Tidsdomän ändlig skillnadsmetod
Finite Difference Time Domain ( FDTD ) eller Yi-metoden är en numerisk metod som först tillämpades på problem med elektrodynamik av den kinesisk-amerikanske matematikern Kane S. Yi, baserad på diskretiseringen av Maxwells ekvationer med den finita skillnadsmetoden . Eftersom det är en tidsdomänmetod täcker FDTD-lösningar ett brett spektrum av frekvenser i en enda körning och tar hänsyn till icke-linjära materialegenskaper på ett naturligt sätt i provtagningsstadiet.
FDTD-metoden tillhör den allmänna klassen av rutnätsmetoder för differentiell numerisk modellering (finita differensmetoder). Tidsberoende Maxwells ekvationer (i partiell differentialform) diskretiseras med hjälp av centrala differensapproximationer av partiella derivator med avseende på rum och tid. De resulterande finita differensekvationerna löses med hjälp av "hopp"-algoritmen: komponenterna i den elektriska fältvektorn i rymdens volym löses vid ett givet ögonblick; medan komponenterna i magnetfältsvektorn i samma rumsliga volym befinner sig i nästa ögonblick; och processen upprepas om och om igen tills det önskade transienta eller stationära beteendet för det elektromagnetiska fältet är helt uppnått .
FDTD-metoden används för många problem relaterade till kontinuerlig media och vågutbredning i dem: hydrodynamik, akustik, kvantmekanik och så vidare.
Beskrivning
FDTD tillhör den allmänna klassen av rutnätsmetoder för att lösa differentialekvationer. Metodens grundläggande algoritm föreslogs först av Kane Yee ( University of California ) 1966 i artikeln "Numerical solution of initial boundary value problems involving maxwell's equations in isotropic media" i tidskriften "IEEE Transactions on Antennas and Propagation" [1 ] . Emellertid, namnet "Finite-difference time-domain" och förkortningen FDTD gavs till metoden av Allen Tuflov ( Northwestern University , Illinois).
I den ursprungliga snäva meningen innebar FDTD användningen av Yees grundläggande algoritm för den numeriska lösningen av Maxwells ekvationer. I den bredare moderna bemärkelsen inkluderar FDTD en mängd olika möjligheter: modellering av media med dispergerade och olinjära egenskaper, med användning av olika typer av rutnät (utöver Yis ursprungligen föreslagna rektangulära rutnät), med efterbearbetningsmetoder för bearbetning av resultat, etc.
Sedan omkring 1990 har den finita differensmetoden blivit den främsta för att modellera en mängd olika optiska applikationer. Det kan framgångsrikt tillämpas för att lösa ett brett spektrum av problem: från modellering av ultralånga elektromagnetiska vågor inom geofysik (inklusive processer i jonosfären ) och mikrovågor (till exempel för att studera signaturradar, beräkna antennegenskaper, utveckla trådlösa kommunikationsenheter, inklusive digitala) för att lösa uppgifter inom det optiska området ( fotoniska kristaller , nanoplasmonik , solitoner och biofotonik ). År 2006 nådde antalet publikationer som ägnades åt FDTD två tusen.
För närvarande finns det cirka 30 kommersiella FDTD-program, såväl som projekt med öppen källkod (inklusive flera ryska).
Yis algoritm
I Maxwells ekvationer beror förändringen i det elektriska fältet E (partiell derivata) på den rumsliga fördelningen av magnetfältet H (rotor). På samma sätt beror förändringen i fältet H på den rumsliga fördelningen av fältet E.
Yis algoritm är baserad på denna observation. Rutnäten för fälten E och H förskjuts i förhållande till varandra med halva tidssamplingssteget och för var och en av de rumsliga variablerna. Finita differensekvationer gör det möjligt att bestämma fälten E och H vid ett givet tidssteg baserat på de kända värdena för fälten vid det föregående.
Givet initiala förutsättningar ger Yis algoritm en evolutionär lösning i tid från ursprunget med ett givet tidssteg.
Ett liknande (delat) rutnät används för att lösa problem med hydrodynamik (för tryck- och hastighetsfält).
Som i vilken annan skillnadsmetod som helst, har FDTD problemet med felaktig kartläggning av kroppsgränsen på beräkningsrutnätet. Varje krökt yta som separerar intilliggande media och inte är geometriskt överensstämmande med rutnätet kommer att förvrängas av "stegeapproximation"-effekten. För att lösa detta problem kan du använda ett extra rutnät med hög upplösning i de områden av rymden där kroppar med en komplex geometrisk struktur finns [2] . Det är också möjligt att modifiera differensekvationerna vid rutnätsnoderna som ligger nära gränsen mellan intilliggande kroppar [3] . En billigare metod är införandet av en effektiv permittivitet nära gränsen mellan kropparna (subpixel-utjämning)
[4] [5] .
Det numeriska schemat för FDTD innebär inte möjligheten att tabulera beroendet av permittiviteten på frekvensen. Det kan dock representeras som en approximation (passning) av Debye, Drude, Lorentz eller Lorentz termer med absorption. En sådan approximation har inte nödvändigtvis en fysisk betydelse, och kan erhållas numeriskt, till exempel med hjälp av programmet [6] .
Absorberande randvillkor
För att begränsa nätets volym kräver FDTD speciella absorberande randvillkor som simulerar avgången av en elektromagnetisk våg till oändlighet. För detta används absorberande Moore eller Liao gränsförhållanden [7] eller perfekt matchade lager (Perfect Matched Layers, PML). Moore- eller Liao-förhållandena är mycket enklare än PML. Emellertid gör PMLs – strikt taget, är ett absorberande område nära gränsen, och inte ett gränsvillkor som sådant – det möjligt att erhålla storleksordningar lägre reflektionskoefficienter från gränsen.
Konceptet med perfekt matchade lager (PML) introducerades av Jean Pierre Beringer i en artikel i The Journal of Computational Physics 1994 [8]
Beringers PML-idé baserades på att dela upp de initiala fälten E och H i två komponenter, för var och en av dessa. dina ekvationer. Därefter har förbättrade formuleringar av PML motsvarande Berengers ursprungliga formulering föreslagits. Så, i uniaxial PML (Uniaxial PML) används ett anisotropiskt absorberande material, vilket gör det möjligt att inte införa ytterligare variabler och hålla sig inom ramen för de ursprungliga Maxwell-ekvationerna [9] . Enaxlig PML, liksom PML i Berenger-formuleringen, är dock inte lämpliga eftersom de saknar dämpad vågabsorption, vilket inte tillåter att PML placeras nära spridningskroppar. Den omvända PML (Convolutional PML), som är baserad på den analytiska fortsättningen av Maxwells ekvationer in i det komplexa planet på ett sådant sätt att deras lösning avklingar exponentiellt [10] , har inte denna brist . CPML är också bekvämare för att begränsa oändligt många ledande och dispersiva medier. Dessutom är den matematiska formuleringen av CPML mer visuell och lätt att förstå.
I vissa fall leder användningen av PML till divergens i beräkningen av FDTD. Detta problem kan elimineras genom att placera en extra absorberande vägg bakom PML [11] .
Beräkningsprocedur för FDTD
FDTD-beräkningsförloppet är som följer:
- Räkneområdet, rutnätets upplösning och randvillkor ställs in. Gränsförhållanden kan vara absorberande eller periodiska. De senare används för att simulera det normala infallandet av en plan våg på en periodisk struktur. FDTD-schemat för att simulera sned dip kräver tidsförskjutna periodiska förhållanden, som kan implementeras med olika metoder [12] [13] [14] .
- Materialkroppar med specificerade optiska egenskaper (permittivitet och magnetisk konduktivitet) placeras inuti räkneområdet.
- Källan är inställd. Det enklaste sättet att ange källan är att ange tidsberoendet för strömtätheten J i Ampères ekvation. Denna typ av källa används ofta vid modellering av dipoler. För att generera en plan våg är en annan typ av källa mer bekväm, implementerad med metoden Total Field / Scattered Field.
- Källan genererar en elektromagnetisk våg som är ändlig i tiden, vars spektrala sammansättning måste täcka frekvensområdet av intresse. Vidare faller vågen på kropparna, sprider sig på dem igen och, i närvaro av absorberande gränsförhållanden, lämnar den räkneområdet efter en tid. Vågutbredningshistoriken bevaras.
- Med hjälp av Fourier-transformen omvandlas de registrerade fältvärdena till en frekvensrepresentation. Vidare, genom att bearbeta dem (till exempel genom att integrera fältenergiflödet genom någon yta), kan man erhålla de optiska egenskaperna hos den övervägda strukturen hos kroppar. Genom att använda Near to Far Transformation-metoden är det möjligt att erhålla fältvärden utanför räkneområdet baserat på utvecklingen av fältet inuti räkneområdet [15] .
Fördelar och nackdelar med FDTD
Som alla andra numeriska metoder har FDTD sina fördelar och nackdelar.
Fördelar:
- FDTD är en enkel och intuitiv metod.
- Eftersom FDTD arbetar i tidsdomänen ger den resultat för ett brett spektrum av våglängder i en enda beräkning. Detta kan vara användbart när man löser problem där resonansfrekvenserna inte är kända eller vid modellering av bredbandssignaler.
- FDTD låter dig skapa animerade bilder av vågutbredning i en simulerad volym.
- FDTD är användbart för att definiera anisotropa, dispersiva och icke-linjära medier.
- Metoden gör det möjligt att direkt simulera kanteffekter och skärmningseffekter, och fälten inuti och utanför skärmen kan beräknas antingen direkt eller inte.
Brister:
- Det rumsliga diskretiseringssteget bör vara mycket mindre än de studerade våglängderna och de typiska dimensionerna för strukturen som studeras. I vissa fall (omvända opaler med små partitioner mellan kulorna) kan detta kräva rutnät med ett litet steg, vilket innebär en stor mängd minne och en stor beräkningstid.
- FDTD beräknar marginalerna inom uppräkningsområdet. Om det krävs att hitta fältet på ett stort avstånd från källan, är det nödvändigt att öka beräkningsområdet och beräkningstiden. Det finns modifieringar av metoden för att hitta ett fält på avstånd, men de kräver efterbearbetning.
Se även
Källor
- ↑ Kane Yee. Numerisk lösning av initiala gränsvärdesproblem som involverar Maxwells ekvationer i isotropiska medier // IEEE Transactions on Antennas and Propagation : journal. - 1966. - Vol. 14 , nr. 3 . - S. 302-307 .
- ↑ SS Zivanovic, KS Yee och KK Mei. En subgriddingmetod för Time Domain Finite-Difference Method för att lösa Maxwells ekvationer // IEEE Trans. Microware Theory Tech. : journal. - 1991. - Vol. 38 . - S. 471 .
- ↑ T. G. Jurgens, A. Taflove, K. Umashankar och T. G. Moore. Tidsdomänmodellering med ändlig skillnad av krökta ytor // IEEE Trans . Antenner Propag.
: journal. - 1992. - Vol. 40 . - S. 357 .
- ↑ J. Nadobny, D. Sullivan, W. Wlodarczyk, P. Deuflhard och P. Wust. En 3-D tensor FDTD-formulering för behandling av sluttande gränssnitt i elektriskt inhomogena medier // IEEE Trans . Antenner Propag.
: journal. - 2003. - Vol. 51 . — S. 1760 .
- ↑ A. Deinega och I. Valuev. Subpixel-utjämning för ledande och dispersiva media i FDTD-metoden // Opt . Lett. : journal. - 2007. - Vol. 32 . — S. 3429 .
- ↑ Passande dielektrisk konstant . Hämtad 7 april 2012. Arkiverad från originalet 9 juni 2012. (obestämd)
- ↑ G. Mur. Absorberande gränsvillkor för approximation av ändlig differens för tidsdomänens elektromagnetiska fältekvationer // IEEE Transactions on Electromagnetic Compatibility: journal. - 1981. - Vol. 23 , nr. 4 . - s. 377-382 .
- ↑ J. Berenger. Ett perfekt anpassat lager för absorption av elektromagnetiska vågor // Journal of Computational Physics : journal. - 1994. - Vol. 114 , nr. 2 . - S. 185-200 .
- ↑ SD Gedney. Ett anisotropt perfekt anpassat skiktabsorberande medium för trunkering av FDTD-gitter // IEEE -transaktioner på antenner och förökning : journal. - 1996. - Vol. 44 , nr. 12 . - S. 1630-1639 .
- ↑ JA Roden och SD Gedney. Convolution PML (CPML): En effektiv FDTD-implementering av CFS-PML för godtyckliga media // Microwave and Optical Technology Letters
: journal. - 2000. - Vol. 27 , nr. 5 . - s. 334-339 . (inte tillgänglig länk)
- ↑ A. Deinega och I. Valuev. Långtidsbeteende hos PML-absorberande gränser för skiktade periodiska strukturer // Comp . Phys. Comm.
: journal. - 2011. - Vol. 182 . — S. 149 .
- ↑ I. Valuev, A. Deinega och S. Belousov. Iterativ teknik för analys av periodiska strukturer vid sned incidens i tidsdomänmetoden med finita differenser // Opt . Lett. : journal. - 2008. - Vol. 33 . - S. 1491 .
- ↑ A. Aminian och Y. Rahmat-Samii. Spectral FDTD: en ny teknik för analys av sned infallande planvåg på periodiska strukturer // IEEE Trans. Antenner och förökning: journal. - 2006. - Vol. 54 . - S. 1818 .
- ↑ JA Roden, SD Gedney, MP Kesler, JG Maloney och PH Harms. Tidsdomänanalys av periodiska strukturer vid sned incidens: ortogonala och icke-ortogonala FDTD-implementationer (engelska) // Microwave Theory and Techniques: journal. - 1998. - Vol. 46 . - S. 420 .
- ↑ KR Umashankar och A. Taflove. En ny metod för att analysera elektromagnetisk spridning av komplexa objekt // IEEE Transactions on Electromagnetic Compatibility: journal. - 1982. - Vol. 24 , nr. 4 . - s. 397-405 .
Länkar
På ryska
På engelska
- https://www.matecdev.com/posts/differences-fdtd-fem-mom.html (Kort översikt av gratis programvara för elektromagnetisk simulering)
Litteratur
Pionjärarbete
Gränsförhållanden
- G. Mur. Absorberande gränsvillkor för approximation av ändlig differens för tidsdomänens elektromagnetiska fältekvationer // Electromagnetic Compatibility, IEEE Transactions on: journal. - 1981. - Vol. 23 . - s. 377-382 . - doi : 10.1109/TEMC.1981.303970 .
- ZP Liao, HL Wong, BP Yang och YF Yuan. A transmitting boundary for transient wave analysis (engelska) // Scientia Sinica a : journal. - 1984. - Vol. 27 . - P. 1063-1076 .
- J. Berenger. Ett perfekt anpassat lager för absorption av elektromagnetiska vågor // Journal of Computational Physics : journal. - 1994. - Vol. 114 . - S. 185-200 . - doi : 10.1006/jcph.1994.1159 . Arkiverad från originalet den 27 februari 2008.
- D.S. Katz, E.T. Thiele och A. Taflove. Validering och utvidgning till tre dimensioner av Berenger PML-absorberande gränsvillkor för FDTD-maskor // Microwave and Guided Wave Letters, IEEE : journal. - 1994. - Vol. 4 . - S. 268-270 .
- CE Reuter, RM Joseph, ET Thiele, DS Katz och A. Taflove. Ultrabredbandsabsorberande gränsvillkor för terminering av vågledande strukturer i FDTD-simuleringar // Microwave and Guided Wave Letters, IEEE : journal. - 1994. - Vol. 4 . - s. 344-346 .
- ZS Sacks, DM Kingsland, R. Lee och JF Lee. En perfekt matchad anisotrop absorbator för användning som ett absorberande gränsvillkor // Antenner and Propagation, IEEE Transactions on : journal. - 1995. - Vol. 43 . - P. 1460-1463 . - doi : 10.1109/8.477075 .
- SD Gedney. Ett anisotropt perfekt anpassat lagerabsorberande medium för trunkering av FDTD-gitter // Antenner and Propagation, IEEE Transactions on: journal. - 1995. - Vol. 44 . - S. 1630-1639 . - doi : 10.1109/8.546249 .
- OM Ramahi. Den komplementära operatörsmetoden i FDTD-simuleringar // Antennas and Propagation Magazine, IEEE : journal. - 1997. - Vol. 39 . - S. 33-45 . - doi : 10.1109/74.646801 .
- JA Roden och SD Gedney. Convolution PML (CPML): En effektiv FDTD-implementering av CFS-PML för godtyckliga media // Microwave and Optical Technology Letters : journal. - 2000. - Vol. 27 . - s. 334-339 . - doi : 10.1002/1098-2760(20001205)27:5<334::AID-MOP14>3.0.CO;2-A . (inte tillgänglig länk)
Geometriproblem (stegeapproximation, flerskalig modellering)
- W. Gwarek. Analys av en godtyckligt formad plan krets — A time-domain approach // Microwave Theory and Techniques, IEEE Transactions on : journal. - 1985. - Vol. 33 . - P. 1067-1072 .
- G.A. Kriegsmann, A. Taflove och K.R. Umashankar. En ny formulering av elektromagnetisk vågspridning med användning av en strålningsgränstillståndsmetod på ytan // Antenner and Propagation, IEEE Transactions on: journal. - 1987. - Vol. 35 . - S. 153-161 .
- T.G. Moore, J.G. Blaschak, A. Taflove och G.A. Kriegsmann. Teori och tillämpning av strålningsgränsoperatorer (engelska) // Antenner and Propagation, IEEE Transactions on : journal. - 1988. - Vol. 36 . - P. 1797-1812 .
- KR Umashankar, A. Taflove och B. Beker. Beräkning och experimentell validering av inducerade strömmar på kopplade ledningar i en godtyckligt formad kavitet // Antenner and Propagation, IEEE Transactions on : journal. - 1987. - Vol. 35 . - P. 1248-1257 .
- A. Taflove, KR Umashankar, B. Beker, F.A. Harfoush och K.S. Yee. Detaljerad FDTD-analys av elektromagnetiska fält som penetrerar smala slitsar och överlappade leder i tjocka ledande skärmar // Antennas and Propagation, IEEE Transactions on: journal. - 1988. - Vol. 36 . - S. 247-257 .
- T.G. Jurgens, A. Taflove, K.R. Umashankar och T.G. Moore. Tidsdomänmodellering med ändlig skillnad av krökta ytor // Antenner and Propagation, IEEE Transactions on: journal. - 1992. - Vol. 40 . - s. 357-366 .
Komplexa material (spridning, absorption, icke-linjäritet, etc.)
- D.M. Sullivan, O.P. Gandhi och A. Taflove. Användning av tidsdomänmetoden med ändlig skillnad vid beräkning av EM-absorption i mänskliga modeller // Biomedical Engineering, IEEE Transactions on: journal. - 1988. - Vol. 35 . - S. 179-186 .
- X. Zhang, J. Fang, KK Mei och Y. Liu. Beräkning av de dispersiva egenskaperna hos mikrostrips med tidsdomänens ändliga differensmetoden // Microwave Theory and Techniques, IEEE Transactions on : journal. - 1988. - Vol. 36 . - S. 263-267 . - doi : 10.1109/22.3514 .
- T. Kashiwa och I. Fukai. En behandling med FDTD-metod av dispersiva egenskaper associerade med elektronisk polarisering (engelska) // Microwave and Optics Technology Letters : journal. - 1990. - Vol. 3 . - S. 203-205 .
- R. Luebbers, F. Hunsberger, K. Kunz, R. Standler och M. Schneider. En frekvensberoende tidsdomänformulering med ändlig skillnad för dispersiva material // Electromagnetic Compatibility, IEEE Transactions on: journal. - 1990. - Vol. 32 . - S. 222-227 . - doi : 10.1109/15.57116 .
- RM Joseph, SC Hagness och A. Taflove. Direkt tidsintegration av Maxwells ekvationer i linjära dispersiva medier med absorption för spridning och fortplantning av femtosekunds elektromagnetiska pulser // Optics Letters : journal . - 1991. - Vol. 16 . - P. 1412-1414 .
- PM Goorjian och A. Taflove. Direkt tidsintegration av Maxwells ekvationer i icke-linjära dispersiva medier för spridning och spridning av femtosekunds elektromagnetiska solitoner // Optics Letters : journal . - 1992. - Vol. 17 . - S. 180-182 .
- RW Ziolkowski och JB Judkins. Helvågsvektor Maxwells ekvationsmodellering av självfokusering av ultrakorta optiska pulser i ett olinjärt Kerr-medium som uppvisar en ändlig svarstid // Optical Society of America B, Journal of : journal. - 1993. - Vol. 10 . - S. 186-198 .
- RM Joseph, PM Goorjian och A. Taflove. Direkt tidsintegration av Maxwells ekvationer i 2-D dielektriska vågledare för utbredning och spridning av femtosekunds elektromagnetiska solitoner // Optics Letters : journal . - 1993. - Vol. 18 . - s. 491-493 .
- RM Joseph och A. Taflove. Spatial soliton-avböjningsmekanism indikerad av FDTD Maxwells ekvationsmodellering // Photonics Technology Letters, IEEE : journal. - 1994. - Vol. 2 . - P. 1251-1254 .
- B. Toland, B. Houshmand och T. Itoh. Modellering av icke-linjära aktiva regioner med FDTD- metoden // Microwave and Guided Wave Letters, IEEE : journal. - 1993. - Vol. 3 . - s. 333-335 . doi : 10.1109 / 75.244870 .
- AS Nagra och R.A. York. FDTD-analys av vågutbredning i icke-linjära absorberande och förstärkningsmedia // Antenner and Propagation, IEEE Transactions on: journal. - 1998. - Vol. 46 . - s. 334-340 . - doi : 10.1109/8.662652 .
Tillämpade beräkningar
- JG Maloney, GS Smith och WR Scott, Jr. Noggrann beräkning av strålningen från enkla antenner med tidsdomänmetoden med ändlig skillnad // Antenner and Propagation, IEEE Transactions on: journal. - 1990. - Vol. 38 . - P. 1059-1065 . - doi : 10.1109/8.55618 .
- DS Katz, A. Taflove, MJ Piket-May och KR Umashankar. FDTD-analys av elektromagnetisk vågstrålning från system som innehåller hornantenner // Antennas and Propagation, IEEE Transactions on: journal. - 1991. - Vol. 39 . - P. 1203-1212 .
- PA Tirkas och CA Balanis. Tidsdomänteknik med ändlig skillnad för strålning med hornantenner // Antennas and Propagation Society International Symposium Digest, IEEE: tidskrift. - 1991. - Vol. 3 . - S. 1750-1753 . - doi : 10.1109/APS.1991.175196 .
- E. Sano och T. Shibata. Fullvågsanalys av fotokonduktiva omkopplare i pikosekund // Quantum Electronics, IEEE Journal of : journal. - 1990. - Vol. 26 . - s. 372-377 . - doi : 10.1109/3.44970 .
- SM El-Ghazaly, RP Joshi och RO Grondin. Elektromagnetiska och transportöverväganden i subpikosekunders fotokonduktiv switchmodellering // Microwave Theory and Techniques, IEEE Transactions on : journal. - 1990. - Vol. 38 . - s. 629-637 . - doi : 10.1109/22.54932 .
- MJ Piket-May, A. Taflove och J. Baron. FD-TD-modellering av digital signalutbredning i 3-D-kretsar med passiva och aktiva belastningar // Mikrovågsteori och tekniker, IEEE-transaktioner på : journal. - 1994. - Vol. 42 . - P. 1514-1523 .
- JG Maloney och MP Kesler. Analys av periodiska strukturer (obestämd) // Kap. 6 i Advances in Computational Electrodynamics: the Finite-Difference Time-Domain Method, A. Taflove, red., Artech House, förlag. — 1998.
- S.C. Hagness, A. Taflove och J.E. Bridges. Tvådimensionell FDTD-analys av ett pulsat mikrovågskonfokalsystem för detektion av bröstcancer: Fixed-focus and antenna-array sensors // Biomedical Engineering, IEEE Transactions on: journal. - 1998. - Vol. 45 . - P. 1470-1479 .
- JJ Simpson, RP Heikes och A. Taflove. FDTD-modellering av en ny ELF-radar för större oljefyndigheter med hjälp av ett tredimensionellt geodetiskt rutnät av jordjonosfärens vågledare // Antennas and Propagation, IEEE Transactions on : journal. - 2006. - Vol. 54 . - P. 1734-1741 .
Metodmodifieringar (hybrid, ovillkorligt stabil, etc.)
- W. Sui, D.A. Christensen och CH Durney. Utöka den tvådimensionella FDTD-metoden till hybridelektromagnetiska system med aktiva och passiva klumpade element // Microwave Theory and Techniques, IEEE Transactions on : journal. - 1992. - Vol. 40 . - P. 724-730 . - doi : 10.1109/22.127522 .
- V.A. Thomas, M.E. Jones, M.J. Piket-May, A. Taflove och E. Harrigan. Användningen av SPICE-klumpade kretsar som sub-grid-modeller för FDTD höghastighets elektroniska kretsdesign // Microwave and Guided Wave Letters, IEEE : journal. - 1994. - Vol. 4 . - S. 141-143 .
- QH Liu. Den pseudospektrala tidsdomänmetoden (PSTD): En ny algoritm för lösningar av Maxwells ekvationer // Antennas and Propagation Society International Symposium Digest, IEEE : journal. - 1997. - Vol. 1 . - S. 122-125 . - doi : 10.1109/APS.1997.630102 .
- JB Schneider och C.L. Wagner. FDTD-spridning återbesökt : Fortplantning snabbare än ljus // Microwave and Guid Wave Letters, IEEE : journal. - 1999. - Vol. 9 . - S. 54-56 . - doi : 10.1109/75.755044 .
- F. Zhen, Z. Chen och J. Zhang. Mot utvecklingen av en tredimensionell ovillkorligt stabil tidsdomänmetod med ändlig skillnad // Microwave Theory and Techniques, IEEE Transactions on : journal. - 2000. - Vol. 48 . - S. 1550-1558 . - doi : 10.1109/22.869007 .
- F. Zheng och Z. Chen. Numerisk spridningsanalys av den ovillkorligt stabila 3-D ADI-FDTD-metoden // Microwave Theory and Techniques, IEEE Transactions on : journal. - 2001. - Vol. 49 . - S. 1006-1009 . - doi : 10.1109/22.920165 .
- T. Rylander och A. Bondeson. Stabil FDTD-FEM hybridmetod för Maxwells ekvationer // Computer Physics Communications : journal. - 2000. - Vol. 125 . - S. 75-82 . - doi : 10.1016/S0010-4655(99)00463-4 . (inte tillgänglig länk)
- M. Hayakawa och T. Otsuyama. FDTD-analys av ELF-vågutbredning i inhomogena subionosfäriska vågledarmodeller (engelska) // ACES Journal : journal. - 2002. - Vol. 17 . - S. 239-244 . Arkiverad från originalet den 31 augusti 2006.
- H. De Raedt, K. Michielsen, J. J. Kole och M. T. Figge. Lösning av Maxwell-ekvationerna med Chebyshev-metoden: En enstegs ändlig tidsdomänalgoritm // Antenner and Propagation, IEEE Transactions on: journal. - 2003. - Vol. 51 . - P. 3155-3160 . - doi : 10.1109/TAP.2003.818809 .
Ändlig skillnadsmetod |
---|
Allmänna artiklar |
|
---|
Typer av skillnadsscheman |
|
---|