Parallell överföring

Parallell translation är en isomorfism av lager över ändarna av en bitvis jämn kurva av basen av en slät bunt , definierad av någon given anslutning på . I synnerhet en linjär isomorfism av tangentutrymmen och , definieras längs en kurva av någon affin anslutning ges på . $\eta :E\to B$ $E$ $T_{\gamma (0)}(M)$ $T_{\gamma (1)}(M)$ $\gamma \in M$ $M$

Parallell översättning längs en affin anslutning

Låt en affin anslutning ges på ett jämnt grenrör . En vektor sägs erhållas genom parallell translation från en vektor längs en jämn kurva utan självskärningar om det finns ett jämnt vektorfält i närheten av denna kurva med följande egenskaper: $M$ $X_{1}\in T_{\gamma (1)}(M)$ $X_{0}\in T_{\gamma (0)}(M)$ $\gamma :[0,1]\to M$ $X$

jämlikheter och är uppfyllda ; ${\displaystyle X(\gamma (0))=X_{0))$ ${\displaystyle X(\gamma (1))=X_{1))$
för vilket värde som helst gäller likheten , där symbolen anger den kovarianta derivatan och är hastighetsvektorn . $t\in [0,1]$ $\nabla _{{\dot {\gamma }}(t)}X=0$ $\nabla$ ${\dot {\gamma }}(t)$ $\gamma$

Kommentar. Eftersom i lokala koordinater är jämlikheten sann:

(\nabla _{\dot {\gamma }}X)^{i}={\frac {d}{dt}}X^{i}+\Gamma _{jk}^{i}\cdot X^{j}{\dot {\gamma }}^{k}

och i detta uttryck finns det inga partiella derivator av komponenterna i vektorn , i definitionen av parallell translation är det inte nödvändigt att kräva att vektorfältet definieras i ett helt område av vägen , det räcker att det finns och är slät enbart längs denna väg. $X$ $X$ $\gamma (t)$

En parallell translation längs en bitvis jämn kurva (inklusive kurvor med självskärningar) definieras som en överlagring av parallella translationer längs dess icke-självkorsande jämna delar.

Baserat på konceptet parallell translation av en vektor, definieras begreppen parallell translation av en tensor av godtycklig valens.

Egenskaper för parallell translation av vektorer

Enligt teorin om vanliga differentialekvationer fortsätter lösningen av Cauchy-problemet med en godtycklig linjär ODE i all oändlighet längs vilken jämn kurva som helst, därför, genom att specificera en vektor vid den initiala punkten och indikera en väg för parallell translation, överförs denna vektor unikt till någon punkt på denna väg.
När vektorer översätts längs samma väg bevaras alla linjära relationer mellan dem.
Överföringen av vektorer är reversibel: det räcker att överföra ändvektorerna längs returvägen för att få de ursprungliga vektorerna.
Som en konsekvens av de två föregående egenskaperna visar det sig att operatorn för parallell translation längs en kurva är en linjär isomorfism av utrymmena och . $\gamma$ $T_{\gamma (0)}(M)$ $T_{\gamma (1)}(M)$
Om en affin koppling överensstämmer med en metrisk tensor på en Riemann-manifold ( Levi-Civita-kopplingen ), är translationsoperatorn ortogonal, det vill säga den bevarar punktprodukterna av vektorer, deras längder och vinklarna mellan dem.
En viktig egenskap hos parallell translation är också att translationsresultatet är oberoende av vägparametriseringen (ekvivalenta vägar ger samma resultat). Samtidigt leder parallell translation längs olika kurvor vanligtvis till olika resultat.

Relaterade definitioner

En geodetisk är en jämn bana vars tangentvektor vid varje punkt erhålls genom parallell translation av tangentvektorn från vilken annan punkt som helst.
Holonomigruppen är gruppen av automorfismer av tangentrymden som definieras av parallella översättningar längs stängda bitvis jämna kurvor. Dessutom, för en ansluten grenrör , och är alltid konjugerade. $\Phi _{x}$ $T_{x}M$ $\Phi _{x}$ ${\displaystyle \Phi _{y))$

Historik

Utvecklingen av begreppet parallellöversättning började med den vanliga parallellismen på det euklidiska planet, för vilket Minding 1837 angav möjligheten att generalisera det till fallet med en yta med hjälp av det koncept han introducerade att veckla ut en kurva på en plan . Denna indikation på Minding fungerade som en utgångspunkt för Levi-Civita , som, genom att formalisera den analytiskt parallella transporten av en tangentvektor på en yta, upptäckte dess beroende endast av ytans metrik och, på grundval av denna, generaliserade den omedelbart till fallet med dimensionellt Riemannskt rum (se Levi-Civita-kopplingen ). Ytterligare generaliseringar av detta begrepp är kopplade till utvecklingen av den allmänna teorin om samband. $\mathbb {R} ^{3}$ $\gamma \in S$ $\mathbb {R} ^{2}$ $n$

Litteratur

Rashevsky PK Riemann geometri och tensoranalys. - Vilken upplaga som helst.
Kobayashi Sh., Nomizu K. Fundamentals of differential geometri. — Novokuznetsk Institutet för fysik och matematik. - T. 1. - 344 sid. - ISBN 5-80323-180-0 .