Dirichlet rad

Nära Dirichlet kallas en rad av formen

\sum _{{n=1}}^{{\infty }}{\frac {a_{n}}{n^{s}}},

där s och a n är komplexa tal , n = 1, 2, 3, … .

Abskissan för konvergensen av en Dirichlet-serie är ett tal sådant att när den konvergerar; abskissan för absolut konvergens är ett sådant tal som för serien konvergerar absolut . För alla Dirichlet-serier gäller relationen (om och är ändliga). $\sigma _{c}$ $\operatörsnamn {Re}s>\sigma _{c}$ $\sigma _{a}$ $\operatorname {Re} s>\sigma _{a}$ $0\leqslant \sigma _{a}-\sigma _{c}\leqslant 1$ $\sigma _{c}$ $\sigma _{a}$

Denna serie spelar en betydande roll i talteorin . De vanligaste exemplen på en Dirichlet-serie är Riemann zeta-funktionen och Dirichlet L-funktionen . Raden är uppkallad efter Gustav Dirichlet .

Konvergens vid olika punkter

Om någon serie konvergerar vid en komplex punkt , då konvergerar samma serie vid vilken punkt som helst . Det följer av detta att det finns någon punkt så att för , serien konvergerar och för , den divergerar. En sådan punkt kallas konvergensens abskiss. $s_{0}=\sigma _{0}+t_{0}i$ $s=\sigma +ti$ $\sigma >\sigma _{0}$ $\sigma=\sigma _{c}$ $\operatörsnamn {Re}s>\sigma _{c}$ $\operatörsnamn {Re}s<\sigma _{c}$

Abskissan för absolut konvergens för en serie är en punkt sådan att vid , serien konvergerar absolut. Det är sant att . ${\displaystyle \sum \limits _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{n^{s))))$ $\sigma _{a}$ $\operatorname {Re} s>\sigma _{a}$ $0\leqslant \sigma _{a}-\sigma _{c}\leqslant 1$

Funktionen hos kan vara olika. Edmund Landau visade att en punkt är singular för vissa Dirichlet-serier om dess abskissa av konvergens. $\operatörsnamn {Re}s$ $s=\sigma _{c}$ $\sigma _{c}$

Exempel

\zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s))},

var är Riemanns zeta-funktion . $\zeta (s)$

{\frac {1}{\zeta (s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n^{s}}},

där μ( n ) är Möbius-funktionen .

{\frac {1}{L(\chi ,s)))=\summa _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)\chi (n)}{n ^{s}}},

var är Dirichlet L-funktionen . $L(\chi ,s)$

\operatorname {Li} _{s}(z)=\summa _{n=1}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n^{s}}},

där Li s ( z ) är polylogaritmen .

harmonisk serie

\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k}}=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}} +{\frac {1}{4}}+\cdots +{\frac {1}{k}}+\cdots

avviker.

Sekvenser och rader
Sekvenser	Numerisk sekvens Grundläggande sekvens Linjär återkommande sekvens Fibonacci-siffror lockiga siffror Faktoriell Barker-sekvens de bruijn sekvens
Rader, grundläggande	Radsumma Resten av raden Villkorlig konvergens Omväxlande serie Rad flersektion
Nummerserier ( operationer med nummerserier )	harmonisk serie Leibniz-serien En serie omvända kvadrater En serie ömsesidiga primtal Dirichlet rad Mercator-serien Rad Grandi 1 - 2 + 3 - 4 + ... 1 + 2 + 3 + 4 + ...
funktionella rader	Taylor-serien Laurent-serien Fourier-serier Trigonometrisk Fourier-serie trigonometrisk serie Wiener-serien
Andra radtyper	Neumann-serien Puiseux rad