Hadamard utrymme

Hadamard-rymden (eller komplett CAT(0)-rymd med intrinsic metric ) är en icke-linjär generalisering av Hilbert-rymden , ett specialfall av Aleksandrov-rymden med krökning avgränsad från ovan.

Utrymmena är uppkallade efter Jacques Hadamard .

Definition

Hadamard-utrymmet är ett icke-tomt fullständigt metriskt utrymme , där det för två punkter x och y finns en punkt m så att olikheten

d(z,m)^{2}+{d(x,y)^{2} \over 4}\leq {d(z,x)^{2}+d(z,y)^ {2}\över 2}.

gäller för vilken punkt som helst z .

Anteckningar

Observera att punkten ligger exakt i mitten av och , det vill säga, $m$ $x$ $y$ $d(x,m)=d(y,m)=d(x,y)/2$ .

Detta kan ses genom att anta i ojämlikheten ovan.

z=m

I Hilbert-rummet förvandlas ojämlikheten ovan till jämlikhet (med ). $m=(x+y)/2$
Hadamard-mellanslag kan definieras som kompletta CAT(0) -mellanslag.

Egenskaper

Reshetnyaks limteorem säger särskilt att det utrymme som erhålls genom att limma två Hadamard-utrymmen över isometriska konvexa uppsättningar också är ett Hadamard-utrymme.
Ett normerat utrymme är ett Hadamard-utrymme om och endast om det är ett Hilbert-utrymme.
I Hadamard-rymden kan två punkter förbindas med en enda geodetisk .
- I synnerhet är Hadamard-utrymmen sammandragbara .
Varje avgränsad delmängd av Hadamard-utrymmet finns i en unik sluten boll med en minsta radie. Mitten av denna boll kallas mitten av uppsättningen.
- I synnerhet om det är en grupp av rörelser i Hadamard-rymden som lämnar en avgränsad mängd invariant, så fixar den också dess centrum. $\Gamma$ $\Gamma$
En lokalt konvex sluten uppsättning i Hadamard-rymden är globalt konvex.
Enligt Cartan-Hadamard-satsen är ett utrymme ett Hadamard-rum om det helt enkelt är sammankopplat och CAT(0)-ojämlikheten gäller lokalt, det vill säga vilken punkt som helst tillåter ett slutet område som är ett Hadamard-utrymme. $X$

Exempel

Hilbert utrymme
Lobachevsky utrymme
Träd med full inre metrik
Kompletta enkelt anslutna Riemann-grenrör med icke-positiv tvärsnittskrökning

Variationer och generaliseringar

CAT(κ) utrymme

Litteratur

D. Yu. Burago, Yu. D. Burago, S. V. Ivanov. Metrisk geometrikurs. - Moskva-Izhevsk: Institutet för datorforskning, 2004. - 512 s. — ISBN 5-93972-300-4 .