Adjoint operatör

Adjointoperatorn är en generalisering av konceptet med en hermitisk konjugatmatris för oändliga dimensionella utrymmen.

Linjär algebra

En transformation kallas konjugerat till en linjär transformation om det för några vektorer och likheten gäller . Varje transformation har en enda konjugerad transformation. Dess matris i basen bestäms från transformationsmatrisen av formeln om rummet är euklidiskt , och av formeln i det enhetliga rummet . här betecknar grammatrisen för den valda basen. Om det är ortonormalt har dessa formler formen respektive . $\varphi ^{*}$ $\varphi$ $x$ $y$ $\left(\varphi \left(x\right),y\right)=\left(x,\varphi ^{*}\left(y\right)\right)$ $A^{*}=\Gamma ^{-1}A^{T}\Gamma$ $A^{*}={\overline {\Gamma ^{-1}A^{T}\Gamma }}$ $\Gamma$ $A^{*}=A^{T}$ $A^{*}={\bar {A}}^{T}$

Allmänt linjärt utrymme

Låta vara linjära utrymmen och vara konjugerade linjära utrymmen (utrymmen av linjära funktionaler definierade på ). Sedan definieras en linjär funktional för alla linjära operatorer och linjära funktioner - en överlagring av och : . Mappningen kallas den adjoint linjära operatorn och betecknas med . $E,\,L$ $E^{*},\,L^{*}$ $E,\,L$ $A\colon E\to L$ $g\in L^{*}$ $f\in E^{*}$ $g$ $A$ $f(x)=g(A(x))$ $g\mapsto f$ $A^{*}\colon L^{*}\to E^{*}$

Kort sagt, , var är verkan av den funktionella på vektorn . $(A^{*}g,x)=(g,Ax)$ $(B,x)$ $B$ $x$

Topologiskt linjärt utrymme

Låta vara topologiska linjära utrymmen , och vara konjugerade topologiska linjära utrymmen (utrymmen av kontinuerliga linjära funktionaler definierade på ). För alla kontinuerliga linjära operatorer och alla kontinuerliga linjära funktioner definieras en kontinuerlig linjär funktional - superpositionen och : . Det är lätt att kontrollera att kartläggningen är linjär och kontinuerlig. Det kallas adjoint operator och betecknas också . $E,\,L$ $E^{*},\,L^{*}$ $E,\,L$ $A\colon E\to L$ $g\in L^{*}$ $f\in E^{*}$ $g$ $A$ $f(x)=g(A(x))$ $g\mapsto f$ $A^{*}\colon L^{*}\to E^{*}$

Banach utrymme

Låt vara en kontinuerlig linjär operator som agerar från ett Banach-utrymme till ett Banach-utrymme [1] och låt vara de dubbla utrymmena . Låt oss beteckna . Om är fast, är en linjär kontinuerlig funktionell i . Således är en linjär kontinuerlig funktionell från definierad för , därför definieras en operatör så att . $A\colon X\to Y$ $X$ $Y$ $X^{*},Y^{*}$ $\forall x\in X,f\in Y^{*}[Ax,f]=f(Ax)$ $f$ $[Yxa,f]$ $X,[Ax,f]\i X^{*}$ $\forall f\in Y^{*}$ $X^{*}$ $A^{*}\colon Y^{*}\to X^{*}$ $[Ax,f]=[x,A^{*}f]$

$A^{*}$ kallas adjoint operator . På liknande sätt kan man definiera en adjoint operator till en obegränsad linjär operator, men den kommer inte att definieras på hela utrymmet.

För följande egenskaper är sanna: $A^{*}$

Operatören är linjär. $A^{*}$
Om är en linjär kontinuerlig operator , då också en linjär kontinuerlig operator. $A$ $A^{*}$
Låt vara nolloperatorn och vara enhetsoperatorn . Sedan . $O$ $E$ $O^{*}=O,E^{*}=E$
$(A+B)^{*}=A^{*}+B^{*}$ .
$\forall \alpha \in \mathbb {C} ,(\alpha A)^{*}={\bar {\alpha }}A^{*}$ .
$(AB)^{*}=B^{*}A^{*}$ .
$(A^{-1})^{*}=(A^{*})^{-1}$ .

Hilbert space

I ett Hilbert-utrymme ger Riesz-satsen en identifiering av utrymmet med dess adjoint, därför, för en operator, bestämmer jämlikhet adjoint-operatorn . Här är den skalära produkten i rymden . $H$ $A\kolon H\till H$ $(Ax,y)=(x,A^{*}y)$ $A^{*}\colon H\to H$ $(x,y)$ $H$

Se även

Hermitisk operatör

Anteckningar

↑ Utrymmen antas vara komplexa $X,Y$

Litteratur

Shefer H. Topologiska vektorrum. — M .: Mir, 1971.
Vorovich I.I. , Lebedev L.P. Funktionsanalys och dess tillämpningar inom kontinuummekanik. - M . : Vuzovskaya bok, 2000 . — 320 s.
Trenogin V. A. Funktionsanalys. — M .: Nauka , 1980 . — 495 sid.
Funktionsanalys / redaktör S. G. Kerin . — 2:a, reviderad och kompletterad. — M .: Nauka , 1972 . — 544 sid. — (Referens matematiskt bibliotek).
Halmos P. Finitadimensionella vektorrum = Finitadimensionella vektorrum. — M .: Fizmatgiz , 1963 . — 264 sid.
Shilov G.E. Matematisk analys (funktioner av en variabel), del 3. - M .: Nauka , 1970 . — 352 sid.
Weinberg M. M. Funktionsanalys. - M .: Utbildning, 1979. - 128 sid.