Konjugera variabler

Adjoint variabler är par av variabler som är matematiskt relaterade till varandra genom Fouriertransformen . [1] [2] eller, generellt sett, med hjälp av Pontryagin-dualitet . Dualitetsrelationen leder naturligtvis till en osäkerhetsrelation – kallad Heisenbergs osäkerhetsprincip i fysiken – mellan dem. I matematiska termer är de konjugerade variablerna en del av den symplektiska basen , och osäkerhetsrelationen motsvarar den symplektiska formen . Dessutom är adjointvariabler relaterade med hjälp av Noethers teorem , som säger att om egenskaperna hos ett slutet fysiskt system är invarianta under en förändring i en av de adjointvariablerna, så bevaras den andra adjointvariabeln i det fysiska systemet över tiden.

Exempel

Det finns många typer av kanoniskt konjugerade variabler:

Tid och frekvens : Ju längre en musikalisk not består, desto mer exakt vet vi dess frekvens, men den varar längre och är därför en mer distribuerad händelse. Omvänt är en mycket kort musikton mer lokaliserad i tiden, men dess frekvens kan inte bestämmas särskilt exakt (blir bara ett klick). [3]
Dopplereffekt : ju mer exakt vi känner till avståndet till målet, desto mindre exakt vet vi hastigheten för dess närmande eller avlägsnande, och vice versa. I detta fall är den tvådimensionella funktionen av tid och frekvens känd som radarosäkerhetsfunktionen eller "radarosäkerhetsdiagram".
Ytenergi: γ d A ( γ = Ytspänning ; A = ytarea).
Elastisk förlängning: F d L ( F = elastisk kraft; L förlängningslängd).

Derivatåtgärder

Inom klassisk fysik är derivataktioner konjugerade variabler med ett värde med avseende på vilket differentiering utförs. Inom kvantmekaniken är samma par av variabler kopplade av Heisenbergs osäkerhetsprincip .

En partikels " energi " vid en viss händelse är den negativa derivatan av verkan längs partikelns bana, som slutar vid den händelsen, med avseende på " tiden " för händelsen.
En partikels " momentum " är derivatan av dess verkan med avseende på dess " position ".
En partikels " vinkelmomentum " är derivatan av dess verkan med avseende på dess "vinkelposition".
En partikels "massmoment" ( ) är den negativa derivatan av dess verkan med avseende på dess " hastighet ". $\mathbf {N} =t\mathbf {p} -E\mathbf {r}$
Den " elektriska potentialen " ( , elektrisk spänning ) vid en händelse är den negativa derivatan av verkan av det elektromagnetiska fältet med avseende på tätheten av den (fria) " elektriska laddningen " vid den händelsen. $\varphi$
Den " elektromagnetiska fältvektorpotentialen " ("A"') vid en händelse är derivatan av det elektromagnetiska fältets verkan med avseende på tätheten av den (fria) " elektriska strömmen " vid den händelsen.
Det " elektriska fältet " ("E") vid en händelse är derivatan av verkan av det elektromagnetiska fältet med avseende på " polariseringen " av dielektrikumet vid den händelsen.
Den " magnetiska induktionen " ("B") för en händelse är derivatan av det elektromagnetiska fältets verkan med avseende på " magnetiseringen " av den händelsen.
Den Newtonska " gravitationspotentialen " vid en händelse är det negativa värdet av derivatan av verkan av det Newtonska gravitationsfältet med avseende på " masstätheten " vid den händelsen.

Kvantmekanik

I kvantmekaniken realiseras konjugerade variabler som par av observerbara vars operatorer inte pendlar. I konventionell terminologi kallas de "inkompatibla observerbara". Betrakta, som ett exempel, mätbara storheter som ges av koordinat och momentum . I den kvantmekaniska formalismen, två observerbara och motsvarar operatorer och , som nödvändigtvis uppfyller den kanoniska kommuteringsrelationen : $\left(x\right)$ $\left(p\right)$ $x$ $sid$ ${\widehat {x))$ ${\widehat {p\,))$

[ x ^ , sid ^ ] = x ^ sid ^ − sid ^ x ^ = i ℏ {\displaystyle [{\widehat {x}},{\widehat {p\,}}]={\widehat {x}}{\widehat {p\,}}-{\widehat {p\,}}{ \widehat {x}}=i\hbar } $[{\widehat {x}},{\widehat {p\,}}]={\widehat {x}}{\widehat {p\,}}-{\widehat {p\,}}{ \widehat {x}}=i\hbar$

För varje kommutator som inte är noll av två operatörer finns det en "osäkerhetsprincip", som i vårt nuvarande exempel kan uttryckas som:

Δ x Δ sid ≥ ℏ / 2 {\displaystyle \Delta x\,\Delta p\geq \hbar /2} $\Delta x\,\Delta p\geq \hbar /2$

I denna fuzzy notation , och beteckna "osäkerhet" i den samtidiga specifikationen och . Ett mer exakt och statistiskt fullständigt uttalande, inklusive standardavvikelsen , lyder: $\Delta x$ $\Delta sid$ $x$ $sid$ $\sigma$

σ x σ sid ≥ ℏ / 2 {\displaystyle \sigma _{x}\sigma _{p}\geq \hbar /2} $\sigma _{x}\sigma _{p}\geq \hbar /2$

Mer generellt, för två observerbara och som motsvarar operatorerna och , ges den generaliserade osäkerhetsprincipen av: $A$ $B$ ${\widehat {A}}$ ${\widehat {B}}$

σ A 2 σ B 2 ≥ ( ett 2 i ⟨ [ A ^ , B ^ ] ⟩ ) 2 {\displaystyle {\sigma _{A}}^{2}{\sigma _{B}}^{2}\geq \left({\frac {1}{2i}}\left\langle \left[{ \widehat {A)),{\widehat {B}}\right]\right\rangle \right)^{2}} ${\sigma _{A}}^{2}{\sigma _{B}}^{2}\geq \left({\frac {1}{2i}}\left\langle \left[{ \widehat {A)),{\widehat {B}}\right]\right\rangle \right)^{2}$

I enlighet med den kan man välja två operatorer som tilldelar var och en en matematisk form så att paret uppfyller den. Detta val av operatorer återspeglar en av många ekvivalenta (isomorfa) representationer av en gemensam fundamental algebraisk struktur som beskriver kvantmekaniken (Heisenberg Lie-algebra , motsvarande grupp kallas Heisenberg-gruppen ). ${\mathfrak {h}}_{3}$ $H_3$

Vätskemekanik

I Hamiltonsk vätskemekanik och kvanthydrodynamik är själva " handlingen " (eller "hastighetspotential") den konjugerade variabeln för " densiteten " (eller " sannolikhetstätheten " ).

Se även

Kanoniska koordinater

Anteckningar

↑ Heisenberg - Kvantmekanik, 1925-1927: Osäkerhetsförhållandena . Hämtad 10 maj 2022. Arkiverad från originalet 22 december 2015. (obestämd)
↑ Några kommentarer om tid och energi som konjugerade variabler
↑ "The Chirplet Transform", IEEE Transactions on Signal Processing, 43(11), november 1995, s. 2745–2761 . Hämtad 10 maj 2022. Arkiverad från originalet 1 april 2022. (obestämd)