grundområdet.
Vanliga polyedrar (och bikakor) har en enkel kantlänk som också är regelbunden. För en vanlig polytop { p , q , r , s ,..., z } blir kantlänken { r , s , ..., z }.
I 4D-rymden är en kantlänk av en polyeder eller 3D-bikaka en polygon som representerar arrangemanget av ytor runt kanten. Till exempel är kantlänken för en vanlig kubisk honungskaka {4,3,4} en kvadrat , medan för en vanlig fyrdimensionell polyeder { p , q , r } skulle kantlänken vara { r }.
Det är mindre uppenbart att den stympade kubiska bikakan t 0,1 {4,3,4} har en fyrkantig pyramid som länkpunkt . Det finns två typer av kantlänkar här . Den ena är den fyrkantiga länken av kanten i toppen av pyramiden, som motsvarar de fyra trunkerade kuberna runt kanten. Den andra sidan är trianglarna vid basen av pyramiden. De representerar arrangemanget av två trunkerade kuber och en oktaeder runt andra kanter.