Ito stokastisk kalkyl

Itôs kalkyl är en matematisk teori som generaliserar metoder för matematisk analys för tillämpning på slumpmässiga processer som Brownsk rörelse (se även Wienerprocessen ). Uppkallad efter skaparen, den japanske matematikern Kiyoshi Ito . Används ofta i finansiell matematik och teorin om stokastiska differentialekvationer . Det centrala konceptet i denna teori är Itô-integralen :

Y_{t}=\int \limits _{0}^{t}H_{s}\,dX_{s},

var är en lokalt kvadratintegrerbar process $H_{s}$ och anpassatunder den filtrering som genereras av processen , som i sin tur är en Brownsk rörelse eller, i en mer allmän formulering, en semi- martingal ${\displaystyle X_{s))$ [1] . Det kan visas att standardmetoderna för integralkalkyl inte är tillämpliga på banorna för Brownsk rörelse. I synnerhet är Brownsk rörelse inte en differentierbar funktion vid någon punkt i banan och har oändlig variation över vilket tidsintervall som helst. Således kan Itô-integralen inte definieras i betydelsen Riemann-Stieltjes-integralen . Emellertid kan Itô-integralen definieras korrekt om integranden ären anpassad process, d.v.s. dess värde vid en tidpunktberor endast på den information som är tillgänglig fram till den tidpunkten. $H_{s}$ $t$

Uppförandet av värdet på aktier och andra finansiella tillgångar kan modelleras av stokastiska processer som Brownsk rörelse eller den mer vanligt förekommande geometriska Brownska rörelsen (se även Black-Scholes-modellen ). I detta fall representerar den stokastiska Ito-integralen vinsten från en tidskontinuerlig marknadsstrategi där marknadsaktören har värdepapper för tillfället. I en sådan situation motsvarar villkoret för processens anpassningsförmåga den nödvändiga begränsningen av modellen, som består i det faktum att marknadsstrategin vid varje given tidpunkt endast kan baseras på den information som är tillgänglig vid det tillfället. Detta villkor förhindrar obegränsade vinster från att göras genom mycket frekvent handel, köp av aktier före varje värdestegring och försäljning av dem före varje fall. Dessutom säkerställer integrandens anpassningsförmåga att definitionen av den stokastiska integralen är korrekt som gränsen för Riemannska summor [1] . $t$ $H_t$ $H$

Exempel på viktiga resultat av Itôs teori är integration-för-delar- formeln och Itôs formel (ändringen av variabelformel i en integral). Dessa formler skiljer sig från de klassiska analysformlerna genom närvaron av termer som motsvarar den kvadratiska variationen.

Notation

Processintegralen definierad ovan med avseende på processen , lika med $Y$ $H$ $X$

Y_{t}=\int \limits _{0}^{t}H\,dX\equiv \int \limits _{0}^{t}H_{s}\,dX_{s},

är också en tidsberoende stokastisk process ibland skriven som [2] . $t$ $H\cdot X$

Ett alternativt sätt att skriva en integral är differentialformen och dess motsvarighet . $Y$ $dY=HdX$ $Y-Y_{0}=H\cdot X$

Eftersom Itôs kalkyl studerar kontinuerliga stokastiska processer, antas det att ett filtrerat sannolikhetsutrymme definieras:

(\Omega ,{\mathcal {F}},({\mathcal {F}}_{t})_{t\geq 0},\mathbb {P} )

σ-algebra symboliserar den information som är tillgänglig fram till tidpunkten . En process anpassas om den är mätbar i en given σ-algebra. Brownsk rörelse i detta fall förstås som -Brownisk, det vill säga standard Brownsk rörelse, som är mätbar i och för vilken inte beror på för någon [3] . ${\mathcal {F}}_{t}$ $t$ $X$ $X_{t}$ $B$ ${\mathcal {F}}_{t}$ ${\mathcal {F}}_{t}$ ${\displaystyle B_{t+s}-B_{t))$ ${\mathcal {F}}_{t}$ $s,t\geqslant 0$

Integration med avseende på Brownsk rörelse

I analogi med Riemann-Stieltjes-integralen kan Itô-integralen definieras som gränsen för sannolikheten för Riemann-summor. En sådan gräns finns inte för någon bana.

Låt vara en wienerprocess och låt vara en vänsterkontinuerlig, anpassad och lokalt bunden slumpmässig process. Om är en sekvens av partitioner av intervallet , som tjocknar som , då är Itô-integralen från relativt till tid en slumpmässig variabel lika med $B$ $H$ ${\displaystyle \left\lbrace \pi _{n}\right\rbrace _{n\in \mathbb {N} ))$ $[0,t]$ $n$ $H$ $B$ $t$

\int \limits _{{0}}^{{t}}H\,dB=\lim _{{n\högerpil \infty }}\summa _{{t_{{i-1}},t_{i }\in \pi _{n}}}}H_{{t_{{i-1}}}}(B_{{t_{i}}}-B_{{t_{{i-1}}}}) ,

där gränsen tas i termer av sannolikhet. Det kan visas att denna gräns finns, det vill säga definitionen är korrekt.

I vissa tillämpningar (till exempel i martingalrepresentationssatsenoch bestämma lokal tid) är det nödvändigt att beräkna integraler från diskontinuerliga processer. Många förutsägbara processerär den minsta familjen av processer som är stängda under operationen att ta gränsen för en sekvens och innehåller alla anpassade processer som lämnas kontinuerliga. Om är en förutsägbar process sådan att för alla icke-negativa $H$ $t$

\int \limits _{0}^{t}H^{2}\,ds<\infty ,

då är det möjligt att definiera integralen av med avseende på och kallas i detta fall -integrerbar . Varje sådan process kan approximeras av en sekvens av anpassade, vänsterkontinuerliga och lokalt bundna processer i den meningen att $H$ $B$ $H$ $B$ $H_n$

\int \limits _{0}^{t}(H-H_{n})^{2}\,ds\rightarrow 0

efter sannolikhet. Då är Itô-integralen lika med

\int \limits _{0}^{t}H\,dB=\lim _{n\högerpil \infty }\int \limits _{0}^{t}H_{n}\,dB

där gränsen tas i termer av sannolikhet. Det kan visas att denna gräns finns, det vill säga definitionen är korrekt.

Den sålunda definierade stokastiska integralen uppfyller Itô-isometrin, det vill säga jämställdheten

\mathbb {E} \left[\left(\int _{0}^{t}H_{s}\,dB_{s}\right)^{2}\right]=\mathbb {E} \left[\int _{0}^{t}H_{s}^{2}\,ds\right]

för vilken avgränsad process som helst eller, mer allmänt, när integralen på höger sida av jämlikheten är finit. $H$

Ito process

Itô-processen är en anpassad stokastisk process som kan representeras som summan av en integral med avseende på Brownsk rörelse och en integral med avseende på tid:

X_{t}=X_{0}+\int \limits _{0}^{t}\sigma _{s}\,dB_{s}+\int \limits _{0}^{t}\mu _ {s}\,ds.

Här är en Brownsk rörelse, är en förutsägbar -integrerbar process, och är en förutsägbar och Lebesgue -integrerbar process, d.v.s. $B$ $\sigma$ $B$ $\mu$

\int \limits _{0}^{t}(\sigma _{s}^{2}+|\mu _{s}|)\,ds<\infty

för någon . Man kan definiera den stokastiska integralen av Itô-processen: $t$

\int \limits _{0}^{t}H\,dX=\int \limits _{0}^{t}H_{s}\sigma _{s}\,dB_{s}+\ int \limits _{0}^{t}H_{s}\mu _{s}\,ds.

Detta uttryck definieras för alla lokalt bundna och förutsägbara integrander. I en mer allmän formulering krävs det att vara -integrerbar och -Lebesgue-integrerbar, det vill säga, $H\sigma$ $B$ $H\mu$

\int _{0}^{t}(H^{2}\sigma ^{2}+|H\mu |)ds<\infty .

Förutsägbara processer som uppfyller detta villkor kallas -integrerbara, uppsättningen av alla sådana processer betecknas med . $H$ $X$ $L(X)$

Ett viktigt resultat relaterat till studiet av Itô-processer är Itôs lemma. Den enklaste versionen av dess formulering är följande: för alla funktioner och Itô- processer är processen också en Itô-process, och jämlikheten $f\in C^{2}(\mathbb {R} )$ $X$ $f(X)$

df(X_{t})=f^{\prime }(X_{t})\,dX_{t}+{\frac {1}{2))f^{\prime \prime }(X_ {t})\sigma _{t}^{2}\,dt.

Detta uttryck är en stokastisk analog till formeln för att ändra en variabel i en integral och regeln för att differentiera en komplex funktion . Den skiljer sig från klassiska formler genom närvaron av en ytterligare term, som inkluderar den andra derivatan av funktionen och uppstår på grund av det faktum att den kvadratiska variationen av den Brownska rörelsen inte är lika med noll. $f$

Semimartingales som integratörer

Itô-integralen definieras med avseende på semimartingalen , det vill säga processen representerad som , där är den lokala martingalen $X$ $X=M+A$ $M$ , är en process med ändlig variation. Sådana processer är till exempel Wienerprocessen (som är en martingal), såväl som processer med oberoende steg . $A$

För en vänsterkontinuerlig, lokalt avgränsad och anpassad process finns en integral som kan beräknas som gränsen för Riemannska summor. Låta vara en sekvens av partitioner av intervallet som tjocknar som . Sedan $H$ $H\cdot X$ ${\displaystyle \left\lbrace \pi _{n}\right\rbrace _{n\in \mathbb {N} ))$ $[0,t]$ $n$

\int \limits _{0}^{t}H\,dX=\lim _{{n\högerpil \infty }}\summa _{{t_{{i-1}},t_{i}\in \ pi _{n}}}H_{{t_{{i-1}}}}(X_{{t_{i}}}-X_{{t_{{i-1}}}}),

där gränsen tas i termer av sannolikhet.

Definitionen av den stokastiska integralen för vänsterkontinuerliga processer är tillräckligt generell för att användas i de flesta problem med stokastisk kalkyl, till exempel i tillämpningar av Itôs lemma, när måttet ändras enligt Girsanovs satsoch i studiet av stokastiska differentialekvationer . En sådan definition visar sig dock vara olämplig för andra viktiga ämnen som martingalrepresentationsteoremet och studiet av lokal tid.

Begreppet en integral kan generaliseras på ett unikt sätt till alla förutsägbara och lokalt bundna integrander, så att villkoren för den dominerade konvergenssatsen kommer att vara uppfyllda . Om och för någon lokalt bunden process , då $H_{n}\to H$ $|H_{n}|\leqslant J$ $J$

\int _{0}^{t}H_{n}\,dX\to \int _{0}^{t}H\,dX

efter sannolikhet. Det unika med generaliseringen är en konsekvens av den monotona klasssatsen.

I allmänhet kan den stokastiska integralen definieras även om processen som förutsägs inte är lokalt begränsad. Processer och är begränsade. Associativitet av stokastisk integration innebär -integrerbarhet om och endast om och . $H\cdot X$ $H$ $K=1/(1+|H|)$ $KH$ $X$ $H$ $H\cdot X=Y$ $Y_{0}=0$ $K\cdot Y=(KH)\cdot X$

Egenskaper

Den stokastiska integralen har följande egenskaper [3] [2] .

Den stokastiska integralen är en slumpmässig process, som är en del av Skorokhod-rummet. Dessutom är den stokastiska integralen en semimartingal.

Diskontinuiteterna för den stokastiska integralen uppstår när integratorn som har hopp och integranden multipliceras. Hoppet i processen, som är en del av Skorokhod-rummet, vid ett ögonblick är lika med och ofta betecknat med . Sedan $t$ $X_{t}-X_{t-}$ ${\displaystyle \Delta X_{t))$

\Delta (H\cdot X)=H\Delta X.

Särskilt av detta följer att integralen med avseende på en kontinuerlig process också är kontinuerlig.

Associativitet . Låta och vara förutsägbara processer och vara -integrerbar. Då är -integrerbar om och endast om är -integrerbar och i så fall $J$ $K$ $K$ $X$ $J$ $(K\cdot X)$ $JK$ $X$

J\cdot (K\cdot X)=(JK)\cdot X

Majoriserad konvergens . Låt och låt för någon integrerbar process . Sedan , med sannolikhet, för någon . På kompakta apparater kommer konvergensen att vara enhetlig . $H_{n}\to H$ $|H_{n}|\leqslant J$ $X$ $J$ $H_{n}\cdot X\to H\cdot X$ $t$

Den stokastiska integralen pendlar med den kvadratiska kovariansberäkningsoperationen. Om och är semimartingales, kommer alla -integrerbara processer också att vara -integrerbara och . Det följer att processen med kvadratisk variation av den stokastiska integralen är lika med integralen för processen med kvadratisk variation: $X$ $Y$ $X$ $[X,Y]$ $[H\cdot X,Y]=H\cdot [X,Y]$

[H\cdot X]=H^{2}\cdot [X]

Integrering efter delar

Precis som i klassisk analys, i stokastisk kalkyl är ett viktigt resultat formeln för integrering av delar . Formeln för Itô-integralen skiljer sig från formeln för Riemann-Stieltjes-integralen med en ytterligare term lika med den kvadratiska kovariansen. Det förefaller på grund av det faktum att i Itô-kalkylen studeras processer med andragradsvariation som inte är noll, vilka endast är processer med oändlig variation, som till exempel Brownsk rörelse. Om och är semimartingales, alltså $X$ $Y$

X_{t}Y_{t}=X_{0}Y_{0}+\int \limits _{0}^{t}X_{s-}\,dY_{s}+\int \limits _ {0}^{t}Y_{s-}\,dX_{s}+[X,Y]_{t},

var är processen med kvadratisk kovarians. $[X,Y]$

Itos lemma

Itôs lemma är en analog av formeln för att differentiera en komplex funktion eller ändring av variabelformel i en integral för Itôs stokastiska integral och ett av de mest kraftfulla och mest använda resultaten av stokastisk kalkyl.

Låta vara en dimensionell semimartingale och låt vara en två gånger jämn funktion från till . Då är också en semimartingal och $X=(X^{1},\ldots ,X^{n})$ $n$ $f$ $\mathbb {R} ^{n}$ $\mathbb {R}$ $f(X)$

df(X_{t})=\sum _{i=1}^{n}f_{i}(X_{t})\,dX_{t}^{i}+{\frac {1} {2}}\summa _{i,j=1}^{n}f_{i,j}(X_{t})\,d[X^{i},X^{j}]_{t} .

Denna formel skiljer sig från den klassiska kedjeregeln genom närvaron av kvadratisk kovarians . Formeln kan generaliseras till fallet med diskontinuerliga semimartingales genom att lägga till en term som motsvarar hopp och säkerställa kontinuitet. $[X^{i},X^{j}]$

Integrering av martingaler

Lokala martingaler

En viktig egenskap hos Itô-integralen är bevarandet av martingalernas lokalegendom. Om är en lokal martingal och är en lokalt begränsad förutsägbar process, då är integralen också en lokal martingal. Det är möjligt att ge exempel när det inte är lokalt för integrander som inte är lokalt bundna, men detta kan bara ske om det är diskontinuerligt. Om är en kontinuerlig lokal martingal, då är den förutsägbara processen -integrerbar om och endast om $M$ $H$ $H\cdot M$ $H\cdot M$ $M$ $M$ $H$ $M$

\int \limits _{o}^{t}H^{2}\,d[M]<\infty

för alla och är alltid en lokal martingal. $t$ $H\cdot M$

Det mest allmänna påståendet om en diskontinuerlig lokal martingal är formulerad enligt följande: om processen är lokalt integrerbar, så existerar integralen och är en lokal martingal. $M$ ${\sqrt {H^{2}\cdot [M]}}$ $H\cdot M$

Square-integrerbara martingaler

För avgränsade integrander bevarar den stokastiska Itô-integralen utrymmet för kvadratintegrerbara martingaler, det vill säga martingaler som tillhör Skorokhod-utrymmet och tillfredsställer egenskapen $M$

\mathbb {E} \left(M_{t}^{2}\right)<\infty

för någon . För en sådan martingal är processen med kvadratisk variation integrerbar och Itô-isometrin gäller: $t$ $M$ $[M]$

\mathbb {E} \left[(H\cdot M_{t})^{2}\right]=\mathbb {E} \left[\int _{0}^{t}H^{2 }\,d[M]\höger].

Denna jämlikhet gäller också i ett mer allmänt fall - för vilken martingal som helst , så att processen är integrerad. Itô-isometri används ofta som ett viktigt steg i konstruktionen av den stokastiska integralen. Det kan definieras som den enda utvidgningen av Itô-isometrin från en viss klass av enkla integrander till fallet med alla avgränsade och förutsägbara processer. $M$ ${\displaystyle H^{2}\cdot [M]_{t))$ $H\cdot M$

$sid$ -integrerbara martingaler

För vilken som helst avgränsad förutsägbar integrandprocess bevarar den stokastiska integralen utrymmet för -integrerbara martingaler, det vill säga martingaler som tillhör Skorokhod-utrymmet för vilka $p>1$ $sid$ $M$

\mathbb {E} \left(|M_{t}|^{p}\right)<\infty

för någon . För fallet är detta inte alltid fallet: man kan ge exempel på integraler av avgränsade förutsägbara processer med avseende på martingaler som inte är martingaler. $t$ $p=1$

Maximum av processen från Skorokhod-utrymmet betecknas som . För vilken som helst avgränsad förutsägbar integrandprocess bevarar den stokastiska integralen utrymmet för martingaler från Skorokhod-utrymmet så att $M$ $M_{t}^{*}=\sup _{s\leqslant t}|M_{s}|$ $p\geqslant 1$ $M$

\mathbb {E} \left(\left(M_{t}^{*}\right)^{p}\right)<\infty

för någon . Det följer av Doobs ojämlikhet att för detta utrymme sammanfaller med utrymmet för -integrerbara martingaler. $t$ $p>1$ $sid$

Enligt Burkholder-Davis-Gandhi-ojämlikheterna finns det för alla positiva konstanter och , endast beroende på , sådana att för vilken martingal som helst som lokalt tillhör Skorokhod-utrymmet, $p\geqslant 1$ $c$ $C$ $sid$ $M$

c\mathbb {E} \left[[M]_{t}^{\frac {p}{2}}\right]\leq \mathbb {E} \left[(M_{t}^{ *})^{p}\right]\leq C\mathbb {E} \left[[M]_{t}^{\frac {p}{2}}\right].

Genom att använda dessa relationer kan vi visa att om vi integrerar och om är en begränsad förutsägbar process, då ${\displaystyle \left(M_{t}^{*}\right)^{p))$ $H$

\mathbb {E} \left[((H\cdot M)_{t}^{*})^{p}\right]\leq C\mathbb {E} \left[(H^{2 }\cdot [M]_{t})^{\frac {p}{2}}\right]<\infty

och, som en konsekvens, är en -integrerbar martingal. Detta uttalande förblir sant i det mer allmänna fallet när processen är integrerbar. $H\cdot M$ $sid$ $\left(H^{2}\cdot [M]\right)^{p/2}$

Se även

Stratonovich integral

Anteckningar

↑ 1 2 Revuz, Yor, 1999 , kapitel IV.
↑ 12 Rogers, Williams, 2000 .
↑ 12 Revuz , Yor, 1999 .

Litteratur

Kleinert, H. Vägintegraler i kvantmekanik, statistik, polymerfysik och finansmarknader. — 5:e upplagan. - Singapore:World Scientific, 2009. - 1624 sid. —ISBN 978-981-4365-26-0. -doi:10.1142/7305.
He, SW , Wang, JG , Yan, JA Semimartingale Theory and Stokastical Calculus . - Science Press, CRC Press Inc., 1992. - ISBN 7-03-003066-4 .
Karatzas, I. , Shreve, S. E. Brownian Motion and Stokastic Calculus (engelska) . - Springer, 1991. - ISBN 0-387-97655-8 .
Protter, P.E. Stokastiskintegration och differentialekvationer . - Springer, 2001. - ISBN 3-540-00313-4 .
Øksendal, BK Stokastiska differentialekvationer: enintroduktion med tillämpningar . - Springer, 2003. - ISBN 3-540-04758-1 .
Revuz, D. , Yor, M. Kontinuerliga martingaler och Brownsk rörelse (engelska) . - Berlin: Springer, 1999. - ISBN 3-540-57622-3 .
Rogers, C. , Williams, D. Diffusions, Markov-processer och martingaler - Volym 2: Itô calculus (engelska) . - Cambridge: Cambridge University Press , 2000. - ISBN 0-521-77593-0 .
Stepanov, S. Den stokastiska världen . - Elektronisk version. (ryska)