Stokastisk integral

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 13 januari 2022; kontroller kräver 8 redigeringar .

En stokastisk integral är en integral av formen , där är en slumpmässig process med oberoende normala inkrement. Stokastiska integraler används ofta i stokastiska differentialekvationer . Den stokastiska integralen kan inte beräknas som den vanliga Stieltjes-integralen [1] . $\int f(t)dy(t)$ ${y(t),t\in T}$

Stokastisk integral av en deterministisk funktion

Låt oss introducera Hilbert-utrymmet av slumpvariabler , , med skalärprodukten och rot-medelkvadratnormen . Här - betecknar det förväntade värdet. Inom ramen för Hilbert-rummet kan man beskriva de viktigaste egenskaperna hos slumpvariabler, såsom betingade matematiska förväntningar, betingade sannolikheter m.m. [2] $H$ $\xi$ $\mathbb {E} |\xi ^{2}|<\infty$ ${\displaystyle (\xi _{1},\xi _{2})=\mathbb {E} \xi _{1}{\bar {\xi _{2))))$ ${\displaystyle \left\|\xi _{1}\right\|=\left(\mathbb {E} \left|\xi \right|^{2}\right)^{1/2))$ ${\mathbb {E}}$

Låt vara ett ändligt eller oändligt segment av den reella linjen och på dess halva intervall av formen ges en stokastisk additiv funktion med ortogonala värden från Hilbert-utrymmet av slumpvariabler , som har egenskaperna: $T$ $\Delta =\left(s,t\right]\subseteq T$ $\eta (\Delta )$ $H$ $\xi$ $\mathbb {E} |\xi ^{2}|<\infty$

För varje disjunkt , , är kvantiteterna ortogonala, det vill säga deras skalära produkt i Hilbert-utrymmet är lika med noll: ${\displaystyle \Delta _{1))$ $\Delta _{2}$ $\eta (\Delta _{1})$ $\eta (\Delta _{2})$ $\left(\eta (\Delta _{1}),\eta (\Delta _{2})\right)=0$
Om , är icke-korsande halvintervall och utgör ett halvintervall, då $\eta (\Delta _{1})$ $\eta (\Delta _{2})$ $\eta (\Delta _{1})\cup \eta (\Delta _{2})$ $\eta (\Delta _{1})\cup \eta (\Delta _{2})=\eta (\Delta _{1})+\eta (\Delta _{2})$
$\left\|\eta (\Delta )\right\|^{2}=\left|\Delta \right|$ . Här är normen i Hilbert-rummet, för . $\left\|\right\|$ $\left|\Delta \right|=ts$ $\Delta =\left(s,t\right]$

Låt en deterministisk funktion som uppfyller villkoret . Betrakta en sekvens av styckvis konstanta funktioner som approximerar funktionen på ett sådant sätt att , $\varphi (t)$ $\int _{T}\left|\varphi (t)\right|^{2}dt<\infty$ $\varphi _{n}(t)$ $\varphi (t)$ $\lim _{n\to \infty }\int _{T}\left|\varphi (t)-\varphi _{n}(t)\right|^{2}dt\to 0$

Den stokastiska integralen för en deterministisk funktion är gränsen [3] $\int _{T}\varphi (t)\eta (dt)$ $\varphi (t)$ $\int _{T}\varphi (t)\eta (dt)=\lim _{n\to \infty }\int _{T}\varphi _{n}(t)\eta (dt)$

Stokastisk integral av en stokastisk process

Tänk på integralen

\int _{0}^{T}\omega (t)d\omega (t),

var är en Wiener-process med en enhetsdispersionsparameter. Vi delar upp intervallet med punkter i delintervall. Med den tidigare definitionen av en integral för en deterministisk funktion, kan den stokastiska integralen definieras av något av två uttryck [4] : ${\omega (t),t\in T}$ $[0; T]$ $0=t_{1},t_{2},...,t_{N},t_{{N+1}}=T$ $N$

I_{0}=\lim \sum _{{i=1}}^{{N}}\omega (t_{i})[\omega (t_{{i+1}})-\omega (t_{ i})]

eller

I_{1}=\lim \sum _{i=1}^{N}\omega (t_{i+1})[\omega (t_{i+1})-\omega (t_{i })].

Dessa integraler är inte lika eftersom, enligt definitionen av Wienerprocessen [5]

I_{1}-I_{0}=\lim \sum _{i=1}^{N}[\omega (t_{i+1})-\omega (t_{i})]^{ 2}=t.

Den generaliserade stokastiska integralen kan definieras som en parametervägd summa av integraler och följande formel [5] : $\lambda$ $I_0$ $I_1$

I_{\lambda }=(1-\lambda )I_{0}+\lambda I_{1}=\lim \sum _{i=1}^{N}[(1-\lambda )\omega (t_{i})+\lambda \omega (t_{i+1})][\omega (t_{i+1})-\omega (t_{i})],

kl . Integralen motsvarar Itô-integralen och sammanfaller med Stratonovich-integralen. $0\leqslant \lambda \leqslant 1$ $I_0$ $I_{{0,5}}$

Stratonovich-integralen

Stratonovich-integralen har formen [6]

I=\lim _{N\to \infty }{\dfrac {1}{2}}\sum _{i=1}^{N}[f(t_{i})+f(t_{ i+1})][y(t_{i+1})-y(t_{i})].

Itô integral

Itô-integralen har formen [5]

\int f(t)dy(t)=\lim _{N\to \infty }\sum _{i=1}^{N}f(t_{i})[y(t_{i+ 1 })-y(t_{i})].

Dess huvudsakliga egenskaper [5] :

$E\int f(t)dy(t)=\int {Ef(t)}dm(t).$
$cov\left[\int f(t)dy(t),\int g(t)dy(t)\right]=\int [Ef(t)g(t)]dr(t).$

Här är medelvärdesfunktionen och är kovariansfunktionen . $m(t)$ $r(t)$

Wienerintegral

Låt oss tilldela varje bana av en endimensionell Wienerprocess ett visst antal . Sedan kan denna bana beskrivas med hjälp av en stokastisk funktion . Integral av formen $\alfa$ $x(t,\alfa )$

\int \limits _{0}^{1}f(t)dx(t,\alpha )

kallas Wiener stokastiska integralen. Denna integral beräknas genom integrering av delar , med hänsyn till likheten [7] : $x(0,\alpha )=0$

\int \limits _{0}^{1}f(t)dx(t,\alpha )=f(1)x(1,\alpha )-\int \limits _{0}^{1 }f'(t)x(t,\alpha )dt.

Dess huvudsakliga egenskaper:

\int \limits _{0}^{1}d\alpha \int \limits _{0}^{1}f(t)dx(t,\alpha )=0

[8] .

\int \limits _{0}^{1}d\alpha \left[\int \limits _{0}^{1}f(t)dx(t,\alpha )\right]^{2 }=\int \limits _{0}^{1}f^{2}(t)dt

[9] .

Se även

Anteckningar

↑ Ostrom, 1973 , sid. 68.
↑ Rozanov, 1982 , sid. 57.
↑ Rozanov, 1982 , sid. 64.
↑ Ostrom, 1973 , sid. 70.
↑ 1 2 3 4 Ostrom, 1973 , sid. 71.
↑ Ostrom, 1973 , sid. 72.
↑ Wiener, 1961 , sid. tjugo.
↑ Wiener, 1961 , sid. 21.
↑ Wiener, 1961 , sid. 24.

Litteratur

Ostrom, K. Yu Introduktion till stokastisk kontrollteori / transl. från engelska. S.A. Anisismov, N.E. Arutyunova, A.L. Bunich; ed. N.S. Raibman. — M .: Mir , 1973.
Wiener, N. Icke-linjära problem i teorin om slumpmässiga processer. -M .:Förlag för utländsk litteratur, 1961.
Yu.A. Rozanov . Introduktion till teorin om slumpmässiga processer. — M .: Nauka, 1982. — 128 sid.

Integralkalkyl

Main

Generaliseringar
av Riemann-integralen

Integrerade
transformationer

Numerisk
integration

måttteori

Relaterade ämnen

Listor över integraler