Adiabatisk exponent

Den adiabatiska exponenten (ibland kallad Poissons förhållande ) är förhållandet mellan värmekapaciteten vid konstant tryck ( ) och värmekapaciteten vid konstant volym ( ). Det kallas ibland också för den isentropiska expansionsfaktorn . Betecknas med den grekiska bokstaven ( gamma ) eller ( kappa ). Bokstavssymbolen används främst inom kemitekniska discipliner. Inom värmeteknik används den latinska bokstaven [1] . $C_P$ $CV$ $\gamma$ $\kappa$ $k$

Ekvationen:

\gamma ={\frac {C_{P}}{C_{V}}}={\frac {c_{P}}{c_{V}}},

var

C

är gasens värmekapacitet ,

c

— specifik värmekapacitet (förhållandet mellan värmekapacitet och massaenhet) för gas, indexen och betecknar tillståndet för konstant tryck respektive volym.

_P

_V

För den adiabatiska exponenten är Resch-satsen (1854) [2] [3] giltig :

\gamma ={\frac {\chi _{t}}{\chi _{s}}}},

var och är de isotermiska och adiabatiska (isoentropiska) koefficienterna för enhetlig kompression . $\chi _{t}$ ${\displaystyle \chi _{s))$

För att förstå detta förhållande, överväg följande experiment. En sluten cylinder med fast kolv innehåller luft. Trycket inuti är lika med trycket utanför. Denna cylinder värms till en viss erforderlig temperatur. Så länge kolven är fixerad i ett stationärt tillstånd förblir luftvolymen i cylindern oförändrad samtidigt som temperaturen och trycket ökar. När önskad temperatur uppnås stoppas uppvärmningen. I detta ögonblick "släpps" kolven och på grund av detta börjar den röra sig under lufttrycket i cylindern utan värmeväxling med omgivningen (luften expanderar adiabatiskt ). Genom att utföra arbete kyls luften inuti cylindern under den tidigare uppnådda temperaturen. För att återställa luften till det tillstånd när dess temperatur åter når det erforderliga värdet som nämnts ovan (med kolven fortfarande "frigjord"), måste luften värmas upp. För denna uppvärmning utifrån är det nödvändigt att tillföra cirka 40% (för en diatomisk gas - luft) mer värme än vad som tillfördes under föregående uppvärmning (med en fast kolv). I det här exemplet är mängden värme som tillförs cylindern med kolven fixerad proportionell mot , medan den totala mängden tillförd värme är proportionell mot . Således är den adiabatiska exponenten i detta exempel 1,4 . $CV$ $C_P$

Ett annat sätt att förstå skillnaden mellan och är att det gäller när arbete utförs på ett system som tvingas ändra sin volym (det vill säga genom att flytta en kolv som komprimerar innehållet i en cylinder), eller om arbetet utförs av en system med en förändring i dess temperatur (det vill säga genom att värma gasen i cylindern, vilket tvingar kolven att röra sig). gäller endast om - och detta uttryck anger det arbete som gasen utför - är lika med noll. Tänk på skillnaden mellan värmetillförsel med en fast kolv och värmetillförsel med en frigjord kolv. I det andra fallet förblir gastrycket i cylindern konstant, och gasen kommer både att expandera, göra arbete på atmosfären och öka sin inre energi (med ökande temperatur); värmen som tillförs utifrån går endast delvis till att förändra gasens inre energi, medan resten av värmen går till att utföra arbete av gasen. $C_P$ $CV$ $C_P$ $CV$ $P dV$

Relationer för en idealisk gas

För en idealisk gas beror värmekapaciteten inte på temperaturen. Följaktligen kan entalpin uttryckas som den inre energin kan representeras som . Således kan vi också säga att den adiabatiska exponenten är förhållandet mellan entalpi och intern energi: $H=C_{P}T$ $U = C_V T$

\gamma ={\frac {H}{U}}.

Å andra sidan kan värmekapaciteten också uttryckas i termer av den adiabatiska exponenten ( ) och den universella gaskonstanten ( ): $\gamma$ $R$

C_{P}=\nu {\frac {\gamma R}{\gamma -1))\qquad

och

\qquad C_{V}=\nu {\frac {R}{\gamma -1)).

Det kan vara ganska svårt att hitta information om tabellvärden , medan tabellvärden ges oftare. I det här fallet kan du använda följande formel för att bestämma : $CV$ $C_P$ $CV$

C_{V}=C_{P}-\nu R,

var är mängden ämne i mol. För molär värmekapacitet, respektive, $\nu$

C_{P}={\frac {\gamma R}{\gamma -1)),\qquad C_{V}={\frac {R}{\gamma -1))=C_{P}- R.

Relationer som använder antalet frihetsgrader

Den adiabatiska exponenten ( ) för en idealgas kan uttryckas i termer av antalet frihetsgrader ( ) för gasmolekyler: $\gamma$ $i$

\gamma = \frac{i+2}{i}\qquad

eller

\qquad i = \frac{2}{\gamma - 1}.

Således, för en monoatomisk idealgas (tre frihetsgrader), är den adiabatiska exponenten:

\gamma ={\frac {5}{3}}\approx 1{,}67,

medan för en diatomisk idealgas (fem frihetsgrader) (vid rumstemperatur):

\gamma ={\frac {7}{5}}=1{,}4.

För en polyatomisk idealgas (sex frihetsgrader) är den adiabatiska exponenten:

\gamma ={\frac {6+2}{6}}={\frac {4}{3}}\approx 1{,}33.

Luften på jorden är huvudsakligen en blandning av diatomiska gaser (ca 78 % kväve - N 2 , och ca 21 % syre - O 2 ), och under normala förhållanden kan den anses vara idealisk. En diatomisk gas har fem frihetsgrader (tre translationella och två rotationsfrihetsgrader; vibrationsfrihetsgrader är inte involverade förutom vid höga temperaturer). Som en konsekvens, teoretiskt, har det adiabatiska indexet för luft värdet:

\gamma ={\frac {5+2}{5}}={\frac {7}{5}}=1{,}4.

Detta stämmer väl överens med experimentella mätningar av luftens adiabatiska index, som ungefär ger ett värde på 1,403 (givet i tabellen ovan).

Relationer för riktiga gaser

När temperaturen ökar, blir högre energirotations- och vibrationstillstånd uppnåbara för molekylära gaser, och därmed ökar antalet frihetsgrader och den adiabatiska exponenten minskar . $\gamma$

För verkliga gaser, både och öka med ökande temperatur, medan skillnaden mellan dem förblir oförändrad (enligt ovanstående formel = ), och denna skillnad återspeglar konstanten av värdet , det vill säga det arbete som utförs under expansion. Värdet är skillnaden mellan mängden värme som tillförs vid konstant tryck och vid konstant volym. Därför ökar förhållandet mellan de två kvantiteterna, , med ökande temperatur. Se även specifik värme . $C_P$ $CV$ $C_P$ $C_V+R$ $PV$ $P \cdot V$ $\gamma$

Termodynamiska uttryck

Värden som erhålls med hjälp av ungefärliga förhållanden (i synnerhet ) är i många fall inte tillräckligt exakta för praktiska tekniska beräkningar, såsom flödesberäkningar genom rörledningar och ventiler. Det är att föredra att använda experimentella värden än de som erhålls med ungefärliga formler. Strikta kvotvärden kan beräknas genom att bestämma från egenskaper uttryckta som: $C_p - C_v = R$ $\frac{C_p}{C_v}$ $CV$

C_{p}-C_{v}\ =\ -T{\frac {\left({\frac {\partial V}{\partial T))\right)_{P}^{2)) {\left({\frac {\partial V}{\partial P))\right)_{T))}\ =\ -T{\frac {{\left({\frac {\partial P}{\ partiell T}}\right)}^{2}}{\frac {\partial P}{\partial V}}}.

Värdena är lätta att mäta, medan värdena för måste bestämmas utifrån formler som denna. Se här mer information om sambanden mellan $C_p$ $CV$

Ovanstående relationer återspeglar ett tillvägagångssätt baserat på utvecklingen av rigorösa tillståndsekvationer (som Peng-Robinsons ekvation ), som överensstämmer så bra med experimentet att endast en mindre utveckling av en databas med relationer eller värden krävs för att tillämpa dem . Värden kan också bestämmas med den finita differensmetoden . $CV$

Adiabatisk process

För en isentropisk, kvasi-statisk , reversibel adiabatisk process som sker i en enkel komprimerbar idealgas :

PV^{\gamma }={\text{konstant)),

var är trycket och är gasens volym. $P$ $V$

Experimentell bestämning av den adiabatiska exponenten

Eftersom de processer som sker i små volymer gas under passagen av en ljudvåg är nära adiabatisk [6] , kan den adiabatiska exponenten bestämmas genom att mäta ljudets hastighet i gasen. I detta fall kommer den adiabatiska exponenten och ljudhastigheten i gasen att relateras till följande uttryck:

c={\sqrt {\frac {\gamma kT}{m))}={\sqrt {\frac {\gamma RT}{M))},

var är den adiabatiska exponenten; - Boltzmanns konstant ; är den universella gaskonstanten ; är den absoluta temperaturen i kelvin ; — molekylvikt ; - molmassa . $\gamma$ $k$ $R$ $T$ $m$ $M$

Ett annat sätt att experimentellt bestämma värdet av den adiabatiska exponenten är Clement-Desorme-metoden , som ofta används i utbildningssyfte när man utför laboratoriearbete. Metoden bygger på att studera parametrarna för en viss gasmassa som passerar från ett tillstånd till ett annat genom två successiva processer: adiabatisk och isokorisk. [7]

Laboratorieuppsättningen inkluderar en glasbehållare ansluten till en manometer , en kran och en gummilampa. Päronet tjänar till att tvinga in luft i ballongen. En speciell klämma förhindrar luftläckage från cylindern. Manometern mäter skillnaden i tryck inuti och utanför cylindern. Ventilen kan släppa ut luft från cylindern till atmosfären.

Låt ballongen till en början vara i atmosfärstryck och rumstemperatur. Processen att utföra arbete kan villkorligt delas upp i två steg, som var och en inkluderar en adiabatisk och isokorisk process.

Steg 1:
Med kranen stängd, pumpa in en liten mängd luft i cylindern och klämma fast slangen med en klämma. Detta kommer att öka trycket och temperaturen i tanken. Detta är en adiabatisk process . Med tiden kommer trycket i cylindern att börja minska på grund av att gasen i cylindern börjar svalna på grund av värmeöverföring genom cylinderns väggar. I detta fall kommer trycket att minska vid en konstant volym. Detta är en isokorisk process. Efter att ha väntat på att lufttemperaturen inuti cylindern ska utjämnas med omgivningstemperaturen, registrerar vi tryckmätaravläsningarna . $h_1$

Steg 2:
Nu öppnar vi tryck 3 i 1-2 sekunder. Luften i ballongen kommer att expandera adiabatiskt till atmosfärstryck. Detta kommer att sänka temperaturen i ballongen. Sedan stänger vi kranen. Med tiden kommer trycket i cylindern att börja öka på grund av att gasen i cylindern börjar värmas upp på grund av värmeöverföring genom cylinderns väggar. I detta fall kommer trycket att öka igen vid en konstant volym. Detta är en isokorisk process. Efter att ha väntat på att lufttemperaturen inuti cylindern ska jämföras med omgivningstemperaturen, registrerar vi tryckmätaravläsningen . För varje gren av de 2 stegen kan man skriva motsvarande adiabatiska och isokorekvationer. Du får ett ekvationssystem som inkluderar den adiabatiska exponenten. Deras ungefärliga lösning leder till följande beräkningsformel för det önskade värdet: $h_2$

\gamma ={h_{1} \över {h_{1}-h_{2}}}.

Nackdelen med denna metod är att processerna för snabb gasexpansion under laboratoriearbetet inte är rent adiabatiska på grund av värmeöverföring genom kärlväggen, och den aktuella gasen är verkligen inte idealisk. Och även om värdet som erhålls under laboratoriearbetet säkert kommer att innehålla ett metodfel, finns det fortfarande olika sätt att eliminera det, till exempel genom att ta hänsyn till expansionstiden och mängden värme som tillförs under denna tid. [åtta]

Se även

Anteckningar

↑ Fox, R., A. McDonald, P. Pritchard: Introduktion till vätskemekanik 6:e upplagan. Wiley
↑ Tolpygo K. B., Thermodynamics and statistical physics, 1966 , sid. 83.
↑ Partington J. R., Rakovsky A. V., Course of Chemical Thermodynamics, 1932 , sid. 41.
↑ White, Frank M.: Fluid Mechanics 4th ed. McGraw Hill
↑ Lange's Handbook of Chemistry, 10:e upplagan. sida 1524
↑ Saveliev, 2001 , sid. 30-32.
↑ physdep.isu.ru
↑ physchem.msu.ru (otillgänglig länk)

Litteratur

Partington J. R., Rakovsky A. V. Kurs i kemisk termodynamik / Per. från engelska. Ya. V. Gerasimova, fördjupning och tillägg av prof. A.V. Rakovsky. — 2:a uppl., stereotypt. - M. - L .: Goshimtekhizdat , 1932. - 383 sid.
Tolpygo KB Termodynamik och statistisk fysik . - Kiev: Publishing House of Kiev University, 1966. - 364 sid. (inte tillgänglig länk)
Savelyev IV Kurs i allmän fysik: Molekylär fysik och termodynamik. - M . : Astrel, 2001. - T. 3. - 208 sid. - 7000 exemplar. — ISBN 5-17-004585-9 .