Mycket nivå

I matematik är nivåmängden för en reell funktion f av n reella variabler en mängd av formen

L_{c}(f)=\left\{(x_{1},\cdots,x_{n})\,\mid \,f(x_{1},\cdots ,x_{n}) =c\right\}~,

det vill säga den mängd på vilken funktionen tar ett givet konstant värde c .

När antalet variabler är två är nivåuppsättningen vanligtvis en kurva som kallas en nivålinje, isolin eller konturlinje. Så, nivåkurvan är mängden av alla reella lösningar av ekvationen i två variabler x 1 och x 2 . När , nivåuppsättningen kallas en nivåyta (eller också en isoyta ), och i fallet med ett större antal variabler n , är nivåuppsättningen en hyperyta. Således är en nivåyta mängden av alla reella rötter av en ekvation i tre variabler och , och en nivåhyperyta är en uppsättning av alla reella rötter av en ekvation i n ( n > 3) variabler. $n=3$ $x_{1},x_{2}$ $x_{3}$

Nivåuppsättningen är ett specialfall av lagret .

Alternativa titlar

Flera nivåer förekommer i många applikationer, ofta under olika namn.

Till exempel är en implicit kurva en nivåuppsättning som betraktas separat från angränsande kurvor, vilket betonar att en sådan kurva definieras av en implicit funktion . På samma sätt kallas en plan yta ibland för en implicit yta eller en isoyta .

Namnet isokontur [1] används också ibland , vilket betecknar en kontur av samma höjd. I olika områden får isokonturer specifika namn, som ofta återspeglar karaktären på värdena för den aktuella funktionen, såsom isobar , isoterm , isogon , isochron , isoquant , och indifferenskurva .

Exempel

Betrakta det tvådimensionella euklidiska avståndet

d(x,y)={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}.

Nivåmängden för denna funktion består av punkter som ligger på ett avstånd från origo, en mängd som kallas en cirkel . Till exempel, eftersom geometriskt betyder detta att punkten ligger på en cirkel med radie 5 centrerad vid origo. Ett mer allmänt exempel, en sfär i ett metriskt utrymme med radie och centrum vid kan definieras som en nivåuppsättning . $L_{r}(d)$ $r$ $(3,4)\in L_{5}(d)$ $d(3,4)=5.$ $(3.4)$ $(M,m)$ $r$ $x \i M$ $L_{r}(y\mapsto m(x,y))$

Det andra exemplet är Himmelblau-funktionsgrafen som visas i figuren till höger. Varje kurva som visas är en nivåkurva för funktionen och de är logaritmiskt separerade från varandra - om kurvan representerar nivån representerar den närmaste "insidan"-kurvan nivån och den närmaste "utanför"-kurvan representerar nivån . ${\displaystyle L_{x))$ $L_{x/10}$ ${\displaystyle L_{10x))$

Nivåuppsättningar och gradienter

Sats : Om en funktion f är differentierbar är gradienten för f i en punkt antingen noll eller vinkelrät mot nivåmängden f i punkten.

För att förstå vad detta betyder, låt oss föreställa oss att två fotgängare befinner sig på samma plats på en bergssida. En av dem är självsäker och bestämmer sig för att gå i riktning mot den brantaste stigningen, den andra är mer försiktig, han tänker inte klättra upp eller ner, utan väljer en stig med samma höjd över havet. I vår analogi säger teoremet ovan att båda fotgängarna kommer att ge sig av i riktningar vinkelräta mot varandra.

En konsekvens av denna sats (och dess bevis) är att om f är differentierbar, är nivåmängden en hyperyta och ett mångfald utanför de kritiska punkterna för f . Vid en kritisk punkt kan nivåuppsättningen minska till en punkt (till exempel vid det lokala extremumet av funktionen f ), eller så kan den kritiska punkten visa sig vara en singularitet , såsom en självskärningspunkt eller kusp .

Sublevel och Superlevel Sets

Massor av slag

L_{c}^{-}(f)=\left\{(x_{1},\cdots ,x_{n})\,\mid \,f(x_{1},\cdots ,x_ {n})\leqslant c\right\}

kallas subnivåmängden för funktionen f . Den strikta undernivåuppsättningen av funktionen f definieras som

{\displaystyle \left\{(x_{1},\cdots ,x_{n})\,\mid \,f(x_{1},\cdots ,x_{n})<c\right\))

Liknande

L_{c}^{+}(f)=\left\{(x_{1},\cdots ,x_{n})\,\mid \,f(x_{1},\cdots ,x_ {n})\geqslant c\right\}

kallas supernivåmängden för funktionen f [3] [4] . Uppsättningen av funktionens strikta supernivå definieras på liknande sätt

{\displaystyle \left\{(x_{1},\cdots,x_{n})\,\mid \,f(x_{1},\cdots ,x_{n})>c\right\))

Sublevel sets är viktiga i minimeringsteori . Boundedness av någon icke-tom sublevel set och lägre semi-continuity medför att funktionen når sitt minimum av Weierstrass teorem . Konvexiteten för alla uppsättningar av undernivåer kännetecknar kvasi-konvexa funktioner [5] .

Se även

Epiplot
Nivå Funktionsmetod
Nivåuppsättning (datastrukturer)

Anteckningar

↑ Se till exempel Metoder för visuell representation av geofält Arkiverad 16 juni 2017 på Wayback Machine
↑ Simionescu, 2011 .
↑ Voitsekhovskii, 2001 .
↑ Weisstein, Eric W. Level Set på Wolfram MathWorld- webbplatsen .
↑ Kiwiel, 2001 , sid. 1–25.

Litteratur

Simionescu PA Några framsteg för att visualisera begränsade funktioner och ojämlikheter hos två variabler // Journal of Computing and Information Science in Engineering. - 2011. - T. 11 , nr. 1 . - doi : 10.1115/1.3570770 .
Voitsekhovskii MI Nivåuppsättning // Encyclopedia of Mathematics. — EMS Press, 2001.
Krzysztof C. Kiwiel. Konvergens och effektivitet av subgradientmetoder för kvasikonvex minimering // Mathematical Programming, Series A. - Berlin, Heidelberg: Springer, 2001. - Vol. 90 , nr. 1 . — ISSN 0025-5610 . - doi : 10.1007/PL00011414 .