Stratifierad produkt

En fiberprodukt ( lagerprodukt , koamalgam , kartesisk kvadrat , engelsk pullback ) är ett kategoriteoretiskt begrepp som definieras som gränsen för ett diagram som består av två morfismer : En fiberprodukt betecknas ofta som $X\to Z\leftarrow Y.$ $X\times _{Z}Y.$

Det dubbla konceptet är codecartes square .

Generisk egenskap

Låt en kategori ges ett par morfismer och en fiberprodukt och över vara ett objekt tillsammans med morfismer för vilka följande diagram är kommutativt: $C$ $f:X\to Z$ $g:Y\to Z.$ $X$ $Y$ $Z$ $P=X\ gånger _{Z}Y$ $p_{1},p_{2},$

Dessutom måste fiberprodukten vara ett universellt objekt med följande egenskap: för alla objekt med ett par morfismer som kompletterar paret till en kommutativ kvadrat, finns det en unik morfism så att diagrammet nedan är kommutativt: $Q,$ $q_{1}:Q\to X,\,q_{2}:Q\to Y,$ $(f,g)$ $u\colon Q\to P,$

Den inre kvadraten av detta diagram som bildas av morfismer kallas den kartesiska (eller kouniversala) kvadraten för ett par morfismer och ${\displaystyle f,g,p_{1},p_{2))$ $f$ $g.$

Liksom andra objekt som definieras av den universella egenskapen , existerar inte fiberprodukten nödvändigtvis, men om den gör det definieras den upp till isomorfism.

Exempel

I kategorin uppsättningar är den fibrerade produkten av uppsättningar och med mappningar och uppsättningen $X$ $Y$ $f:X\to Z$ $g:Y\to Z$

{\displaystyle X\times _{Z}Y=\{(x,y)\in X\times Y|f(x)=g(y)\))

tillsammans med naturliga projektioner till komponenterna.

Fiberprodukten i kategorin kommutativa ringar definieras på liknande sätt .

Dessutom kan fiberprodukten beskrivas på två asymmetriska sätt: ${\mathbf {Set}}$

X\times _{Z}Y

\cong \coprod _{x\in X}g^{-1}[\{f(x)\}]

\cong \coprod _{y\in Y}f^{-1}[\{g(y)\}],

var är en osammanhängande förening av uppsättningar. $\coprod$

Se även

Inducerad bunt

Litteratur

Goldblatt R. Topoi. Kategorisk analys av logik = Topoi. Den kategoriska analysen av logik / Per. från engelska. V. N. Grishin och V. V. Shokurov, red. D. A. Bochvara. — M .: Mir , 1983. — 488 sid.
Gorodentsev A. L. Algebra för studenter i matematik. Del II . - M. , 2015. - S. 160.
McLane S. Kapitel 3. Universella konstruktioner och gränser // Kategorier för den arbetande matematikern = Kategorier för den arbetande matematikern / Per. från engelska. ed. V. A. Artamonova. - M . : Fizmatlit, 2004. - S. 68-94. — 352 sid. — ISBN 5-9221-0400-4 .

Face K. Algebra - ringar, moduler och kategorier, volym 1. - M . : Mir - volym 190 av Springer-Verlag-serien - Grundlehren der mathematischen wissenschaften - 1977 [1973].
Jiří Adámek, Horst Herrlich, George E. Strecker. Abstrakta och konkreta kategorier. Katternas glädje . - Willey & Sons , 1990. - P. 524. - ISBN 0-471-60922-6 .