Grundläggande teorem för Galois teori

Huvudsatsen för Galois teori är satsen om förlängningar av fält av en viss form, ett nyckelresultat av Galois teori .

Påstående: för en finit Galois-förlängning finns det en en-till-en-överensstämmelse mellan uppsättningen av mellanliggande fält i formen och uppsättningen av undergrupper av Galois-gruppen av denna förlängning (desutom definierar satsen uttryckligen denna korrespondens). $E\upprörd F$ $K$ $E\uppsättning K\uppsättning F$

Beskrivning av överensstämmelse

För en given finit förlängning är korrespondensen ordnad enligt följande: $E\upprörd F$

För någon undergrupp av Galois-gruppen är motsvarande mellanliggande fält, vanligtvis betecknat med , uppsättningen av de element i fältet som är fasta punkter för varje automorfism från , med operationer inducerade från . $H$ $E^{H}$ $E$ $H$ $E$
För varje mellanliggande fält består undergruppen som motsvarar det av de automorfismer som verkar identiskt på detta mellanliggande fält.

Till exempel motsvarar fältet en trivial undergrupp och hela gruppen (eftersom alla automorfismer från Galois-gruppen bevarar ett mindre fält, och för alla andra element finns det en automorfism som verkar på det icke-trivialt). $E$ $F$

Matcha egenskaper

Denna korrespondens har flera användbara egenskaper. I synnerhet vänder den ordningen genom inkludering: för undergrupper av Galois-gruppen är villkoret ekvivalent med . Dessutom är ett fält en normal förlängning (eller, ekvivalent, en Galois-förlängning , eftersom varje subextension av en separerbar förlängning är separerbar) om och endast om är en normal undergrupp av Galois-gruppen. Kvotgruppen är isomorf med avseende på Galois - gruppen i förlängningen . $H_{1}\subseteq H_{2}$ $E^{H_{2}}\subseteq E^{H_{1}}$ $E^{H}$ $F$ $EH$ $E^{H}\upset F$

Exempel

Låt oss överväga ett fält . Varje element kan skrivas som $\mathbb {Q} ({\sqrt {2)),{\sqrt {3)))$

a+b{\sqrt {2}}+c{\sqrt {3}}+d({\sqrt {2}}\cdot {\sqrt {3}}),

där , , , är rationella tal. Tänk på automorfismer av förlängningen . Eftersom denna förlängning genereras av och bestäms all automorfism unikt av deras bilder. Automorfismer av vilken förlängning som helst kan bara byta rötterna till ett polynom över ett mindre fält, därför, i det här fallet, är alla möjliga icke-triviala automorfismer en permutation och (vi betecknar denna automorfism ), en permutation och (automorfism ) och deras sammansättning . Mer exakt specificeras dessa transformationer enligt följande: $a$ $b$ $c$ $d$ $\mathbb {Q} ({\sqrt {2)),{\sqrt {3)))\supset \mathbb {Q}$ ${\sqrt {2}}$ ${\sqrt {3}}$ ${\sqrt {2}}$ $-{\sqrt 2}$ $f$ ${\sqrt {3}}$ $-{\sqrt 3}$ $g$ $fg$

f(a+b{\sqrt {2}}+c{\sqrt {3}}+d{\sqrt {6}})=ab{\sqrt {2}}+c{\sqrt {3 }}-d{\sqrt {6}},

g(a+b{\sqrt {2}}+c{\sqrt {3}}+d{\sqrt {6}})=a+b{\sqrt {2}}-c{\sqrt {3}}-d{\sqrt {6}}.

Det är uppenbart att dessa mappningar fungerar bijektivt och omvandlar summan till en summa, därför räcker det för att kontrollera likheten att kontrollera det på par av grundläggande element, vilket också är trivialt. Således är Galois-gruppen i denna förlängning Klein fyra-gruppen : $f(ab)=f(a)\cdot f(b)$

G=\{1,f,g,fg\}.

Den har tre icke-triviala undergrupper:

automorfismer från en undergrupp bevarar delar av det mellanliggande fältet ; ${\displaystyle \{1,f\))$ $\mathbb {Q} ({\sqrt {3)))$
automorfismer från bevara ; ${\displaystyle \{1,g\))$ $\mathbb {Q} ({\sqrt {2)))$
automorfismer från bevara . $\{1,fg\}$ $\mathbb {Q} ({\sqrt {6}})$

Applikationer

Huvudsatsen reducerar frågan om existensen av mellanliggande fält till frågan om förekomsten av undergrupper av någon ändlig grupp (eftersom Galois-gruppens ordning är lika med dimensionen av förlängningen), löses många problem med Galois-teorin genom att en enkel tillämpning av huvudsatsen.

Till exempel är frågan om lösbarheten av en ekvation i radikaler vanligtvis formulerad enligt följande: är det möjligt att uttrycka rötterna till ett givet polynom i termer av dess koefficienter med enbart aritmetiska operationer och operationen att ta roten av den e graden . På det fältteoretiska språket kan denna fråga formuleras på följande sätt: betrakta fältet som genereras av polynomets koefficienter och fältet som erhålls genom att addera dess rötter. Frågan är om det finns en sådan kedja av mellanfält $n$ $F$ $E$

E=K_{n}\supset K_{n-1}\supset \ldots \supset K_{1}\supset K_{0}=F,

att , var är roten till ekvationen och fältet innehåller alla ekvationens rötter . I det här fallet kan man bevisa att motsvarande serie av undergrupper i Galois-gruppen har egenskapen att kvotgruppen existerar och är cyklisk . Grupper för vilka det finns minst en serie med denna egenskap sägs vara lösbar , alltså är en ekvation lösbar i radikaler om och endast om dess Galois-grupp är lösbar. $K_{i+1}=K_{i}(\alpha )$ $\alfa$ $x^{n}-a,\ a\in K_{i}$ $K_{i}$ $x^{n}-1$ $G_{i}/G_{i+1}$

Teorier som Kummers teori och klassfältteori är baserade på Galois teoris grundläggande teorem.

Litteratur

Bourbaki N. Algebra. Del 2. Polynom och fält. Beställda grupper - M .: Nauka, 1965
P. Aluffi. Algebra: Kapitel 0 (Graduate Studies in Mathematics) - American Mathematical Society, 2009 - ISBN 0-8218-4781-3 .
Marcus, Daniel. Nummerfält (odefinierade) . - New York: Springer-Verlag , 1977. - ISBN 0-387-90279-1 .