Fri grupp

En fri grupp i gruppteori är en grupp för vilken det finns en delmängd så att varje element skrivs unikt som produkten av ett ändligt antal element och deras inverser . (Unikhet förstås upp till triviala kombinationer som .) Det sägs vara (fritt) genererat och skriva: eller om det finns en uppsättning element. $G$ $S\delmängd G$ $G$ $S$ $st=su^{{-1}}ut$ $G$ $S$ $F_{S}$ $F_{n},$ $S$ $n$

Ett relaterat men annorlunda koncept: en fri Abelisk grupp (som i allmänhet inte är en fri grupp).

Konstruktiv definition

Det är möjligt att presentera en explicit konstruktion av fria grupper och därigenom bevisa deras existens [1] [2] . Vi kommer att betrakta elementen i uppsättningen som "symboler" och för varje symbol från introducerar vi symbolen ; uppsättningen av de senare kommer att betecknas med . Låta $S$ $s$ $S$ $s^{{-1}}$ $S^{{-1}}$

T=S\cup S^{{-1}}

Låt oss definiera ordet över som en ändlig kedja av (eventuellt upprepade) tecken från , skrivna efter varandra. Tillsammans med sammanlänkning (limning, attribution) blir uppsättningen ord över en halvgrupp . Vi kommer att anta att det i uppsättningen av ord finns ett tomt ord , som inte innehåller symboler. Därmed får vi en monoid av ord över $S$ $T$ $S$ $\varepsilon$ $S.$

Till exempel för . , två ord: $S=\{a,b,c\}$ $T=\{a,a^{{-1}},b,b^{{-1}},c,c^{{-1}}\}$

\alpha =abc^{{-1}}a,~~\beta =b^{{-1}}ba^{{-1}}

och deras sammanlänkning:

\gamma =\alpha \beta =abc^{{-1}}ab^{{-1}}ba^{{-1}}

Till exempel . $\alpha \varepsilon =\alpha =abc^{{-1}}a$

Därefter introduceras ordet reduktionsregel. Om i något ord symbolen (symbolen) från följer (föregår) motsvarande symbol från då kallas borttagningen av detta symbolpar reduktion . Ett ord kallas reducerat om det inte längre kan reduceras. En fullständig reduktion är en sekventiell tillämpning av reduktion på ett givet ord tills det reduceras. Till exempel, från ett ord (se exemplet ovan), efter fullständig reduktion, erhålls ett reducerat ord: Denna definition är korrekt: det är lätt att visa att en annan ordning för att utföra flera reduktioner, så länge de är möjliga, leder till ett enda resultat. $S$ $S^{{-1}},$ $\gamma$ $abc^{{-1}}.$

En fri grupp genererad av en uppsättning (eller en fri grupp över ) är en grupp av reducerade ord över med sammanlänkningsoperationen (följt av en fullständig minskning av resultatet om nödvändigt). $F_{S}$ $S$ $S$ $S$

Egenskaper

Alla fria grupper som genereras av mängder med lika kraft är isomorfa. Kardinaliteten hos den mängd som genererar en given fri grupp kallas dess rang .
En gratisgrupp är isomorf till en gratisprodukt . $F_{n}$ $n$ $\mathbb {Z}$
Nielsen-Schreiers teorem : varje undergrupp i en fri grupp är fri.
Vilken grupp som helst är en faktorgrupp av någon fri grupp med avseende på några av dess undergrupper H . Generatorer kan tas som . Sedan finns det en naturlig epimorfism . Kärnan H i denna epimorfism är uppsättningen av tilldelningsrelationer . $G$ $F_{S}$ $S$ $G$ $f:\;F_{S}\till G$ $G=\langle S,H\rangle$
Kommutanten för en fri grupp av ändlig rang har oändlig rang. Till exempel är kommutatorn för en fri grupp genererad av två element en fri grupp som genereras av alla kommutatorer . $F(a,b)$ $[a^{n},b^{m}],\,m,n\neq 0$

Generisk egenskap

En fri grupp är i någon mening den mest allmänna gruppen som genereras av en mängd . För varje grupp och varje mappning av mängder finns det en unik grupphomomorfism för vilken följande diagram är kommutativt: $F_{S}$ $S.$ $G$ $f\kolon S\till G$ $\varphi \colon F_{S}\till G,$

Således finns det en en-till-en-överensstämmelse mellan uppsättningarna av mappningar och homomorfismer . För en icke-fri grupp skulle relationerna i gruppen införa begränsningar för möjliga bilder av gruppens genererande element. $S\till G$ $F_{S}\till G$

Denna egenskap kan tas som definitionen av en fri grupp [3] , medan den definieras endast upp till isomorfism , som vilket universellt objekt som helst . Denna egenskap kallas universaliteten av fria grupper . Generatorn kallas gruppens bas . Samma fria grupp kan ha olika baser. $S$ $F_{s}$

Ur kategoriteoretisk synvinkel är en fri grupp en funktor från kategorin uppsättningar ${\mathbf {Set}}$ till kategorin grupper ${\mathbf {Grp}}$ , som är den vänstra anslutningen till den glömska funkorn . ${\mathbf {Grp}}\to {\mathbf {Set}}$

Anteckningar

↑ Lyndon R., Shupp P. Kombinatorisk gruppteori . - M . : Mir, 1980. - S. 13 .
↑ Kap. 5, § 14 // Fundamentals of group theory / Kargapolov M.I., Merzlyakov Yu.I. - 3:e uppl. - M. : Nauka, 1982. - 288 sid.
↑ McLane S. Kategorier för den arbetande matematikern = Kategorier för den arbetande matematikern / Per. från engelska. ed. V. A. Artamonova. - M. : Fizmatlit, 2004. - 352 sid. — ISBN 5-9221-0400-4 .

Litteratur

Melnikov O. V., Remeslennikov V. N., Romankov V. A. . Kapitel II. Grupper // Allmän Algebra / Under det allmänna. ed. L. A. Skonyakova . - M . : Nauka , 1990. - T. 1. - S. 66-290. — 592 sid. — (Referens matematiskt bibliotek). — 30 000 exemplar. — ISBN 5-02-014426-6 .