Power funktion

En potensfunktion är en funktion , där ( exponent ) är något reellt tal [1] [2] . En funktion av formen , där är någon (icke-noll) koefficient [3] , kallas också ofta för en potensfunktion . Det finns också en komplex generalisering av potensfunktionen . $y=x^{a}$ $a$ $y=kx^{a}$ $k$

Potensfunktionen är ett specialfall av ett polynom . I praktiken är exponenten nästan alltid ett heltal eller ett rationellt tal .

Verklig funktion

Omfattning

För positiva heltalsexponenter kan potensfunktionen betraktas på hela tallinjen , medan för negativa är funktionen inte definierad till noll (noll är dess singularpunkt ) [4] . $a$ $a$

För rationella beror definitionsdomänen på pariteten och på tecknet , eftersom : $a={\frac {p}{q}}\ (q>0)$ $q$ $sid.$ $x^{a}={\sqrt[{q}]{x^{p))}.$

Om och är udda definieras då på hela tallinjen. $q$ $p>0$ ${\displaystyle x^{p/q))$
Om och är udda definieras då på hela talraden, förutom noll. $q$ $p<0$ ${\displaystyle x^{p/q))$
Om och är jämn , då definieras som icke-negativ $q$ $p>0$ ${\displaystyle x^{p/q))$ $x.$
Om och är jämn , då definieras som positiv $q$ $p<0$ ${\displaystyle x^{p/q))$ $x.$

För en reell exponent definieras exponentialfunktionen , generellt sett, endast för If då definieras funktionen också vid noll [4] . $a$ $x^{a}$ $x>0.$ $a>0,$

Heltalsexponent

Grafer för en potensfunktion med en heltalsexponent : $y=x^{n}$ $n$

Paraboler av ordning n : $n=0$ $n=1$ $n=2$ $n=3$ $n=4$ $n=5$
Hyperboler av ordning n : $n=-1$ $n=-2$ $n=-3$

Om det är udda är graferna centralt symmetriska med avseende på origo , där de har en böjningspunkt . När jämn , är potensfunktionen jämn : dess graf är symmetrisk kring y-axeln [5] . $n$ $n$ $(-x)^{n}=x^{n},$

Grafer för en potensfunktion med en naturlig exponent kallas ordningsparaboler . För jämn är funktionen överallt icke-negativ (se diagram). När en funktion erhålls , kallas en linjär funktion eller en direkt proportionell relation [3] [5] . $n>1$ $n$ $n$ $n=1$ $y=kx$

Grafer av funktioner i formen , där är ett naturligt tal, kallas ordningshyperboler . När udda är koordinataxlarna asymptoter för hyperbolerna. För jämn är asymptoterna x- axeln och den positiva riktningen för y-axeln (se diagram) [6] . Med exponenten erhålls en funktion som kallas det omvända proportionella beroendet [3] [5] . ${\displaystyle y=x^{-n}={\frac {1}{x^{n))))$ $n$ $n$ $n$ $n$ $-ett$ $y={\frac {k}{x}}$

När funktionen degenererar till en konstant: $a=0$ $y=1.$

Rationell exponent

Plots av kraftfunktioner med rationell exponent
Semikubiska paraboler $y=ax^{3/2}$

Att höja till en rationell makt bestäms av formeln: $p/q$

x^{p/q}={\sqrt[{q}]{x^{p))}.

Om , då är funktionen den aritmetiska roten av graden : $p=1$ $q$

y=x^{1/q}={\sqrt[{q}]{x)).

Exempel : av Keplers tredje lag följer direkt att rotationsperioden för en planet runt solen är relaterad till den halvstora axeln i dess bana med förhållandet: ( halvkubisk parabel ). $T$ $A$ $T=kA^{{3/2}}$

Egenskaper

Monotoni

I intervallet ökar funktionen monotont vid och monotont minskar vid . Värdena på funktionen i detta intervall är positiva [3] . $(0,\infty )$ $a>0$ $a<0.$

Analytiska egenskaper

Funktionen är kontinuerlig och oändligt differentierbar på alla punkter runt vilka den är definierad [4] .

Funktionsderivata : . ${\displaystyle \left(x^{a}\right)^{\prime }=ax^{a-1))$

Noll är generellt sett en singulär punkt. Således, om , då den -th derivatan vid noll är inte definierad. Till exempel är en funktion definierad vid noll och i dess högra grannskap, men dess derivata vid noll är inte definierad. $a<n$ $n$ $y={\sqrt {x}}=x^{1/2}$ $y={\frac {1}{2{\sqrt {x))))$

Obestämd integral [4] :

Om , då $a\neq -1$ $\int x^{a}dx={\frac {x^{{a+1}}}{a+1}}+C$
När vi får: $a=-1$ $\int {\frac {1}{x}}dx=\ln |x|+C$

Tabell över värden för små makter

n	n 2	n 3	n4 _	n 5	n6 _	n 7	n 8	n9 _	n 10
2	fyra	åtta	16	32	64	128	256	512	1024
3	9	27	81	243	729	2187	6561	19 683	59 049
fyra	16	64	256	1024	4096	16 384	65 536	262 144	1 048 576
5	25	125	625	3125	15 625	78 125	390 625	1 953 125	9 765 625
6	36	216	1296	7776	46 656	279 936	1 679 616	10 077 696	60 466 176
7	49	343	2401	16 807	117 649	823 543	5 764 801	40 353 607	282 475 249
åtta	64	512	4096	32 768	262 144	2 097 152	16 777 216	134 217 728	1 073 741 824
9	81	729	6561	59 049	531 441	4 782 969	43 046 721	387 420 489	3 486 784 401
tio	100	1000	10 000	100 000	1 000 000	10 000 000	100 000 000	1 000 000 000	10 000 000 000

Komplex funktion

Potensfunktionen för en komplex variabel i allmänna termer definieras av formeln [7] : $z$

y=z^{c}=e^{{c\cdot \operatörsnamn {Ln}(z)}}

Här är exponenten något komplext tal. Värdet på funktionen som motsvarar logaritmens huvudvärde kallas gradens huvudvärde. Till exempel är värdet where är ett godtyckligt heltal, och dess huvudvärde är $c$ $i^{i}$ $e^{-(4k+1){\frac {\pi }{2))},$ $k$ $e^{i\ln(i)}=e^{-{\frac {\pi }{2))}.$

Den komplexa maktfunktionen har betydande skillnader från sin verkliga motsvarighet. På grund av att den komplexa logaritmen är flervärdig , generellt sett, har den också oändligt många värden. Två praktiskt viktiga fall behandlas dock var för sig.

Med en naturlig exponent är funktionen enkelvärdig och n -ark [8] . $y=z^{n}$
Om exponenten är ett positivt rationellt tal , det vill säga en (oreducerbar) bråkdel , kommer funktionen att ha olika värden [7] . ${\frac {p}{q))$ $q$

Se även

Anteckningar

↑ Fikhtengolts G. M. Course of differential and integral calculus, 1966 , Volym I, §48: De viktigaste klasserna av funktioner ..
↑ Vygodsky M. Ya. Handbok i elementär matematik. Moskva: Nauka, 1978. Sida 312.
↑ 1 2 3 4 Encyclopedia of Mathematics, 1985 .
↑ 1 2 3 4 BDT .
↑ 1 2 3 Mathematical Encyclopedic Dictionary, 1988 .
↑ Bronstein I. N. , Semendyaev K. A. Matematikhandbok för ingenjörer och studenter vid högre utbildningsinstitutioner . - ed. 13:e. - M . : Nauka, 1985. - S. 171-172. — 544 sid.
↑ 1 2 Fikhtengolts G. M. Course of differential and integral calculus, 1966 , Volym II, s. 526-527 ..
↑ Sveshnikov A. G., Tikhonov A. N. Teori om funktioner för en komplex variabel. - M. : Nauka, 1967. - S. 88. - 304 sid.

Litteratur

Bityutskov V.I. Power funktion // Matematisk uppslagsverk (i 5 volymer). - M .: Soviet Encyclopedia , 1985. - T. 5. - S. 208-209. — 1248 sid.
Power funktion // Mathematical Encyclopedic Dictionary . - M . : Soviet Encyclopedia, 1988. - S. 564 -565. — 847 sid.
Fikhtengol'ts G. M. Kurs för differential- och integralkalkyl, i tre volymer. - ed. 6:a. — M .: Nauka, 1966.

Länkar

Kraftfunktion // Great Russian Encyclopedia : [i 35 volymer] / kap. ed. Yu. S. Osipov . - M . : Great Russian Encyclopedia, 2004-2017.

Ordböcker och uppslagsverk	Stor ryss