Tidsdomän ändlig skillnadsmetod

Finite Difference Time Domain ( FDTD ) eller Yi-metoden är en   numerisk metod som först tillämpades på problem med elektrodynamik av den kinesisk-amerikanske matematikern Kane S. Yi, baserad på diskretiseringen av Maxwells ekvationer med den finita skillnadsmetoden . Eftersom det är en tidsdomänmetod täcker FDTD-lösningar ett brett spektrum av frekvenser i en enda körning och tar hänsyn till icke-linjära materialegenskaper på ett naturligt sätt i provtagningsstadiet.

FDTD-metoden tillhör den allmänna klassen av rutnätsmetoder för differentiell numerisk modellering (finita differensmetoder). Tidsberoende Maxwells ekvationer (i partiell differentialform) diskretiseras med hjälp av centrala differensapproximationer av partiella derivator med avseende på rum och tid. De resulterande finita differensekvationerna löses med hjälp av "hopp"-algoritmen: komponenterna i den elektriska fältvektorn i rymdens volym löses vid ett givet ögonblick; medan komponenterna i magnetfältsvektorn i samma rumsliga volym befinner sig i nästa ögonblick; och processen upprepas om och om igen tills det önskade transienta eller stationära beteendet för det elektromagnetiska fältet är helt uppnått .

FDTD-metoden används för många problem relaterade till kontinuerlig media och vågutbredning i dem: hydrodynamik, akustik, kvantmekanik och så vidare.

Beskrivning

FDTD tillhör den allmänna klassen av rutnätsmetoder för att lösa differentialekvationer. Metodens grundläggande algoritm föreslogs först av Kane Yee ( University of California ) 1966 i artikeln "Numerical solution of initial boundary value problems involving maxwell's equations in isotropic media" i tidskriften "IEEE Transactions on Antennas and Propagation" [1 ] . Emellertid, namnet "Finite-difference time-domain" och förkortningen FDTD gavs till metoden av Allen Tuflov ( Northwestern University , Illinois).

I den ursprungliga snäva meningen innebar FDTD användningen av Yees grundläggande algoritm för den numeriska lösningen av Maxwells ekvationer. I den bredare moderna bemärkelsen inkluderar FDTD en mängd olika möjligheter: modellering av media med dispergerade och olinjära egenskaper, med användning av olika typer av rutnät (utöver Yis ursprungligen föreslagna rektangulära rutnät), med efterbearbetningsmetoder för bearbetning av resultat, etc.

Sedan omkring 1990 har den finita differensmetoden blivit den främsta för att modellera en mängd olika optiska applikationer. Det kan framgångsrikt tillämpas för att lösa ett brett spektrum av problem: från modellering av ultralånga elektromagnetiska vågor inom geofysik (inklusive processer i jonosfären ) och mikrovågor (till exempel för att studera signaturradar, beräkna antennegenskaper, utveckla trådlösa kommunikationsenheter, inklusive digitala) för att lösa uppgifter inom det optiska området ( fotoniska kristaller , nanoplasmonik , solitoner och biofotonik ). År 2006 nådde antalet publikationer som ägnades åt FDTD två tusen.

För närvarande finns det cirka 30 kommersiella FDTD-program, såväl som projekt med öppen källkod (inklusive flera ryska).

Yis algoritm

I Maxwells ekvationer beror förändringen i det elektriska fältet E (partiell derivata) på den rumsliga fördelningen av magnetfältet H (rotor). På samma sätt beror förändringen i fältet H på den rumsliga fördelningen av fältet E.

Yis algoritm är baserad på denna observation. Rutnäten för fälten E och H förskjuts i förhållande till varandra med halva tidssamplingssteget och för var och en av de rumsliga variablerna. Finita differensekvationer gör det möjligt att bestämma fälten E och H vid ett givet tidssteg baserat på de kända värdena för fälten vid det föregående.

Givet initiala förutsättningar ger Yis algoritm en evolutionär lösning i tid från ursprunget med ett givet tidssteg.

Ett liknande (delat) rutnät används för att lösa problem med hydrodynamik (för tryck- och hastighetsfält).

Som i vilken annan skillnadsmetod som helst, har FDTD problemet med felaktig kartläggning av kroppsgränsen på beräkningsrutnätet. Varje krökt yta som separerar intilliggande media och inte är geometriskt överensstämmande med rutnätet kommer att förvrängas av "stegeapproximation"-effekten. För att lösa detta problem kan du använda ett extra rutnät med hög upplösning i de områden av rymden där kroppar med en komplex geometrisk struktur finns [2] . Det är också möjligt att modifiera differensekvationerna vid rutnätsnoderna som ligger nära gränsen mellan intilliggande kroppar [3] . En billigare metod är införandet av en effektiv permittivitet nära gränsen mellan kropparna (subpixel-utjämning) [4] [5] .

Det numeriska schemat för FDTD innebär inte möjligheten att tabulera beroendet av permittiviteten på frekvensen. Det kan dock representeras som en approximation (passning) av Debye, Drude, Lorentz eller Lorentz termer med absorption. En sådan approximation har inte nödvändigtvis en fysisk betydelse, och kan erhållas numeriskt, till exempel med hjälp av programmet [6] .

Absorberande randvillkor

För att begränsa nätets volym kräver FDTD speciella absorberande randvillkor som simulerar avgången av en elektromagnetisk våg till oändlighet. För detta används absorberande Moore eller Liao gränsförhållanden [7] eller perfekt matchade lager (Perfect Matched Layers, PML). Moore- eller Liao-förhållandena är mycket enklare än PML. Emellertid gör PMLs – strikt taget, är ett absorberande område nära gränsen, och inte ett gränsvillkor som sådant – det möjligt att erhålla storleksordningar lägre reflektionskoefficienter från gränsen.

Konceptet med perfekt matchade lager (PML) introducerades av Jean Pierre Beringer i en artikel i The Journal of Computational Physics 1994 [8] Beringers PML-idé baserades på att dela upp de initiala fälten E och H i två komponenter, för var och en av dessa. dina ekvationer. Därefter har förbättrade formuleringar av PML motsvarande Berengers ursprungliga formulering föreslagits. Så, i uniaxial PML (Uniaxial PML) används ett anisotropiskt absorberande material, vilket gör det möjligt att inte införa ytterligare variabler och hålla sig inom ramen för de ursprungliga Maxwell-ekvationerna [9] . Enaxlig PML, liksom PML i Berenger-formuleringen, är dock inte lämpliga eftersom de saknar dämpad vågabsorption, vilket inte tillåter att PML placeras nära spridningskroppar. Den omvända PML (Convolutional PML), som är baserad på den analytiska fortsättningen av Maxwells ekvationer in i det komplexa planet på ett sådant sätt att deras lösning avklingar exponentiellt [10] , har inte denna brist . CPML är också bekvämare för att begränsa oändligt många ledande och dispersiva medier. Dessutom är den matematiska formuleringen av CPML mer visuell och lätt att förstå.

I vissa fall leder användningen av PML till divergens i beräkningen av FDTD. Detta problem kan elimineras genom att placera en extra absorberande vägg bakom PML [11] .

Beräkningsprocedur för FDTD

FDTD-beräkningsförloppet är som följer:

Fördelar och nackdelar med FDTD

Som alla andra numeriska metoder har FDTD sina fördelar och nackdelar.

Fördelar:

Brister:

Se även

Källor

  1. ↑ Kane Yee. Numerisk lösning av initiala gränsvärdesproblem som involverar Maxwells ekvationer i isotropiska medier  // IEEE  Transactions on Antennas and Propagation : journal. - 1966. - Vol. 14 , nr. 3 . - S. 302-307 .
  2. ↑ SS Zivanovic, KS Yee och KK Mei. En subgriddingmetod för Time Domain Finite-Difference Method för att lösa Maxwells ekvationer //  IEEE Trans. Microware Theory Tech. : journal. - 1991. - Vol. 38 . - S. 471 .  
  3. ↑ T. G. Jurgens, A. Taflove, K. Umashankar och T. G. Moore. Tidsdomänmodellering med ändlig skillnad av krökta ytor // IEEE Trans  . Antenner Propag.   : journal. - 1992. - Vol. 40 . - S. 357 .
  4. ↑ J. Nadobny, D. Sullivan, W. Wlodarczyk, P. Deuflhard och P. Wust. En 3-D tensor FDTD-formulering för behandling av sluttande gränssnitt i elektriskt inhomogena medier // IEEE Trans  . Antenner Propag.   : journal. - 2003. - Vol. 51 . — S. 1760 .
  5. ↑ A. Deinega och I. Valuev. Subpixel-utjämning för ledande och dispersiva media i FDTD-metoden  // Opt . Lett.  : journal. - 2007. - Vol. 32 . — S. 3429 .  
  6. ↑ Passande dielektrisk konstant . Hämtad 7 april 2012. Arkiverad från originalet 9 juni 2012.
  7. ↑ G. Mur. Absorberande gränsvillkor för approximation av ändlig differens för tidsdomänens elektromagnetiska fältekvationer  //  IEEE Transactions on Electromagnetic Compatibility: journal. - 1981. - Vol. 23 , nr. 4 . - s. 377-382 .
  8. ↑ J. Berenger. Ett perfekt anpassat lager för absorption av elektromagnetiska vågor  //  Journal of Computational Physics : journal. - 1994. - Vol. 114 , nr. 2 . - S. 185-200 .
  9. ↑ SD Gedney. Ett anisotropt perfekt anpassat skiktabsorberande medium för trunkering av FDTD-gitter  // IEEE  -transaktioner på antenner och förökning : journal. - 1996. - Vol. 44 , nr. 12 . - S. 1630-1639 .
  10. ↑ JA Roden och SD Gedney. Convolution PML (CPML): En effektiv FDTD-implementering av CFS-PML för godtyckliga media //  Microwave and Optical Technology Letters   : journal. - 2000. - Vol. 27 , nr. 5 . - s. 334-339 .  (inte tillgänglig länk)
  11. ↑ A. Deinega och I. Valuev. Långtidsbeteende hos PML-absorberande gränser för skiktade periodiska strukturer  // Comp . Phys. Comm.   : journal. - 2011. - Vol. 182 . — S. 149 .
  12. ↑ I. Valuev, A. Deinega och S. Belousov. Iterativ teknik för analys av periodiska strukturer vid sned incidens i tidsdomänmetoden med finita differenser  // Opt . Lett.  : journal. - 2008. - Vol. 33 . - S. 1491 .  
  13. ↑ A. Aminian och Y. Rahmat-Samii. Spectral FDTD: en ny teknik för analys av sned infallande planvåg på periodiska strukturer //  IEEE Trans. Antenner och förökning: journal. - 2006. - Vol. 54 . - S. 1818 .  
  14. ↑ JA Roden, SD Gedney, MP Kesler, JG Maloney och PH Harms. Tidsdomänanalys av periodiska strukturer vid sned incidens: ortogonala och icke-ortogonala FDTD-implementationer (engelska)  // Microwave Theory and Techniques: journal. - 1998. - Vol. 46 . - S. 420 .  
  15. ↑ KR Umashankar och A. Taflove. En ny metod för att analysera elektromagnetisk spridning av komplexa objekt  //  IEEE Transactions on Electromagnetic Compatibility: journal. - 1982. - Vol. 24 , nr. 4 . - s. 397-405 .

Länkar

På ryska

På engelska

- https://www.matecdev.com/posts/differences-fdtd-fem-mom.html (Kort översikt av gratis programvara för elektromagnetisk simulering)

Litteratur

Pionjärarbete Gränsförhållanden Geometriproblem (stegeapproximation, flerskalig modellering) Komplexa material (spridning, absorption, icke-linjäritet, etc.) Tillämpade beräkningar Metodmodifieringar (hybrid, ovillkorligt stabil, etc.)
 Ändlig skillnadsmetod
Allmänna artiklar
Typer av skillnadsscheman