Poissonprocess

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 21 november 2021; kontroller kräver 3 redigeringar .

Poissonprocess , Poissonflöde , Poissonprocess [1] är ett vanligt flöde av homogena händelser , för vilka antalet händelser i intervallet A inte beror på antalet händelser i några intervall som inte skär A , och lyder Poissonfördelning . I teorin om slumpmässiga processer beskriver den antalet slumpmässiga händelser som har inträffat, som inträffar med konstant intensitet.

Poissonflödets probabilistiska egenskaper kännetecknas helt av funktionen Λ(A) lika med inkrementet i intervallet A för någon avtagande funktion. Oftast har Poisson-flödet ett momentant värde av parametern λ(t) , som är en funktion vid kontinuitetspunkterna där sannolikheten för en flödeshändelse i intervallet [t,t+dt] är lika med λ( t)dt . Om A är ett segment [a,b] , då

\Lambda (A)=\int \limits _{a}^{b}\lambda (t)\,dt

Poissonflödet för vilket λ(t) är lika med konstanten λ kallas det enklaste flödet med parametern λ . [2]

Poissonflöden definieras för flerdimensionella och i allmänhet alla abstrakta utrymmen där måttet Λ(A) kan introduceras . Ett stationärt Poisson-flöde i ett flerdimensionellt utrymme kännetecknas av en rumslig densitet λ . I detta fall är Λ(A) lika med volymen av regionen A multiplicerat med λ .

Klassificering

Det finns två typer av Poisson-processer: enkla (eller helt enkelt: Poisson-processer) och komplexa (generaliserade).

En enkel Poisson-process

Låt . En slumpmässig process kallas en homogen Poisson-process med intensitet if $\lambda>0$ $\{X_{t}\}_{t\geq 0}$ $\lambda$

$X_{0}=0$ nästan säkert .
$\{X_{t}\}$ är en process med oberoende steg .
$X_{t}-X_{s}\sim \ \mathrm {P} (\lambda (ts))$ för alla , där anger Poisson-fördelningen med parametern . $0\leq s<t<\infty$ $\mathrm {P} (\lambda(ts))$ $\lambda (ts)$

Komplex (generaliserad) Poisson-process

Låta vara en sekvens av ömsesidigt oberoende identiskt fördelade slumpvariabler . $\xi _{1},...,\xi _{n}$
Låt vara en enkel Poisson-process med intensitet , oberoende av sekvensen . $N(t)$ $\lambda$ $\xi _{1},...,\xi _{n}$

Beteckna med summan av de första k elementen i den införda sekvensen. $S_{k}$

Sedan definierar vi den komplexa Poisson-processen som . $\{Y_{t}\}$ $S_{N(t)}$

Egenskaper

Tiderna mellan hopptider är oberoende och har en exponentiell fördelning ${\text{Exp}}(\lambda )$ .
Poisson-processen accepterar endast icke-negativa heltalsvärden , och dessutom

\mathbb {P} (X_{t}=k)={\frac {\lambda ^{k}t^{k}}{k!}}e^{-\lambda t},\quad k=0, 1,2,\ldots

det vill säga ögonblicket för det th hoppet har en gammafördelning . $k$ ${\text{Γ}}(\lambda ,k)$

Banorna för Poisson-processen är styckvis konstanta, högerkontinuerliga, icke-minskande funktioner med hopp lika med ett nästan säkert. Mer exakt

\mathbb {P} (X_{t+h}-X_{t}=0)=1-\lambda h+o(h)

\mathbb {P} (X_{t+h}-X_{t}=1)=\lambda h+o(h)

\mathbb {P} (X_{t+h}-X_{t}>1)=o(h)

vid ,

h\till 0

där betyder " om små ". $åh)$

Kriterier

För att någon slumpmässig process med kontinuerlig tid ska vara Poisson (enkel, homogen) eller identiskt noll, är det tillräckligt att följande villkor är uppfyllda: $\{X_{t}\}$

$X_{0}=0$ .
Processen har oberoende steg.
Processen är enhetlig.
Processen accepterar icke-negativa heltalsvärden.
$P\{X_{h}\geq 2\}=o(h)$ kl . $h\searrow 0$

Informationsegenskaper [3]

Låt vara hopptiderna för Poisson-processen. . $\tau _{1},\dots ,\tau _{n}$ $T=\tau _{j}-\tau _{j-1}$

Beror det på den tidigare delen av banan? - ? $T$
$\mathbb {P} (\{T>t+s\midt T>s\})$

Låt . $u(t)=\mathbb {P} (T>t)$

$u(t\mid s)={\frac {\mathbb {P} (T>t+s\cap T>s)}{\mathbb {P} (T>s)))={\frac {\mathbb {P} (T>t+s)}{\mathbb {P} (T>s)))$
$u(t\mid s)u(s)=u(t+s)$
$u(t\mid s)=s(t)\Leftrightarrow u(t)=e^{-\alpha t}$ .
Fördelningen av längder av tidsintervall mellan hopp har egenskapen brist på minne ⇔ den är exponentiell .

Betrakta ett segment på tidsaxeln. $[a,b]$

$X(b)-X(a)=n$ är antalet hopp på segmentet . Den villkorliga fördelningen av hoppmomenten sammanfaller med fördelningen av variationsserien konstruerad från ett urval av längd från . $[a,b]$
$\tau _{1},\dots ,\tau _{n}\mid X(b)-X(a)=n$ $n$ $R[a,b]$

Tätheten av denna fördelning $f_{\tau _{1},\dots ,\tau _{n}}(t)={\frac {n!}{(ba)^{n}}}\mathbb {I} (a \leqslant t_{1}\leqslant \cdots \leqslant t_{n}\leqslant b)$

Central limit theorem

Sats.

$\mathbb {P} {\biggl (}{\frac {X(t)-\lambda t}{\sqrt {\lambda t))}<x{\biggr )}{\underset {\lambda t\to \ infty }{\overset {x}{\rightarrows }}}\Phi (x)\sim N(0,1)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\ infty }^{x}e^{-{\frac {u^{2}}{2}}}du$

Konvergenshastighet : , där är Berry-Esseen-konstanten .
$\sup \limits _{x}{\biggl |}\mathbb {P} {\biggl (}{\frac {X(t)-\lambda t}{\sqrt {\lambda t))}<x{\ biggr )}-\Phi (x){\biggr |}\leqslant {\frac {C_{0)){\sqrt {\lambda t))}$
$C_{0}$

Applikation

Poisson-flödet används för att simulera olika verkliga flöden: olyckor, flödet av laddade partiklar från rymden, utrustningsfel och annat. Den kan också användas för att analysera finansiella mekanismer, såsom betalningsflöden och andra verkliga flöden. Att bygga modeller av olika servicesystem och analysera deras lämplighet.

Användningen av Poisson-strömmar förenklar avsevärt lösningen av problem med kösystem relaterade till beräkningen av deras effektivitet. Men det orimliga ersättandet av det verkliga flödet med Poisson-flödet, där detta är oacceptabelt, leder till grova felräkningar.

Litteratur

Gardiner KV Stokastiska metoder i naturvetenskap. — M .: Mir, 1986. — 528 sid.
van Kampen NG Stokastiska processer i fysik och kemi. - M . : Högre skola, 1990. - 376 sid.
Kingman J. Poisson bearbetar. - M. : MTSNMO, 2007. - 136 sid.

Anteckningar

↑ " Matematisk uppslagsverk " / Chefredaktör I. M. Vinogradov. - M . : "Sovjetisk uppslagsverk", 1979. - T. 4. - 1104 sid. - 148 800 exemplar.
↑ Dictionary of Cybernetics/Redigerad av akademikern V. S. Mikhalevich . - 2:a. - Kiev: Huvudupplagan av den ukrainska sovjetiska encyklopedin uppkallad efter M.P. Bazhan, 1989. - S. 534. - 751 s. - (C48). — 50 000 exemplar. - ISBN 5-88500-008-5 .
↑ Shestakov Oleg Vladimirovich. Föreläsningsanteckningar i ämnet "Probabilistiska modeller", Föreläsning 7 . (ryska)