Härledd funktor

Du kan ta härledda funktorer från vissa funktorer för att få andra funktorer som är nära besläktade med de ursprungliga. Denna operation är ganska abstrakt, men kombinerar ett stort antal konstruktioner inom matematik .

Motivation

Det har noterats att i många situationer tillåter en kort exakt sekvens att konstruera en lång exakt sekvens. Konceptet med en härledd funktion förklarar dessa observationer.

Låt en kovariant vänsterexakt funktion F  : A → B ges mellan Abelska kategorierna A och B. Om 0 → A → B → C → 0 är en kort exakt sekvens i A , så ger användning av F den exakta sekvensen 0 → F ( A ) → F ( B ) → F ( C ). Frågan uppstår: är det möjligt att fortsätta denna exakta sekvens åt höger för att få en lång exakt sekvens? Strängt taget är denna fråga felaktig, eftersom det alltid finns många olika sätt att fortsätta en given exakt sekvens åt höger. Men det visar sig (om A är "bra" nog) att det finns ett kanoniskt sätt att göra detta på genom att använda de rätt härledda funktorerna för funktorn F . För varje i ≥1 finns en funktion R i F : A → B och sekvensen ovan fortsätter enligt följande: 0 → F ( A ) → F ( B ) → F ( C ) → R 1 F ( A ) → R 1 F ( B ) → R1F ( C ) → R2F ( A ) → R2F ( B ) → … .

Konstruktion och första fastigheter

Det viktigaste antagandet vi måste göra om en abelsk kategori A  är att den har tillräckligt med injektiva objekt , i den meningen att det för vilket objekt A som helst från A finns en monomorfism A → I , där I  är ett injektivt objekt A.

De högerhärledda funktorerna för en kovariant vänster exakt funktion F  : A → B definieras enligt följande. Låt oss börja med ett objekt X i kategori A . Eftersom det finns en hel del injektiva objekt kan vi konstruera en lång exakt sekvens av formen

där I i är injektiv (den så kallade injektiva upplösningen av X ). Om vi ​​tillämpar funktorn F på denna sekvens och kasserar den första termen får vi kedjekomplexet

Observera att det i allmänhet inte är en exakt sekvens. Men vi kan beräkna dess homologi i den i: e termen (mappningens kärna från F ( I i ) modulo bilden av avbildningen i F ( I i )); vi kallar resultatet R i F ( X ). Naturligtvis måste flera saker kontrolleras: att resultatet inte beror på valet av den injektionsupplösning av X , och att eventuell morfism X → Y naturligt genererar en morfism R i F ( X ) → R i F ( Y ) , så vi får en funktionär. Observera att det följer av exaktheten till vänster att 0 → F ( X ) → F ( I 0 ) → F ( I 1 ) är exakt, så R 0 F ( X ) = F ( X ) och vi får bara något intressant för i >0.

(Tekniskt, för att definiera derivatorna av F , måste man fixa en injektiv upplösning för varje objekt A . Olika val av upplösningsmedlet ger naturligt isomorfa funktorer, så valet spelar ingen roll i slutändan.)

Egenskapen att förvandla korta exakta sekvenser till långa sekvenser som nämnts ovan följer av ormlmma . Således bildar uppsättningen av härledda funktorer en δ-funktion .

Om objektet X i sig är injektivt kan vi välja den injektiva upplösningen 0 → X → X → 0 och få R i F ( X ) = 0 för alla i ≥ 1. I praktiken är detta faktum, tillsammans med förekomsten av en lång exakt sekvens, används ofta för att beräkna värdena för rätt derivator av funktionorer.

Variationer

Om vi ​​börjar med en kovariant höger exakt funktor G , och det finns tillräckligt många projektiva objekt i kategori A (det vill säga för alla objekt A i kategori A finns det en epimorfism P → A , där P  är ett projektivt objekt ), då vi kan på liknande sätt definiera vänsterhärledda funktorer L i G . För ett objekt X av kategori A konstruerar vi en projektiv upplösning

där P i är projektiv. Vi tillämpar G på denna sekvens, släpper den sista termen och beräknar homologin för att få L i G ( X ). Som tidigare är LoG ( X ) = G ( X ) .

I det här fallet kommer den långa exakta sekvensen att "växa" till vänster, inte till höger:

ger

.

Vänsterhärledda funktioner försvinner på projektiva objekt.

Vi kan också börja med den kontravarianta vänstra exakta funktorn F ; de resulterande rätthärledda funktionerna kommer då också att vara kontravarianta. Kort exakt sekvens

förvandlas till en lång exakt sekvens

Dessa högerhärledda funktorer försvinner på projektiva objekt och beräknas därför med hjälp av projektiva upplösningar.

Applikationer

Kohomologi av kärvar . Om X  är ett topologiskt utrymme så är kategorin för alla buntar av Abeliska grupper på X  en Abelisk kategori där det finns tillräckligt många injektiva objekt. Funktionen som associerar kärven L med den globala sektionsgruppen L ( X ) är vänsterexakt, och dess högerhärledda funktorer är kärvens kohomologifunktioner, vanligtvis betecknade som H i ( X , L ). Lite mer allmänt: om ( X , O X ) är ett ringmärkt utrymme , så är kategorin för alla skivor av O X -moduler en abeliaansk kategori i vilken det finns tillräckligt med injektiva objekt, och vi kan återigen konstruera kohomologi av skivor som rätt härledda funktorer av den globala sektionsfunktorn.  

Funktionsext . Om R  är en ring , är kategorin för alla vänster R -moduler Abelian och det finns tillräckligt med injektiva objekt i den. Om A  är en fast vänster R -modul, så lämnas funktorn Hom( A ,-) exakt och dess högerhärledda funktorer är funktorerna Ext R i ( A ,-).

Functor Tor . Det finns en hel del projektiva objekt i kategorin vänsterR-moduler. OmA är en fixerad högerR-modul, så ärtensorproduktenmedAen höger exakt kovariansfunktion i kategorin vänsterR-moduler; dess vänsterhärledda funktorer är Tor R i (A,-)-funktionerna.

Gruppkohomologi . LåtG vara engrupp. G -modulen M är en Abelisk gruppMtillsammans med verkan av gruppenGpåMautomorfismer. Detta är samma som modulen övergruppringen ZG. G-moduler bildar en Abelisk kategori, i vilken det finns en hel del injektiva objekt. Vi betecknarM G undergruppen avMsom består av element avMfixerade under inverkan avG. Detta är en vänsterexakt funktor, dess högerhärledda funktorer är gruppkohomologifunktioner, vanligtvis betecknade som H i (G,M).  

Litteratur