Begränsning

Begränsadhet i matematik är en egenskap hos mängder , som indikerar storlekens ändlighet i det sammanhang som bestäms av utrymmeskategorin.

Det initiala konceptet är en begränsad nummeruppsättning , sådan är uppsättningen av reella tal , för vilka det finns tal så att för något av det sker: , med andra ord, ligger helt i segmentet . Siffrorna och kallas i detta fall den nedre respektive övre gränsen för mängden. Om det bara finns en nedre eller övre gräns, så talar man om en mängd avgränsad under respektive avgränsad ovan . $B\subset \mathbb {R}$ $m,M\in \mathbb {R}$ $x$ $B$ $m\leqslant x\leqslant M$ $B$ $[m,M]$ $m$ $M$ $X$

En numerisk mängd avgränsad ovan har en exakt övre gräns , avgränsad underifrån har en exakt nedre gräns (kantsats). En ändlig uppsättning punkter, ett intervall av den numeriska axeln (där finns ändliga tal), en ändlig förening av avgränsade mängder - avgränsade mängder; uppsättningen heltal är obegränsad; uppsättningen naturliga tal ur systemet av reella tal är avgränsad underifrån och obegränsad från ovan. $[a,b]$ $a,b$ $\mathbb {Z}$ $\mathbb {N}$

En avgränsad numerisk funktion är en funktion vars värdeområde ärbegränsat, det vill säga det finns såattolikheten gäller. I synnerhet är en avgränsad numerisk sekvens en sekvens för vilken det finnssåatt. $f\colon D\to \mathbb {R}$ $f(D)$ $m$ $x$ $|f(x)|\leqslant m$ $(a_{i})$ $m\in \mathbb {R}$ $i \i \N$ $|a_{i}|\leqslant m$

Generaliseringar

Generaliseringar av numerisk begränsning till mer allmänna kategorier av utrymmen kan skilja sig åt. Sålunda, till delmängder av godtyckliga partiellt ordnade mängder, överförs den numeriska definitionen på ett naturligt sätt (eftersom definitionen endast kräver ordningsrelationen ).

I ett topologiskt vektorutrymme över ett fält anses varje uppsättning som absorberas av någon grannskap av noll vara begränsad , det vill säga om det finns så att . Den avgränsade operatorn på topologiska vektorrum tar avgränsade uppsättningar till avgränsade. $E$ $k$ $B$ $\alpha \in k$ ${\displaystyle B\subset \alpha U_{0))$

I fallet med ett godtyckligt metriskt utrymme anses uppsättningar med ändlig diameter vara begränsade , det vill säga begränsade, om så klart. Samtidigt är det omöjligt att introducera begreppen övre och nedre begränsning i allmänna metriska utrymmen. $(M,d)$ $B\subseteq M$ ${\displaystyle \mathrm {sup} \{d(x,y)\mid {x,y\in B}\))$

Ett mer speciellt koncept som sträcker sig till godtyckliga metriska utrymmen är fullständigt begränsning ; i fallet med numeriska mängder och i euklidiska rum sammanfaller denna föreställning med motsvarande föreställningar om en avgränsad mängd. I metriska utrymmen är topologisk kompakthet likvärdig med att vara fullständigt begränsad och fullständig samtidigt , och även om begreppet avgränsadhet inte sträcker sig till godtyckliga topologiska utrymmen , kan kompakthet i det allmänna fallet anses vara en analog av avgränsadhet.

Litteratur

Bounded set - Encyclopedia of Mathematics artikel . M. I. Voitsekhovsky