Grothendieck spektralsekvens

Grothendieck - spektralsekvensen är en spektralsekvens som beräknar härledda funktorsammansättningsfunktioner från härledda funktorer F och G. $G\circ F$

Om och är additiv vänsterexakta funktorer mellan abelianska kategorier , så att det tar injektiva objekt till -acykliska (det vill säga de på vilka funktorerna försvinner när ) och om det finns tillräckligt med injektivobjekt i , då för varje objekt i kategorin , vilket har en injektiv upplösning, det finns exakt sekvens: $F:{\mathcal {A}}\to {\mathcal {B}}$ $G:{\mathcal {B}}\to {\mathcal {C}}$ $F$ $G$ $R^{p}G$ $p>0$ ${\mathcal {B}}$ $A$ $\mathcal{A}$

E_{2}^{pq}=({\rm {R}}^{p}G\circ {\rm {R}}^{q}F)(A)\Longrightarrow {\rm {R }}^{p+q}(G\cirkel F)(A).

Många spektralsekvenser i algebraisk geometri är specialfall av Grothendieck-spektralsekvensen, såsom Leray-spektralsekvensen .

Exempel

Leray spektralsekvens

Om och är topologiska utrymmen , låt $X$ $Y$

{\mathcal {A}}=\mathbf {Ab} (X)

och är kategorier av kärvar av Abeliska grupper på X respektive Y , och

{\mathcal {B}}=\mathbf {Ab} (Y)

{\mathcal {C}}=\mathbf {Ab}

är kategorin av Abeliska grupper.

För kontinuerlig visning

f:X\till Y

det finns en (exakt vänster) direktbildsfunktion

f_{*}:\mathbf {Ab} (X)\to \mathbf {Ab} (Y)

Vi har även globala sektionsfunktioner

\Gamma _{X}:\mathbf {Ab} (X)\to \mathbf {Ab}

och

\Gamma _{Y}:\mathbf {Ab} (Y)\to \mathbf {Ab} .

Sedan sedan

\Gamma _{Y}\circ f_{*}=\Gamma _{X}

och funktorer och uppfyller satsens antaganden (eftersom den direkta bildfunktorn har en trogen vänsteradjoint , direkta bilder av injektivskivor är injektiva och i synnerhet acykliska för den globala sektionsfunktorn), tar spektralsekvensen formen: $f_{*}$ $\Gamma _{Y}$ $f^{-1}$

H^{p}(Y,{\rm {R}}^{q}f_{*}{\mathcal {F}})\implicerar H^{p+q}(X,{\mathcal { F))

för en bunt av Abeliska grupper på , och detta är exakt Leray-spektralsekvensen. ${\mathcal {F}}$ $X$

Spektral sekvens av lokala och globala Exts

Det finns en spektralsekvens som förbinder globala Ext och sheaf Ext: låt F , G vara moduler över ett ringmärkt utrymme ; till exempel schema . Sedan $(X,{\mathcal {O}})$

E_{2}^{p,q}=\operatörsnamn {H} ^{p}(X;{\mathcal {E}}xt_{\mathcal {O}}^{q}(F,G) )\Rightarrow \operatörsnamn {Ext} _{\mathcal {O}}^{p+q}(F,G).

[ett]

Detta är ett specialfall av Grothendieck-spektralsekvensen: verkligen,

R^{p}\Gamma (X,-)=\operatörsnamn {H} ^{p}(X,-)

, och .

R^{q}{\mathcal {H}}om_{\mathcal {O}}(F,-)={\mathcal {E}}xt_{\mathcal {O}}^{q}(F ,-)

R^{n}\Gamma (X,{\mathcal {H}}om_{\mathcal {O}}(F,-))=\operatörsnamn {Ext} _{\mathcal {O}}^{ n}(F,-)

Dessutom mappar den injektiva -moduler till slappa skivor, [2] som är -acykliska. Därför är antagandena uppfyllda. ${\mathcal {H}}om_{\mathcal {O}}(F,-)$ $\mathcal{O}$ $\Gamma (X,-)$

Anteckningar

↑ Godeman, 1961 , kapitel II, sats 7.3.3.
↑ Godeman, 1961 , Kapitel II, Lemma 7.3.2.

Litteratur

R. Godeman. Algebraisk topologi och teori om skivor. — M. : IN, 1961.
Grothendieck, Alexander (1957), Sur quelques points d'algèbre homologique, The Tohoku Mathematical Journal. Second Series Vol. 9: 119–221, ISSN 0040-8735
Weibel, Charles A. En introduktion till homologisk algebra. Cambridge Studies in Advanced Mathematics. 38. Cambridge University Press, 1994. ISBN 978-0-521-55987-4 .