Sturmer-Werlet-metoden

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 5 maj 2021; kontroller kräver 2 redigeringar .

Sturmer-Werlet- metoden är en numerisk metod för att lösa Cauchy-problemet för differentialekvationer . Används ofta för att hitta banan för en materiell punkt som rör sig enligt lagen : för att beräkna banorna för partiklar i molekylära dynamikmodeller och i datorspel. Werlet-metoden är mer stabil än den enklare Euler-metoden , och har samtidigt andra egenskaper som är nödvändiga för realtidssimulering av fysiska processer. ${\ddot {{\vec {x}}}}={\vec {a}}({\vec {x}}),t)$

Historik och titlar

Användes [1] av Isaac Newton i den första boken av Principia för att bevisa Keplers andra lag .

Uppkallad efter den franske fysikern Lou Werle , som använde metoden för att modellera molekylär dynamik, och den norske astrofysikern Carl Störmer .

Metoden (och dess motsvarigheter) kallas olika beroende på omfattningen [1] [2] :

Sturmers metod , Enckes metod - i astronomi;
Werlet-metoden - i molekylär dynamik;
grodametoden ( eng. leapfrog ) - inom området partiella differentialekvationer .

Grundläggande algoritm

Verlet-algoritmen används för att beräkna nästa plats för en punkt från nuvarande och tidigare, utan att använda hastighet. Formeln erhålls enligt följande. Taylor -seriens expansion av punktlägesvektorn vid tidpunkter och skrivs : ${\vec {x}}(t)$ $(t+\Delta t)$ $(t-\Delta t)$

{\vec {x}}(t+\Delta t)={\vec {x}}(t)+{\vec {v}}(t)\Delta t+{\frac {{\vec {a }}(t)\Delta t^{2}}{2}}+{\frac {{\vec {b}}(t)\Delta t^{3}}{6}}+O(\Delta t ^{4}),

{\vec {x}}(t-\Delta t)={\vec {x}}(t)-{\vec {v}}(t)\Delta t+{\frac {{\vec { a}}(t)\Delta t^{2}}{2}}-{\frac {{\vec {b}}(t)\Delta t^{3}}{6}}+O(\Delta t^{4}),

var

{\vec {x}}

- punktkoordinater,

\vec{v}

- fart,

{\vec {a}}

- acceleration,

{\vec {b}}

- ryck ( derivata av acceleration med avseende på tid).

Lägger vi till dessa 2 ekvationer och uttrycker , får vi ${\vec {x}}(t+\Delta t)$

{\vec {x}}(t+\Delta t)=2{\vec {x}}(t)-{\vec {x}}(t-\Delta t)+{\vec {a} }(t)\Delta t^{2}+O(\Delta t^{4}).

Således kan värdet på radievektorn för en punkt beräknas utan att känna till hastigheten.

Funktioner

Algoritmens huvuddrag är förmågan att införa olika begränsningar för poängsystemet. Till exempel kan du koppla ihop några av dem med solida stavar av en given längd. I det här fallet fungerar algoritmen enligt följande:

De nya positionerna för kropparna beräknas (se formeln ovan).
För varje anslutning är motsvarande begränsning uppfylld, det vill säga avståndet mellan punkterna görs som det ska.
Steg 2 upprepas flera gånger, så att alla villkor är uppfyllda (villkorssystemet är tillåtet).

Denna metod är, trots upprepad upprepning av steg 2, mycket effektiv.

Egenskaper

Metoden är en karakteristisk metod för geometrisk numerisk integration och har följande egenskaper [2] [3] :

tillhör klassen av enstegs allmänna linjära metoder;
har 2:a noggrannhetsordningen;
är en symmetrisk (självadjoint) integrator;
är en symplektisk integrator;
bevarar fasvolymen för ett antal system;
bevarar linjära första integraler av system.

Kan betraktas som:

Nyströms metod av 2:a ordningen;
sammansättning av Eulers symplektiska metod med dess adjoint;
uppdelningsmetod för system av formen ; ${\dot {\vec {q}}}=f({\vec {p}}),\ {\dot {\vec {p}}}=g({\vec {q}}))$
split Runge-Kutta-metod definierade Butcher - tabeller ${\dot {\vec {q}}}=f({\vec {q}},{\vec {p}}),\ {\dot {\vec {p}}}=g({ \vec {q)),{\vec {p)))$ 0 0 0 ett ett / 2 ett / 2 ett / 2 ett / 2 ett / 2 ett / 2 0 ett / 2 ett / 2 0 ett / 2 ett / 2 {\displaystyle {\begin{array}{c|cc}0&0&0\\1&1/2&1/2\\\hline &1/2&1/2\\\end{array}}\qquad {\begin{array}{c| cc}1/2&1/2&0\\1/2&1/2&0\\\hline &1/2&1/2\\\end{array}}} ${\begin{array}{c|cc}0&0&0\\1&1/2&1/2\\\hline &1/2&1/2\\\end{array}}\qquad {\begin{array}{c| cc}1/2&1/2&0\\1/2&1/2&0\\\hline &1/2&1/2\\\end{array}}$

Applikation

Metoden blev populär bland datorspelsutvecklare år 2000 i och med lanseringen av spelet Hitman: Codename 47 .

Anteckningar

↑ 1 2 Ernst Hairer, Christian Lubich, Gerhard Wanner. Geometrisk numerisk integration illustrerad med Störmer–Verlet-metoden // Acta Numerica. — 2003-5. — Vol. 12 . — S. 399–450 . — ISSN 1474-0508 0962-4929, 1474-0508 . - doi : 10.1017/S0962492902000144 .
↑ 1 2 Ernst Hairer, Christian Lubich, Gerhard Wanner. Geometrisk numerisk integration . - Berlin/Heidelberg: Springer-Verlag, 2006. - (Springer Series in Computational Mathematics). — ISBN 9783540306634 .
↑ Sergio Blanes, Fernando Casas. En kortfattad introduktion till geometrisk numerisk integration . — Chapman och Hall/CRC, 2016-06-06. — (Monografier och forskningsanteckningar i matematik). — ISBN 9781482263428 , 9781482263442. Arkiverad 3 juni 2018 på Wayback Machine

Länkar

Ändlig skillnadsmetod
Allmänna artiklar	Ändlig skillnadsmetod skillnadsschema skillnadsekvation
Typer av skillnadsscheman	Euler-metoden Runge-Kutta-metoden Adams metod Werlet integration Tidsdomän ändlig skillnadsmetod