Tvillingparadox

Tvillingparadoxen är ett tankeexperiment som försöker bevisa inkonsekvensen i den speciella relativitetsteorin . Enligt SRT , från "stationära" observatörers synvinkel, saktar alla processer i rörliga föremål ner . Å andra sidan förklarar relativitetsprincipen jämlikheten mellan tröghetsreferensramar . Utifrån detta byggs ett argument som leder till en uppenbar motsägelse. För tydlighetens skull övervägs historien om två tvillingbröder. En av dem (hädanefter kallad "resenären") går på en rymdfärd, den andra (hädanefter kallad "hemkroppen") förblir på jorden. Efter flygningen återvänder resenären till jorden. Oftast formuleras "paradoxen" på följande sätt:

Formulering I. Ur hemkroppens synvinkel har den rörliga resenärens klocka en långsam rörelse av tiden , så när man återvänder måste den vara bakom hemkroppens klocka. Å andra sidan, i resenärens referensram, rörde sig jorden och accelererade, så hemkroppens klocka måste hamna efter. I själva verket är bröderna lika, därför bör deras klockor visa samma tid efter att de kommit tillbaka.

Men enligt SRT , om jordens gravitationspotential inte beaktas, kommer resenärens klocka att släpa efter. I en sådan kränkning av brödernas skenbara symmetri ser man en motsägelse.

Historik

Effekten av relativistisk tidsdilatation formulerades av Albert Einstein i hans artikel från 1905 som följande teorem:

Om det finns två synkront körande klockor vid punkt A, och vi flyttar en av dem längs en stängd kurva med konstant hastighet tills de återgår till A (vilket tar, säg, t sek), kommer denna klocka, vid ankomst till A, att släpa efter klockan, som förblev orörlig ... [1]

I form av en paradox formulerades denna effekt 1911 av Paul Langevin [2] . Att ge paradoxen en visuell historia av rymdresor gjorde den populär, även i icke-vetenskapliga kretsar. Langevin trodde själv att förklaringen av paradoxen är kopplad till resenärens accelererade rörelse , vilket är nödvändigt för hans återkomst till jorden.

Nästa analys av paradoxen gjordes av Max von Laue 1913 [3] . Ur hans synvinkel är det inte stadierna av resenärens acceleration som är viktiga, utan själva det faktum att han ändrar den tröga referensramen när han återvänder till jorden.

Efter skapandet av den allmänna relativitetsteorin förklarade Albert Einstein 1918 paradoxen med hjälp av att gravitationsfältet påverkar tidens gång [4] .

I själva verket, enligt den allmänna relativitetsteorin, går klockan snabbare, ju större gravitationspotentialen är på den plats där den finns.

Sedan, 1921, föreslog Wolfgang Pauli en enkel förklaring baserad på invariansen av rätt tid av Wolfgang Pauli [5] .

Under en tid väckte "tvillingparadoxen" nästan ingen uppmärksamhet. 1956-1959 publicerade Herbert Dingle en serie artiklar [6] [7] som hävdade att de kända förklaringarna till "paradoxen" var felaktiga. Trots felaktigheten i Dingles argument [8] [9] har hans arbete orsakat många diskussioner i vetenskapliga och populärvetenskapliga tidskrifter [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] . Som ett resultat har det kommit ut ett antal böcker om detta ämne. Av de ryskspråkiga källorna är det värt att notera böckerna [18] [19] [20] [21] , samt artikeln [22] .

De flesta forskare anser inte att "tvillingparadoxen" är en demonstration av motsägelsen i relativitetsteorin, även om historien om uppkomsten av vissa förklaringar av "paradoxen" och att ge den nya former inte slutar än i dag [23 ] [24] [25] [26] [27] .

Klassificering av paradoxförklaringar

En paradox som liknar "tvillingparadoxen" kan förklaras med två tillvägagångssätt:

1) Avslöja ursprunget till det logiska felet i resonemanget som ledde till motsägelsen; 2) Utför detaljerade beräkningar av storleken på tidsutvidgningseffekten från positionen för var och en av bröderna.

Det första tillvägagångssättet beror på detaljerna i formuleringen av paradoxen. I avsnitten " De enklaste förklaringarna " och "Den fysiska orsaken till paradoxen " kommer olika versioner av "paradoxen" att ges och förklaringar kommer att ges till varför motsättningen faktiskt inte uppstår.

Som en del av det andra tillvägagångssättet utförs beräkningarna av klockavläsningarna för var och en av bröderna både ur en hemkropps synvinkel (vilket vanligtvis inte är svårt) och ur en resenärs synvinkel. Eftersom den senare ändrade sin referensram finns det olika alternativ för att ta hänsyn till detta faktum. De kan villkorligt delas in i två stora grupper.

I den första gruppen ingår beräkningar baserade på den speciella relativitetsteorin inom ramen för tröghetsreferensramar. I det här fallet anses stadierna av accelererad rörelse vara försumbara jämfört med den totala flygtiden. Ibland introduceras en tredje tröghetsreferensram, som rör sig mot resenären, med hjälp av vilken avläsningarna från hans klocka "sänds" till hans hemkroppsbror. I avsnittet " Signalutbyte " kommer den enklaste beräkningen baserad på Dopplereffekten att ges .

Den andra gruppen inkluderar beräkningar som tar hänsyn till detaljerna i accelererad rörelse . I sin tur är de uppdelade på grundval av användning eller icke-användning av Einsteins gravitationsteori (GR) i dem. Beräkningar som använder allmän relativitet är baserade på införandet av ett effektivt gravitationsfält , motsvarande systemets acceleration, och tar hänsyn till förändringar i tidshastigheten i det. I den andra metoden beskrivs icke-tröghetsreferenssystem i platt rumtid och begreppet gravitationsfält är inte inblandat. Huvudidéerna för denna grupp av beräkningar kommer att presenteras i avsnittet " Icke-tröghetsreferensramar ".

Kinematiska effekter av SRT

SRT är baserad på Lorentz-transformationerna . För att förstå essensen av tvillingparadoxen är en noggrann analys av de huvudsakliga kinematiska effekterna som följer av dem nödvändig. Betrakta två referensramar och , vars rumsliga axlar är parallella med varandra. Låt systemet röra sig relativt längs axeln med en hastighet , då: $\textstyle S$ $\textstyle S'$ $\textstyle S'$ $\textstyle S$ $\textstil x$ $\textstyle v$

x'=\frac{x-vt}{\sqrt{1-v^2/c^2)),\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \;t'=\frac{t-vx/c^2}{\sqrt{1-v^2/c^2)),

där - koordinaten och tiden i den "fasta" referensramen , - koordinaten och tiden i den "rörliga" ramen . $\textstil(x,t)$ $\textstyle S$ $\textstil (x',t')$ $\textstyle S'$

Tidsnedgång

Om klockan är stillastående i systemet (i sin egen referensram), så gäller för två på varandra följande händelser som inträffar någon gång i systemet . Sådana klockor rör sig i förhållande till systemet enligt lagen . Sedan följer det av Lorentz-transformationerna att tidsintervallet mellan händelser i systemet är relaterat till intervallet mellan samma händelser i systemet genom likheten: $\textstyle S'$ $\textstyle S'$ $\textstil \Delta x'=0$ $\textstyle S$ $\textstil \Delta x=v\Delta t$ $\textstil \Delta t'$ $\textstyle S'$ $\textstil \Delta t$ $\textstyle S$ $~~~\Delta t'=\Delta t\cdot {\sqrt {1-v^{2}/c^{2))}.$

Det är viktigt att förstå att i denna formel mäts tidsintervallet med en vilotimma ( ). Den jämförs med avläsningarna av flera olika, synkront löpande klockor som finns i systemet ( ), förbi vilka klockan flyger med en hastighet av . $\textstil \Delta t'$ $\textstyle S'$ $\textstil \Delta x'=0$ $\textstil \Delta t$ $\textstyle S$ $\textstyle \Delta x\neq 0$ $v$ $\textstyle S'$

Tidsintervallet som mäts av klockan i systemet mellan händelser i systemet är större än det intervall som mäts av klockan i sin egen referensram : eftersom $\textstil \Delta t$ $\textstyle S$ $\textstyle S'$ $\textstil \Delta t'$ $\textstyle S'$ $\textstyle \Delta t>\textstyle \Delta t'$

\Delta t={\frac {\Delta t'}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}

I systemet går den rörliga klockan långsammare än i sin egen referensram . $\textstyle S$ $\textstyle S'$ $\textstyle S'$

En viktig punkt i tidsdilatationseffekten är relaterad till ekvivalensen av tröghetsreferensramar ( relativitetsprincipen ). Klockor som är stationära i ramen : rör sig i förhållande till synkroniserade klockor i ramen : och går långsammare än i sin egen referensram : eftersom $\textstyle S$ $\textstil \Delta x=0$ $\textstyle S'$ $\textstil \Delta x'=-v\Delta t'$ $\textstyle S'$ $\textstyle S$ $\textstyle \Delta t'>\textstyle \Delta t$

\Delta t'={\frac {\Delta t}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}

Trots föregående notation motsäger inte den sista formeln den föregående. Var och en av dem beskriver olika mätprocedurer. I det första fallet går en klocka som vilar i systemet (sin egen referensram) förbi flera timmar vid , och i det andra fallet är situationen omvänd: en klocka i sin egen referensram går förbi flera timmar vid . $\textstyle S'$ $\textstyle S$ $\textstyle S$ $\textstyle S'$

Relativitet av simultanitet

Relativiteten i händelsernas samtidiga karaktär är nyckeleffekten av SRT, vilket är nödvändigt för att förstå "tvillingparadoxen". Betrakta en referensram som rör sig med en hastighet i riktning mot systemets axel . I vart och ett av systemen finns synkroniserade klockor längs axlarna. Låt det finnas observatörer nära varje klocka i båda referensramarna. I Lorentz-transformationerna antas det att vid tidpunkten sammanfaller ursprunget till referenssystem: . Nedan är en sådan synkronisering av tidsreferensen (på den "centrala" klockan) från observatörernas synvinkel i referenssystemet (vänster bild) och från observatörernas synvinkel i (höger bild): $\textstyle S'$ $v$ $\textstil x$ $\textstyle S$ $\textstil x$ $x'$ $\textstil t'=t=0$ $\textstil x'=x=0$ $\textstyle S'$ $\textstyle S$

Om vi lägger in Lorentz-transformationerna får vi . Detta innebär att observatörer i systemet samtidigt med tidens sammanfallande på centralklockan registrerar olika avläsningar på klockorna i systemet (vänster figur). För observatörer i , belägen till höger om punkten , med koordinater , vid tidpunkten, visar klockan för den fasta referensramen den "framtida" tiden: . Observatörer till vänster om fixar klockans "förflutna" tid : . Visarnas position symboliserar skillnaden mellan klockavläsningarna för de två referensramarna. Till exempel, två händelser som inträffade samtidigt i olika punkter i systemet inträffar inte samtidigt i referensramen ur observatörernas synvinkel i systemet : den vänstra händelsen inträffar före den högra. $\textstil t'=0$ $\textstil t=vx/c^2$ $\textstyle S'$ $\textstil t'=t=0$ $\textstil x'=x=0$ $\textstyle S$ $\textstyle S'$ $\textstil x=0$ $\textstil x>0$ $\textstil t'=0$ $\textstyle S$ $\textstyle t=vx/c^2>0$ $\textstyle S'$ $\textstil x=0$ $\textstyle S$ $\textstil t<0$ $\textstil t'=0$ $\textstyle S'$ $\textstyle S$ $\textstyle S'$

Detta påstående är sant för vilken tidpunkt som helst . Det följer av Lorentz-transformationerna att om , då Därav, om , då och . Detta betyder att i referensramen inträffar den vänstra händelsen vid punkten före den högra vid punkten : . Detta faktum fixeras av de klockor som är synkroniserade i systemet . Således kommer observatörer i båda systemen att fixa att händelserna inte är samtidiga i systemet . $t'$ $\Delta t'=0$ $\Delta t={\frac {v}{c^{2}}}\Delta x.$ $\Delta x=x_{2}-x_{1}>0$ $\Delta t=t_{2}-t_{1}>0$ $\textstyle S$ $x_{1}$ $x_{1}<x_{2}$ $x_{2}$ $t_{1}<t_{2}$ $\textstyle S$ $\textstyle S$

Eftersom systemen är lika , ur systemets observatörers synvinkel, är inte klockorna i systemet synkroniserade. Händelser som inträffar samtidigt på olika punkter i systemet inträffar inte samtidigt i systemet för observatörer av båda systemen. $\textstyle S$ $\textstyle S'$ $\textstyle S$ $\textstyle S'$ $\textstyle S$ $\textstyle S'$

En enda "riktig", det vill säga klockor som körs synkront vid olika punkter i rymden, kan introduceras i varje tröghetsreferensram. Det finns dock ingen enskild "verklig" för två olika referensramar.

Ur deras synvinkel innehåller systemet som rör sig i förhållande till stationära observatörer klockor som är desynkroniserade i rörelseriktningen, en slags kontinuerlig förening av "det förflutna", "nutid" och "framtid".

Effekterna av tidsutvidgning och relativiteten av samtidighet är nära besläktade med varandra och lika nödvändiga för att beräkna situationen som beskrivs i "paradoxen" av tvillingar.

De enklaste förklaringarna

På grund av sin långa historia finns tvillingparadoxen i en mängd olika formuleringar. Oftast visar en eller annan metod brödernas symmetri, från vilken en motsägelse med SRT-slutsatsen att resenärens klocka kommer att falla efter bör följa. Den ursprungliga versionen av paradoxen ( Formulering I ) specificerar inte arten av resenärens rörelse. Därför är följande enkla förklaring giltig för det (på en kvalitativ nivå):

Förklaring I. Bröderna är inte lika, eftersom en av dem (resenären) upplevde stadierna av accelererad rörelse som var nödvändig för hans återkomst till jorden [2] .

Men som experimentella data visar påverkar accelerationen som sådan inte klockans hastighet [28] . Således, i det här fallet, är acceleration bara en indikator på något fenomen som introducerar asymmetri i resenärens och soffpotatisens tillstånd.

Fastställandet av brödernas asymmetri förklarar förstås inte i sig varför det är resenärens klocka som ska sakta ner, och inte hemkroppens. Dessutom uppstår ofta missförstånd:

"Varför leder kränkningen av brödernas jämlikhet under så kort tid (att stoppa resenären) till en så slående kränkning av symmetri?"

Detta kan tydligt ses i fig. 1 och 2, vilka visar samma situation ur olika synpunkter. På fig. 1 betraktar den tröghetsreferensram som är associerad med jorden. Ris. 2 visar tröghetsramen som är associerad med fartyget. Men eftersom fartyget inte rör sig likformigt hela tiden (vi antar villkorligt att dess bana består av två sektioner av likformig rörelse åtskilda av kortvarig acceleration), kan tröghetsreferensramen sammanfalla med fartyget endast en del av dess bana. Vi betraktar ett system som sammanfaller med fartyget på den första halvan av sin resa.

Som framgår av fig. 1 och 2:

I båda fallen är jordens världslinje rak.
I båda fallen är fartygets världslinje en bruten linje.

Eftersom den streckade linjen i något referenssystem är längre än den räta linjen, färdas resenären en längre bana i rum-tid, och en längre bana motsvarar en mindre riktig tid.

För att bättre förstå orsakerna till asymmetri och de konsekvenser de leder till är det nödvändigt att återigen lyfta fram de nyckelpremisser som är explicit eller implicit närvarande i någon formulering av paradoxen. För att göra detta kommer vi att anta att längs resenärens bana i den "fasta" referensramen som är associerad med hemkroppen, finns det klockor som körs synkront (i denna ram). Då är följande kedja av resonemang möjlig, som om det skulle bevisa inkonsekvensen av SRT-slutsatser:

Resenären, som flyger förbi vilken klocka som helst som står stilla i homebody-systemet, observerar deras långsamma löpning.
Klockans långsammare takt gör att dess ackumulerade avläsningar kommer att släpa efter resenärens klocka, och på en lång flygning, godtyckligt mycket.
Efter att ha stannat snabbt måste resenären fortfarande observera fördröjningen på klockan som ligger vid "stopppunkten".
Alla klockor i det "fasta" systemet går synkront, så broderns klocka på jorden kommer också att hamna efter, vilket motsäger slutsatsen av SRT.

Så varför skulle resenären faktiskt observera sin klocka släpa efter den för det "stationära" systemet, trots att alla sådana klockor går långsammare ur hans synvinkel? Den enklaste förklaringen [29] inom SRT är att det är omöjligt att synkronisera alla klockor i två tröghetsreferensramar. Låt oss ta en närmare titt på denna förklaring.

Den fysiska orsaken till paradoxen

Under flygningen befinner sig resenären och hemkroppen på olika punkter i rymden och kan inte direkt jämföra sina klockor. Därför kommer vi, som ovan, att anta att längs resenärens bana i det "orörliga" systemet som är associerat med hemkroppen, finns det identiska, synkront löpande klockor som resenären kan observera under flygningen. Tack vare synkroniseringsproceduren i det "immobila" referenssystemet introduceras en enda tid, som för tillfället bestämmer "nuvarande" av detta system.

Efter starten "övergår" resenären till en tröghetsreferensram som rör sig relativt "stationär" med en hastighet . Denna tidpunkt tas av bröderna som den första . Var och en av dem kommer att se hur den andra broderns klocka saktar ner. $\textstyle S'$ $\textstyle S$ $\textstyle v$ $\textstil t=t'=0$

Ett enda "riktigt" system för resenären upphör dock att existera. Referenssystemet har sin egen "riktiga" (många synkroniserade klockor). För ett system , ju längre längs resenärens väg delarna av systemet är , desto mer avlägsen "framtid" (ur det "riktiga" systemets synvinkel ) är de. $\textstyle S$ $\textstyle S'$ $\textstyle S'$ $\textstyle S$ $\textstyle S'$

Resenären kan inte direkt observera denna framtid. Detta kan göras av andra observatörer av systemet som befinner sig före rörelsen och har tiden synkroniserad med resenären. $\textstyle S'$

Därför, även om alla klockor i en fast referensram som resenären flyger förbi är långsammare ur hans synvinkel, följer det inte av detta att de kommer att släpa efter hans klocka.

Vid tidpunkten t , ju längre fram den "stationära" klockan är, desto större avläsning ur resenärens synvinkel. När han når dessa timmar kommer de inte att vara tillräckligt långt efter för att kompensera för den initiala tidsskillnaden. $\textstil t'=0$

Låt oss faktiskt sätta resenärens koordinater i Lorentz-transformationerna lika med . Lagen för dess rörelse i förhållande till systemet har formen . Den tid som förflutit sedan flygningens start, enligt klockan i systemet , är mindre än i : , eftersom $\textstil x'=0$ $\textstyle S$ $\textstil x=vt$ $\textstyle S'$ $\textstyle S$ $t'<t$

t " = t − v ( v t ) / c 2 ett − v 2 / c 2 = t ett − v 2 / c 2 . {\displaystyle t'={\frac {tv(vt)/c^{2)){\sqrt {1-v^{2}/c^{2))))=t\,{\sqrt {1 -v^{2}/c^{2}}}.} $t'={\frac {tv(vt)/c^{2)){\sqrt {1-v^{2}/c^{2))))=t\,{\sqrt {1 -v^{2}/c^{2}}}.$

Med andra ord släpar tiden på resenärens klocka efter systemets klocka . Samtidigt står klockan som resenären flyger förbi fortfarande på : . Därför ser deras framstegstakt för resenären långsam ut: $t'$ $t$ $S$ $\textstyle S$ $\textstil \Delta x = 0$

\Delta t' = \frac{\Delta t}{\sqrt{1-v^2/c^2}} > \Delta t.

På det här sättet:

trots att alla speciella klockor i systemet går långsammare från en observatörs synvinkel i , kommer olika klockor längs hans bana att visa tid som har gått framåt. $\textstyle S$ $\textstyle S'$

Skillnaden i takt på klockan och - effekten är relativ, medan värdena för de aktuella avläsningarna och vid en rumslig punkt - är absoluta. Observatörer som befinner sig i olika tröghetsreferensramar , men "på samma" rumsliga punkt, kan alltid jämföra de aktuella avläsningarna av sina klockor. Resenären, som flyger förbi systemets klocka , ser att de har gått före . Därför, om resenären bestämmer sig för att sluta (bromsa snabbt), kommer ingenting att förändras, och han kommer att falla in i systemets "framtid" . Naturligtvis, efter stoppet, kommer takten på hans klocka och klockan in att bli densamma. Däremot kommer resenärens klocka att visa kortare tid än systemets klocka vid stopppunkten. På grund av den enhetliga tiden i systemet kommer resenärens klocka att släpa efter alla klockor , inklusive hans brors. Efter att ha stannat kan resenären återvända hem. I detta fall upprepas hela analysen. Som ett resultat är resenären yngre än sin bror-hemkropp, både vid stopp och vändning, och vid startpunkten vid återkomst. $\Delta t$ $\Delta t'$ $t$ $t'$ $\textstyle S$ $\textstyle t>t'$ $\textstyle S$ $\textstyle S$ $\textstyle S$ $\textstyle S$ $\textstyle S$

Om, istället för att stoppa resenären, den hemmavarande accelererar till sin hastighet, kommer han att "komma" in i "framtiden" för resenärens system. Som ett resultat kommer "homebody" att vara yngre än "resenären". På det här sättet:

som ändrar sin referensram visar sig han vara yngre.

Signalering

Beräkningen av tidsdilatation från positionen för varje bror kan utföras genom att analysera signalutbytet mellan dem [30] . Även om bröderna, som befinner sig på olika ställen i rymden, inte direkt kan jämföra avläsningarna på sina klockor, kan de sända "exakta tid"-signaler med hjälp av ljuspulser eller videoöverföring av klockbilden. Det är tydligt att de i det här fallet inte observerar den "nuvarande" tiden på broderns klocka, utan det "förflutna", eftersom signalen tar tid att sprida sig från källan till mottagaren.

Vid utbyte av signaler måste dopplereffekten beaktas . Om källan rör sig bort från mottagaren minskar signalens frekvens, och när den närmar sig ökar den:

var är strålningens naturliga frekvens , och är frekvensen för signalen som tas emot av observatören. Dopplereffekten har en klassisk komponent och en relativistisk komponent som är direkt relaterad till tidsdilatation. Hastigheten som ingår i frekvensändringsförhållandet är den relativa hastigheten för källan och mottagaren. $\textstil \nu_0$ $\textstil \nu$ $\textstyle v$

Tänk på en situation där bröderna varje sekund (med sina klockor) sänder de exakta tidssignalerna till varandra. Låt oss först göra beräkningen ur resenärens synvinkel. $\textstil \nu_0=1$

Resenärens beräkning

Medan resenären rör sig bort från jorden, registrerar han, på grund av Dopplereffekten , en minskning av frekvensen av de mottagna signalerna. Videoflödet från jorden verkar vara långsammare. Efter snabb inbromsning och stopp upphör resenären att röra sig bort från jordiska signaler, och deras period omedelbart [komm. 1] visar sig vara lika med hans andra. Hastigheten i videosändningen blir "naturlig", även om resenären, på grund av ljushastighetens ändlighet, fortfarande observerar sin brors "förflutna". Efter att ha vänt och accelererat börjar resenären "springa" [komm 2] på signalerna som kommer mot honom och deras frekvens ökar (återigen på grund av Dopplereffekten ). "Brors rörelser" på videosändningen från detta ögonblick börjar se accelererade ut för resenären [komm. 3] .

Flygtiden enligt resenärens klocka i en riktning är lika med , och densamma i motsatt riktning. Antalet "Jordsekunder" som tas under resan är lika med deras frekvens gånger tiden. Därför kommer resenären att få betydligt mindre "sekunder" när han flyttar bort från jorden: $\textstil t'_1$ $\textstyle t'=2t'_1$ $\textstil \nu$

t_1 = t'_1\cdot \sqrt{\frac{cv}{c+v}} < t'_1,

och när man tvärtom närmar sig mer:

t_2 =t'_1\cdot \sqrt{\frac{c+v}{cv)) > t'_1.

Det totala antalet "sekunder" som tas emot från jorden under tiden t är större än de som överförs till den: $\textstyle t'=2t'_1$

t = t_1 + t_2 = t'_1\cdot \frac{cv}{\sqrt{c^2-v^2}} + t'_1\cdot \frac{c+v}{\sqrt{c^2- v^2}}= \frac{t'}{\sqrt{1-v^2/c^2}},

exakt i enlighet med tidsdilatationsformeln.

Beräkning av en hemkropp

Något annorlunda aritmetik för en homebody. Medan hans bror flyttar, registrerar han också en ökad period av exakt tid som sänds av resenären. Men till skillnad från sin bror, observerar homebody en sådan avmattning under längre tid . Flygtiden för en sträcka i en riktning är enligt jordklockor . Den som vistas i hemmet kommer att se resenärens inbromsning och svängning efter den extra tid som krävs för att ljuset ska färdas avståndet från vändpunkten. Därför, först efter tiden från början av resan, kommer hemkroppen att registrera det accelererade arbetet med klockan [komm. 4] för den annalkande brodern: $\textstyle L$ $\textstil t_1$ $\textstyle t_2=L/c$ $\textstyle L$ $\textstil t_1+t_2$

Tiden för ljusets rörelse från vändpunkten uttrycks i termer av resenärens flygtid till den enligt följande (se figur):

t_2=\frac{L}{c}=\frac{vt_1}{c}.

Därför är antalet "sekunder" som tas emot från resenären, före ögonblicket för hans tur (enligt hemkroppens observationer) lika med:

t'_1 = (t_1+t_2)\cdot\sqrt{\frac{cv}{c+v}} = t_1\cdot \left(1+\frac{v}{c}\right)\cdot\sqrt{ \frac{cv}{c+v}} = t_1\cdot \sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}.

Den som vistas i hemmet tar emot signaler med ökad frekvens över tid (se figuren ovan), och tar emot resenärens "sekunder": $\textstil t_1-t_2$ $\textstil t'_2$

t'_2= (t_1-t_2) \cdot\sqrt{\frac{c+v}{cv}} = t_1\cdot \left(1-\frac{v}{c}\right)\cdot\sqrt{ \frac{c+v}{cv}} = t_1\cdot \sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}.

Det totala antalet mottagna "sekunder" för tiden är lika med: $\textstil t=2t_1$

t'= t'_1+t'_2 = t\cdot\sqrt{1-v^2/c^2}.

Förhållandet för klockavläsningen vid tidpunkten för mötet mellan resenären ( ) och hemkroppens bror ( ) beror alltså inte på vems synvinkel det beräknas från. $\textstil t'$ $\textstil t$

Geometrisk tolkning

I Minkowski-rymden är världslinjen för en observatör i vila (eller rör sig likformigt och rätlinjigt) ett rakt linjesegment. Världslinjen för en resenär som flög bort från jorden och återvände till den är inte en rak linje (i det enklaste fallet med en momentan hastighetsändring till motsatt vid vändpunkten är det en bruten linje, och när man passerar en del av banan med konstant acceleration, kommer motsvarande sektion av linjen att vara en båge av en hyperbel). Precis som i vanlig geometri, av alla linjer som förbinder två punkter, är den kortaste en rät linje, så i Minkowski-rymden, av alla världslinjer som förbinder två punkter, är den längsta (och inte den kortaste på grund av den pseudo- euklidiska rumtiden) är ett rakt segment.

Eftersom längden på världslinjen för en observatör som rörde sig i Minkowski-rymden från punkt a till punkt w är, upp till en faktor c , lika med den tid som spenderades på denna rörelse i hans egen referensram, har vi att alla observatörer som startade vid punkt a och de som slutade vid punkt w , inom referensramen för observatören som var i vila (eller rörde sig enhetligt och rätlinjigt, om de rumsliga koordinaterna för punkterna a och w inte stämmer överens), kommer att passera den största tiden.

För att förstå hur tidsskillnaden mellan tvillingar manifesterar sig måste du förstå att det i den speciella relativitetsteorin inte finns något begrepp om en absolut nutid . För olika tröghetsreferensramar finns det olika uppsättningar av händelser som är samtidiga i denna referensram. Denna relativitet av simultanitet innebär att byte från en tröghetsreferensram till en annan kräver en justering till vilken del av rum-tid som anses "verklig". På rymd-tidsdiagrammet till höger, ritat för referensramen för den jordiska tvillingen, sammanfaller världslinjen för denna tvilling med den vertikala axeln (dess position är konstant i rymden, den rör sig bara i tiden). På det första segmentet av banan rör sig den andra tvillingen till höger (svart lutande linje); och på det andra segmentet tillbaka till vänster. De blå linjerna visar simultanitetsplanen för den resande tvillingen på resans första etapp; röda streck på vägen tillbaka. Strax innan den vänder sig om, beräknar den resande tvillingen åldern på jordtvillingen genom att mäta intervallet längs den vertikala axeln från ursprunget till den övre blå linjen. Omedelbart efter rotationen, om den räknar om, kommer den att mäta intervallet från origo till den nedersta röda linjen. På sätt och vis, under rullen, hoppar samtidigt planet från blått till rött och flyger mycket snabbt genom ett stort segment av jordtvillingens världslinje. Under övergången från den "avgående" tröghetsreferensramen till den "återvändande" tröghetsramen sker en abrupt förändring i tvillingens ålder på jorden [31] [32] [33] [34] [35] .

Icke-tröghetsreferensramar

I godtyckliga referenssystem bestäms egenskaperna för rum och tid av den metriska tensorn , som anger intervallet mellan två oändligt nära händelser: $\textstyle g_{\mu\nu}$

ds^2 = g_{\mu\nu}\,dx^\mu dx^\nu = g_{00}\, (dx^0)^2 + 2\,g_{0i}\,dx^0dx^i + g_{ij}\,dx^idx^j,

där, genom att upprepa index, antyds summering (i grekiska bokstäver från 0 till 3 och på latin från 1 till 3), - tidskoordinat, - rumslig. Den korrekta tiden för en klocka längs dess bana definieras enligt följande: $\textstil x^0=ct$ $\textstil x^i=(x,y,z)$

\frac{1}{c}\int\limits^t_0 ds.

Dess värde är invariant , därför bör beräkningar som utförs i olika referenssystem ge samma resultat.

Beräkning av en hemkropp

Tvillingen kvar på jorden är i tröghetsreferensramen , så måtten för den kan väljas på ett sådant sätt att

ds^2=(cdt)^2-(dx)^2-(dy)^2-(dz)^2.

I det här fallet tar den rätta tiden för vilken klocka som helst en enkel form:

\int\limits^t_0\sqrt{1-\mathbf{u}^2(t)/c^2}\cdot dt,

var är klockhastigheten. Jordklockor är stationära ( ), och deras rätta tid är lika med koordinattiden . Resensklockan har variabel hastighet . Eftersom roten under integralen förblir mindre än en hela tiden, visar sig tiden för dessa klockor, oavsett den explicita formen av funktionen , alltid vara mindre än . Som ett resultat . $\textstyle \mathbf{u}(t)$ $\textstyle \mathbf{u}=0$ $\textstil \tau_0=t$ $\textstyle \mathbf{u}(t)$ $\textstyle \mathbf{u}(t)$ $\textstil t$ $\textstil \tau'_0<\tau_0$

Om accelerationen och retardationen är relativistiskt likformigt accelererad (med parametern egen acceleration ) under , och den likformiga rörelsen är , så kommer tiden att passera enligt fartygets klocka [36] : $\textstil a$ $\tau_1$ $\tau_2$

\tau_0 = \frac{2c}{a}\,\ln\left[\frac{a\tau_1}{c}+\sqrt{1+\left(\frac{a\tau_1}{c}\right) ^2}\right] + \frac{\tau_2}{\sqrt{1+(a\tau_1/c)^2)) = \frac{2c}{a}\, \operatörsnamn{arcsinh}\frac{a \tau_1}{c} + \frac{\tau_2}{\sqrt{1+(a\tau_1/c)^2))

, var är den hyperboliska arcsinen

\operatörsnamn{arcsinh}

Betrakta en hypotetisk flygning till stjärnsystemet Alpha Centauri , på avstånd från jorden på ett avstånd av 4,3 ljusår . Om tiden mäts i år och avstånd i ljusår, så är ljusets hastighet lika med ett, och enhetens acceleration för ljusår/år² är nära tyngdaccelerationen och är ungefär lika med 9,5 m/s². $\textstil c$ $\textstil a=1$

Låt rymdfarkosten röra sig halva vägen med enhetsacceleration och sakta ner den andra halvan med samma acceleration ( ). Sedan vänder fartyget och upprepar stegen med acceleration och retardation. I detta läge blir flygtiden i jordens referenssystem cirka 12 år medan det enligt klockan på fartyget kommer att passera 7,3 år. Fartygets maximala hastighet kommer att nå 0,95 av ljusets hastighet. $\textstil \tau_2=0$

På 59 år av rätt tid kan en rymdfarkost med enhetsacceleration potentiellt göra en resa (återvända till jorden) till Andromeda-galaxen , 2,5 miljoner ljusår bort. år . På jorden, under en sådan flygning, kommer cirka 5 miljoner år att passera. Genom att utveckla dubbelt så mycket acceleration (som en tränad person mycket väl kan vänja sig vid under ett antal förhållanden och använda ett antal enheter, till exempel suspenderad animation ), kan man till och med tänka på en expedition till den synliga kanten av universum ( cirka 14 miljarder ljusår), vilket kommer att ta astronauter cirka 50 år; men när de återvänder från en sådan expedition (efter 28 miljarder år enligt jordens klockor) riskerar deltagarna att inte hitta levande inte bara jorden och solen utan även vår Vintergatans galax . Baserat på dessa beräkningar överstiger inte en rimlig tillträdesradie för interstellära expeditioner med retur flera tiotals ljusår, såvida inte några fundamentalt nya fysiska principer för rörelse i rum-tid upptäcks. Upptäckten av många exoplaneter tyder dock på att planetsystem finns nära en ganska stor andel stjärnor, så astronauter kommer att ha något att utforska i denna radie (till exempel planetsystemen ε Eridanus och Gliese 581 ).

Resenärens beräkning

För att utföra samma beräkning från resenärens position är det nödvändigt att ställa in den metriska tensorn som motsvarar dess icke-tröghetsreferensram . I förhållande till detta system är resenärens hastighet noll, så tiden på hans klocka är det

\tau'_0=\int\limits^t_0\sqrt{g_{00}}\;dt.

Observera att det är koordinattiden och i resenärens system skiljer sig från tiden för hemkroppens referenssystem. $\textstil t$ $\textstil t$

Jordklockan är fri, så den rör sig längs den geodetiska som definieras av ekvationen [37] :

\frac{d^2x^\mu}{ds^2}+\Gamma^\mu_{\nu\lambda}\,\frac{dx^\nu}{ds}\frac{dx^\lambda}{ds }=0,

var är Christoffel-symbolerna , uttryckta i termer av metrisk tensor . För en given metrisk tensor av en icke-tröghetsreferensram tillåter dessa ekvationer oss att hitta banan för hemkroppens klocka i resenärens referensram. Dess ersättning i formeln för korrekt tid ger tidsintervallet som har passerat enligt den "stationära" klockan: $\textstil \Gamma^\mu_{\nu\lambda}$ $\textstyle g_{\mu\nu}$ $\textstil x^i(t)$

\tau_0 = \int\limits^t_0 \sqrt{g_{00} + 2g_{0i}\,u^i/c + g_{ij}\,u^iu^j/c^2}\cdot dt,

var är jordklockans koordinathastighet. $\textstil u^i(t)=dx^i/dt$

En liknande beskrivning av icke-tröghetsreferenssystem är möjlig antingen med hjälp av Einsteins gravitationsteori eller utan hänvisning till den senare. Detaljer om beräkningen inom ramen för den första metoden finns till exempel i boken av Fock [38] eller Möller [39] . Den andra metoden övervägs i Logunovs bok [40] .

Resultatet av alla dessa beräkningar visar att ur resenärens synvinkel kommer hans klocka att släpa efter en stationär observatörs. Som ett resultat blir skillnaden i restid från båda synpunkter densamma, och resenären blir yngre än hemkroppen. Om varaktigheten av stadierna av accelererad rörelse är mycket mindre än varaktigheten av enhetlig flygning, sammanfaller resultatet av mer allmänna beräkningar med formeln som erhålls inom ramen för tröghetsreferensramar.

Slutsatser

Resonemanget bakom berättelsen om tvillingarna leder bara till en uppenbar logisk motsägelse. Med någon formulering av "paradoxen" finns det ingen fullständig symmetri mellan bröderna. Dessutom spelar relativiteten i händelsernas samtidighet en viktig roll för att förstå varför tiden saktar ner just för en resenär som har ändrat sin referensram.

Beräkningen av tidsdilatationsvärdet från positionen för varje bror kan utföras både inom ramen för elementära beräkningar i SRT, och med hjälp av analysen av icke-tröghetsreferensramar. Alla dessa beräkningar stämmer överens med varandra och visar att resenären kommer att vara yngre än sin hemkroppsbror.

Tvillingparadoxen kallas ofta felaktigt också för själva slutsatsen av relativitetsteorin att en av tvillingarna kommer att åldras mer än den andra. Även om denna situation är ovanlig, finns det ingen inneboende motsägelse i den. Många experiment på att förlänga livslängden för elementarpartiklar och sakta ner hastigheten för makroskopiska klockor under deras rörelse bekräftar relativitetsteorin. Detta ger skäl att hävda att den tidsutvidgning som beskrivs i tvillingberättelsen också kommer att inträffa i själva genomförandet av detta tankeexperiment.

Se även

Kommentarer

↑ Här betraktas ljus i ISO, det vill säga i systemet med en soffpotatis, inte en resenär
↑ "Running" från en hemmakropps synvinkel. I förhållande till resenären flyger strålningskällan (hemkroppen) mot.
↑ Detta hänvisar till den accelererade mottagningen av signalen, men från resenärens synvinkel saktas hela hemkroppens värld ner i enlighet med den relativistiska tidsdilatationen.
↑ Detta syftar på den ökade hastigheten för att ta emot resenärens impulser på grund av hans rörelse mot.

Anteckningar

↑ Einstein A. " Om elektrodynamiken hos rörliga kroppar ", Ann. d. Phys., 1905 f. 17, s. 89, rysk översättning i "Einstein A. Samling av vetenskapliga artiklar i fyra volymer. Volym 1. Verk om relativitetsteorin 1905-1920. Moskva: Nauka, 1965.
↑ 1 2 Langevin P. " L'evolution de l'espace et du temps ". Scientia 10:31-54. (1911)
↑ Laue M. (1913) " Das Relativit\"atsprinzip ". Wissenschaft (nr 38) (2 uppl.). (1913)
↑ Einstein A. " Dialog om invändningar mot relativitetsteorin ", Naturwiss., 6, s. 697-702. (1918). Ryska översättningen "A. Einstein, Samling av vetenskapliga artiklar, vol. I, M., Science (1965)
↑ Pauli V. - " Relativitetsteorin " M .: Nauka, 1991.
↑ Dingle H. Relativitet och rymdresor , Nature 177, 4513 (1956).
↑ Dingle H. " Ett möjligt experimentellt test av Einsteins andra postulat ", Nature 183, 4677 (1959).
↑ Coawford F. " Experimentell verifiering av klockparadoxen i relativitet ", Nature 179, 4549 (1957).
↑ Darvin S., " The clock paradox in relativity ", Nature 180, 4593 (1957).
↑ Boyer, R., " The Clock Paradox and General Relativity ", Einstein Miscellany, Science, (1968).
↑ Campbell W., " The clock paradox ", Kanada. Aeronaut. J.4, 9, (1958)
↑ Frey R., Brigham V., " Paradox of the twins ", Amer. J Phys. 25.8 (1957)
↑ Leffert S., Donahue T., " Clock paradox and the physics of discontinuous gravitational fields ", Amer. J Phys. 26, 8 (1958)
↑ McMillan E., " Klockan-paradoxen" och rymdfärden ", Science, 126, 3270 (1957)
↑ Romer R., " Tvillingparadox i speciell relativitetsteori ". amer. J Phys. 27, 3 (1957)
^ Schild, A. " The clock paradox in relativity theory ", Amer. Matematik. Mouthly 66, 1, 1-8 (1959).
↑ Singer S., " Relativitet och rymdresor ", Nature 179.4567 (1957)
↑ Skobeltsyn D. V. , " Tvillingparadoxen i relativitetsteorin ", "Vetenskap", (1966).
↑ Goldenblat I.I., " Paradoxes of time in relativistic mechanics ", M. "Nauka", (1972).
↑ Terletsky Ya. P. " Paradoxer i relativitetsteorin ", M.: Nauka (1965)
↑ Ugarov V. A. - " Särskild relativitetsteori " M .: "Nauka", (1977)
↑ M. Born , " Space travel and the clock paradox " Arkiverad 18 oktober 2016 på Wayback Machine , UFN, 69, nr. 1 (1959)
↑ Dray T., " The twin paradox revisited " Amer. J. från Phys. V.58, I.9, sid. 822-825 (1990)
↑ Debs TA. Redhead, MLG " Paradox of the twins " Amer. J. från Phys. V.64; N.4, sid. 384-391, (1996)
↑ Cranor MB, Heider EM, Price RH " A circular twin paradox " Amer. J. från Phys. V.68; s. 11, s. 1016-1020 (2000)
↑ Muller T., King A., Adis D., " A trip to the end of the universe and the twin paradox " Amer. J. från Phys. V.76; N.4/5, s. 360-373 (2008)
↑ Grandou T., Rubin JL, " On the Ingredients of the Twin Paradox " Int.J. av Theor. Phys., V. 48, N. 1, s. 101-114 (2009)
↑ Mizner C., Thorn C., Wheeler J. § 38.4. KONTROLLERA EXISTENSEN AV ETT METRIK SOM BESTÄMMER MÄTTEN PÅ LÄNGD OCH TID SAMT ÄVEN KINEMATIK FÖR PARTIKLAR // Gravity. - M . : Mir, 1977. - T. 3. - S. 296. - 512 sid.
↑ Tvillingparadoxen . Hämtad 23 juli 2022. Arkiverad från originalet 16 maj 2021. (obestämd)
↑ Eisenlohr H., Another Note on the Twin Paradox, Amer. J. Phys., 36, 635 (1968) [1]
↑ Ohanian, Hans. Special relativitetsteori: en modern introduktion. - Lakeville, MN: Physics Curriculum and Instruction, 2001. - ISBN 0971313415 .
↑ Harris, Randy. Modern fysik. - San Francisco, CA: Pearson Addison-Wesley, 2008. - ISBN 978-0805303087 .
↑ Kogut, John B. Introduktion till relativitet: För fysiker och astronomer . - Academic Press, 2012. - S. 35. - ISBN 978-0-08-092408-3 . Arkiverad 30 april 2021 på Wayback Machine Utdrag av sida 35 Arkiverad 20 februari 2017 på Wayback Machine
↑ Wheeler, J., Taylor, E. (1992). Spacetime Physics, andra upplagan. W. H. Freeman: New York, s. 38, 170-171.
↑ Einstein, A., Lorentz, HA, Minkowski, H. och Weyl, H. (1923). Arnold Sommerfeld. ed. Relativitetsprincipen. Dover Publikationer: Mineola, NY. sid. 38.
↑ Accelererad rörelse i speciell relativitet, webbplats "Relativistisk värld - föreläsningar om relativitetsteorin, gravitationen och kosmologin"
↑ Landau L. D., Lifshitz E. M. Fältteori. - 8:e upplagan, stereotypt. — M .: Fizmatlit , 2006 . — 534 sid. - ("Teoretisk fysik", volym II). — ISBN 5-9221-0056-4 .
↑ Fok V.A. " Theory of Space, Time and Gravity " M .: State ed.tekh.-theor.lit., (1955)
↑ Möller K. " Relativitetsteori " M.: " Atomizdat ", 1975.
↑ Logunov A. A. , " Föreläsningar om relativitetsteorin och gravitation. Modern analys av problemet ", M.: "Science" (1987)

Ytterligare information

Twin Paradox översikt i Usenet Physics FAQ
Wolfgang Rindler, Wolfgang Rindler. Tidsdilatation // Relativitet: Speciell, Allmän och Kosmologisk (engelska) . - Oxford University Press , 2006. - P. 43. - ISBN 0198567316 .
FLASH-animationer: från John de Pillis. (Scen 1): "View" från jordtvillingens synvinkel. (Scen 2): "View" från den resande tvillingens synvinkel. (Engelsk)
Tvillingparadox / Webbplats Relativistisk värld — föreläsningar om relativitetsteorin, gravitationen och kosmologin

Ordböcker och uppslagsverk	Stor dansk Stor katalanska Stor norsk Stor ryss runt världen Britannica (online)