Maxwell stresstensor

Maxwell-spänningstensorn (uppkallad efter James Clerk Maxwell ) är en andra ordningens symmetrisk tensor som används i klassisk elektromagnetism för att representera interaktionen mellan elektromagnetiska krafter och mekaniskt momentum . I enkla fall, såsom en punktladdning som rör sig fritt i ett enhetligt magnetfält, är det lätt att beräkna krafterna som verkar på laddningen från Lorentzkraften . I mer komplexa fall kan denna vanliga procedur bli opraktiskt komplex med ekvationer som spänner över flera linjer. Därför är det bekvämt att samla många av dessa termer i Maxwell-spänningstensorn och använda tensoraritmetik för att hitta svaret på problemet.

I den relativistiska formuleringen av elektromagnetism uppträder Maxwell-tensorn som en del av den elektromagnetiska energi-momentum-tensorn , som är den elektromagnetiska komponenten av den totala energi-momentum-tensorn . Den senare beskriver tätheten och flödet av energi och fart i rumtiden .

Motivering

Det visas nedan att den elektromagnetiska kraften skrivs i termer av E och B. Med hjälp av vektorkalkyl och Maxwells ekvationer eftersträvas symmetri i uttryck som innehåller E och B , och införandet av Maxwellspänningstensorn förenklar resultatet.

Maxwells ekvationer i SI-enheter i vakuum (för referens)

namn	Differentiell form
Gauss lag (i ett vakuum)	${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {E} ={\frac {\rho }{\varepsilon _{0))))$
Gauss lag för magnetism	$\nabla \cdot \mathbf {B} =0$
Maxwell–Faraday ekvation (Faradays induktionslag)	$\nabla \times {\mathbf {E}}=-{\frac {\partial {\mathbf {B}}}{\partial t}}$
Ampères cirkulära lag (i vakuum) (med Maxwells korrigering)	$\nabla \times \mathbf {B} =\mu _{0}\mathbf {J} +\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{ \partial-t}}\$

Enligt Lorentz-styrkan
F = q ( E + v × B ) {\displaystyle \mathbf {F} =q(\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} )} $\mathbf {F} =q(\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} )$ F = ∫ ( E + v × B ) sid d τ {\displaystyle \mathbf {F} =\int (\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} )\rho \mathrm {d} \tau } $\mathbf {F} =\int (\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} )\rho \mathrm {d} \tau$ kraft per volymenhet är
f = sid E + J × B . {\displaystyle \mathbf {f} =\rho \mathbf {E} +\mathbf {J} \times \mathbf {B} \,.} $\mathbf {f} =\rho \mathbf {E} +\mathbf {J} \times \mathbf {B} \,.$
Vidare kan ρ och J ersättas av elektriska och magnetiska fält E och B , enligt Gauss lag och Ampères magnetfältscirkulationssats : f = ε 0 ( ∇ ⋅ E ) E + ett μ 0 ( ∇ × B ) × B − ε 0 ∂ ∂ t E × B . {\displaystyle \mathbf {f} =\varepsilon _{0}\left({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {E} \right)\mathbf {E} +{\frac {1}{\ mu _{0))}\left({\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {B} \right)\times \mathbf {B} -\varepsilon _{0}{\frac {\partial }{ \partial t}}\mathbf {E} \times \mathbf {B} .} $\mathbf {f} =\varepsilon _{0}\left({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {E} \right)\mathbf {E} +{\frac {1}{\ mu _{0))}\left({\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {B} \right)\times \mathbf {B} -\varepsilon _{0}{\frac {\partial }{ \partial t}}\mathbf {E} \times \mathbf {B} .$
Tidsderivatan kan skrivas om till något som kan tolkas fysiskt, nämligen Poynting-vektorn . Att använda produktregeln och Faradays lag om elektromagnetisk induktion ger: ∂ ∂ t ( E × B ) = ∂ ∂ t E × B + E × ∂ ∂ t B = ∂ ∂ t E × B − E × ( ∇ × E ) , {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t))(\mathbf {E} \times \mathbf {B} )={\frac {\partial }{\partial t))\mathbf {E} \ gånger \mathbf {B} +\mathbf {E} \times {\frac {\partial }{\partial t))\mathbf {B} ={\frac {\partial }{\partial t))\mathbf {E } \times \mathbf {B} -\mathbf {E} \times ({\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {E} ),} ${\frac {\partial }{\partial t))(\mathbf {E} \times \mathbf {B} )={\frac {\partial }{\partial t))\mathbf {E} \ gånger \mathbf {B} +\mathbf {E} \times {\frac {\partial }{\partial t))\mathbf {B} ={\frac {\partial }{\partial t))\mathbf {E } \times \mathbf {B} -\mathbf {E} \times ({\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {E} ),$ och nu kan vi skriva över f -parametern som f = ε 0 ( ∇ ⋅ E ) E + ett μ 0 ( ∇ × B ) × B − ε 0 ∂ ∂ t ( E × B ) − ε 0 E × ( ∇ × E ) . {\displaystyle \mathbf {f} =\varepsilon _{0}\left({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {E} \right)\mathbf {E} +{\frac {1}{\ mu _{0))}\left({\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {B} \right)\times \mathbf {B} -\varepsilon _{0}{\frac {\partial }{ \partial t))\left(\mathbf {E} \times \mathbf {B} \right)-\varepsilon _{0}\mathbf {E} \times ({\boldsymbol {\nabla ))\times \mathbf {E}).} $\mathbf {f} =\varepsilon _{0}\left({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {E} \right)\mathbf {E} +{\frac {1}{\ mu _{0))}\left({\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {B} \right)\times \mathbf {B} -\varepsilon _{0}{\frac {\partial }{ \partial t))\left(\mathbf {E} \times \mathbf {B} \right)-\varepsilon _{0}\mathbf {E} \times ({\boldsymbol {\nabla ))\times \mathbf {E}).$ Sedan ger kombination med E och B f = ε 0 [ ( ∇ ⋅ E ) E − E × ( ∇ × E ) ] + ett μ 0 [ − B × ( ∇ × B ) ] − ε 0 ∂ ∂ t ( E × B ) . {\displaystyle \mathbf {f} =\varepsilon _{0}\left[({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {E} )\mathbf {E} -\mathbf {E} \times ({ \boldsymbol {\nabla ))\times \mathbf {E} )\right]+{\frac {1}{\mu _{0))}\left[-\mathbf {B} \times \left({\ fetsymbol {\nabla }}\times \mathbf {B} \right)\right]-\varepsilon _{0}{\frac {\partial }{\partial t))\left(\mathbf {E} \times \ mathbf {B} \right).} $\mathbf {f} =\varepsilon _{0}\left[({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {E} )\mathbf {E} -\mathbf {E} \times ({ \boldsymbol {\nabla ))\times \mathbf {E} )\right]+{\frac {1}{\mu _{0))}\left[-\mathbf {B} \times \left({\ fetsymbol {\nabla }}\times \mathbf {B} \right)\right]-\varepsilon _{0}{\frac {\partial }{\partial t))\left(\mathbf {E} \times \ mathbf {B} \right).$
Uttrycket verkar "saknas" i symmetri i E och B , vilket kan uppnås genom att infoga (∇ ⋅ B ) B , på grund av Gauss lag för elektromagnetism : f = ε 0 [ ( ∇ ⋅ E ) E − E × ( ∇ × E ) ] + ett μ 0 [ ( ∇ ⋅ B ) B − B × ( ∇ × B ) ] − ε 0 ∂ ∂ t ( E × B ) . {\displaystyle \mathbf {f} =\varepsilon _{0}\left[({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {E} )\mathbf {E} -\mathbf {E} \times ({ \boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {E} )\right]+{\frac {1}{\mu _{0}}}\left[({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {B} )\mathbf {B} -\mathbf {B} \times \left({\boldsymbol {\nabla ))\times \mathbf {B} \right)\right]-\varepsilon _{0}{\ frac {\partial }{\partial t))\left(\mathbf {E} \times \mathbf {B} \right).} $\mathbf {f} =\varepsilon _{0}\left[({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {E} )\mathbf {E} -\mathbf {E} \times ({ \boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {E} )\right]+{\frac {1}{\mu _{0}}}\left[({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {B} )\mathbf {B} -\mathbf {B} \times \left({\boldsymbol {\nabla ))\times \mathbf {B} \right)\right]-\varepsilon _{0}{\ frac {\partial }{\partial t))\left(\mathbf {E} \times \mathbf {B} \right).$ Eliminera virvelvindar (som är ganska svåra att beräkna) med hjälp av vektorkalkylens identitet ett 2 ∇ ( A ⋅ A ) = A × ( ∇ × A ) + ( A ⋅ ∇ ) A , {\displaystyle {\frac {1}{2}}{\boldsymbol {\nabla }}(\mathbf {A} \cdot \mathbf {A} )=\mathbf {A} \times ({\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {A} )+(\mathbf {A} \cdot {\boldsymbol {\nabla }})\mathbf {A} ,} ${\frac {1}{2}}{\boldsymbol {\nabla }}(\mathbf {A} \cdot \mathbf {A} )=\mathbf {A} \times ({\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {A} )+(\mathbf {A} \cdot {\boldsymbol {\nabla }})\mathbf {A} ,$ leder till: f = ε 0 [ ( ∇ ⋅ E ) E + ( E ⋅ ∇ ) E ] + ett μ 0 [ ( ∇ ⋅ B ) B + ( B ⋅ ∇ ) B ] − ett 2 ∇ ( ε 0 E 2 + ett μ 0 B 2 ) − ε 0 ∂ ∂ t ( E × B ) . {\displaystyle \mathbf {f} =\varepsilon _{0}\left[({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {E} )\mathbf {E} +(\mathbf {E} \cdot { \boldsymbol {\nabla )))\mathbf {E} \right]+{\frac {1}{\mu _{0))}\left[({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {B } )\mathbf {B} +(\mathbf {B} \cdot {\boldsymbol {\nabla }})\mathbf {B} \right]-{\frac {1}{2}}{\boldsymbol {\nabla }}\left(\varepsilon _{0}E^{2}+{\frac {1}{\mu _{0}}}B^{2}\right)-\varepsilon _{0}{\frac {\partial }{\partial t))\left(\mathbf {E} \times \mathbf {B} \right).} $\mathbf {f} =\varepsilon _{0}\left[({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {E} )\mathbf {E} +(\mathbf {E} \cdot { \boldsymbol {\nabla )))\mathbf {E} \right]+{\frac {1}{\mu _{0))}\left[({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {B } )\mathbf {B} +(\mathbf {B} \cdot {\boldsymbol {\nabla }})\mathbf {B} \right]-{\frac {1}{2}}{\boldsymbol {\nabla }}\left(\varepsilon _{0}E^{2}+{\frac {1}{\mu _{0}}}B^{2}\right)-\varepsilon _{0}{\frac {\partial }{\partial t))\left(\mathbf {E} \times \mathbf {B} \right).$
Detta uttryck innehåller alla aspekter av elektromagnetism och momentum och är relativt lätt att beräkna. Det kan skrivas mer kompakt genom att introducera Maxwell stresstensor , σ i j ≡ ε 0 ( E i E j − ett 2 δ i j E 2 ) + ett μ 0 ( B i B j − ett 2 δ i j B 2 ) . {\displaystyle \sigma _{ij}\equiv \varepsilon _{0}\left(E_{i}E_{j}-{\frac {1}{2}}\delta _{ij}E^{2} \right)+{\frac {1}{\mu _{0}}}\left(B_{i}B_{j}-{\frac {1}{2}}\delta _{ij}B^{ 2}\höger).} $\sigma _{ij}\equiv \varepsilon _{0}\left(E_{i}E_{j}-{\frac {1}{2}}\delta _{ij}E^{2} \right)+{\frac {1}{\mu _{0}}}\left(B_{i}B_{j}-{\frac {1}{2}}\delta _{ij}B^{ 2}\höger).$ Alla utom den sista termen f kan skrivas som tensordivergensen för Maxwell-spänningstensorn, vilket ger: ∇ ⋅ σ = f + ε 0 μ 0 ∂ ∂ t S . {\displaystyle \nabla \cdot {\boldsymbol {\sigma ))=\mathbf {f} +\varepsilon _{0}\mu _{0}{\frac {\partial }{\partial t))\mathbf { S}\,.} $\nabla \cdot {\boldsymbol {\sigma ))=\mathbf {f} +\varepsilon _{0}\mu _{0}{\frac {\partial }{\partial t))\mathbf { S}\,.$ Liksom i Poyntings sats kan den andra termen på höger sida av ekvationen ovan tolkas som tidsderivatan av det elektromagnetiska fältets rörelsemängdstäthet, medan den första termen är tidsderivatan av rörelsemängdstätheten för massiva partiklar. Således kommer ovanstående ekvation att vara lagen om bevarande av momentum i klassisk elektrodynamik, där Poynting-vektorn introduceras S = ett μ 0 E × B . {\displaystyle \mathbf {S} ={\frac {1}{\mu _{0}}}\mathbf {E} \times \mathbf {B} .} $\mathbf {S} ={\frac {1}{\mu _{0}}}\mathbf {E} \times \mathbf {B} .$

I momentumkonserveringsrelationen ovan är momentumflödestätheten och spelar en roll som liknar den i Poyntings teorem . $\nabla \cdot {\boldsymbol {\sigma ))$ $\mathbf {S}$

Ovanstående härledning förutsätter full kunskap om parametrarna ρ och J (både fria och begränsade laddningar och strömmar). I fallet med icke-linjära material (såsom magnetiskt järn med en BH-kurva (flödestäthetskurva)) är det nödvändigt att använda den icke-linjära Maxwell-spänningstensorn. [ett]

Ekvation

Inom fysiken är Maxwell spänningstensor spänningstensorn för ett elektromagnetiskt fält . Som anges ovan i SI-enheter definieras detta som:

\sigma _{ij}=\epsilon _{0}E_{i}E_{j}+{\frac {1}{\mu _{0))}B_{i}B_{j}-{ \frac {1}{2}}\left(\epsilon _{0}E^{2}+{\frac {1}{\mu _{0}}}B^{2}\right)\delta _ {I j},

där ε 0 är den elektriska konstanten , μ 0 är den magnetiska konstanten , E är det elektriska fältet , B är det magnetiska fältet och δ ij är Kronecker delta . I Gaussiska CGS-enheter definieras detta som:

\sigma _{ij}={\frac {1}{4\pi }}\left(E_{i}E_{j}+H_{i}H_{j}-{\frac {1}{ 2}}\left(E^{2}+H^{2}\right)\delta _{ij}\right),

där H är magnetiseringsfältet .

Ett alternativt sätt att uttrycka denna tensor:

{\overset {\leftrightarrow }{\boldsymbol {\sigma }}}={\frac {1}{4\pi }}\left[\mathbf {E} \otimes \mathbf {E} +\mathbf {H} \otimes \mathbf {H} -{\frac {E^{2}+H^{2}}{2}}\mathbb {I} \right],

där ⊗ är den dyadiska produkten och den sista tensorn är enhetsdyaden: ${\mathbb {I}}$

\mathbb {I} \equiv {\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}=\left(\mathbf {\hat {x}} \otimes \mathbf {\hat { x)) +\mathbf {\hat {y)) \otimes \mathbf {\hat {y)) +\mathbf {\hat {z)) \otimes \mathbf {\hat {z)) \right)

Elementet ij i Maxwell-spänningstensorn har enheter för rörelsemängd per ytenhet per tidsenhet och ger ett rörelseflöde parallellt med den i: te axeln som korsar ytan vinkelrätt mot den j :te axeln (i negativ riktning) per tidsenhet.

Dessa enheter kan också tänkas som kraftenheter per ytenhet (negativt tryck), och tensorns ij- element kan också tolkas som en kraft parallell med i- axeln , som verkar på en yta vinkelrät mot j-axeln, pr. enhet. område. I själva verket ställer de diagonala elementen in spänningen (spänningen, förlängningen) som verkar på areadifferentialelementet längs normalen till motsvarande axel. Till skillnad från de krafter som orsakas av trycket från en idealgas, upplever areaelementet i ett elektromagnetiskt fält också en kraft som inte är riktad längs normalen till elementet. Denna förskjutning ges av de off-diagonala elementen i spänningstensorn.

Endast magnetism

Om fältet endast är magnetiskt (vilket till stor del gäller för motorer, till exempel), faller vissa termer bort och ekvationen i SI-enheter blir:

\sigma _{ij}={\frac {1}{\mu _{0}}}B_{i}B_{j}-{\frac {1}{2\mu _{0}}} B^{2}\delta _{ij}\,.

För cylindriska föremål, såsom en motorrotor, förenklar detta uttryck till:

\sigma _{rt}={\frac {1}{\mu _{0}}}B_{r}B_{t}-{\frac {1}{2\mu _{0}}} B^{2}\delta _{rt}\,.

där r är förskjutningen i radiell (utanför cylindern) riktning, t är förskjutningen i tangentiell (runt cylindern) riktning. Detta är den tangentiella kraften som vrider motorn. B r är flödestätheten i radiell riktning och B t är flödestätheten i tangentiell riktning.

I elektrostatik

I elektrostatik är effekterna av magnetism frånvarande. I det här fallet försvinner magnetfältet, , och vi får Maxwells elektrostatiska spänningstensor . Det ges i form av komponenter $\mathbf {B} =\mathbf {0}$

\sigma _{ij}=\varepsilon _{0}E_{i}E_{j}-{\frac {1}{2}}\varepsilon _{0}E^{2}\delta _{ I j}

och i symbolisk form

{\boldsymbol {\sigma }}=\varepsilon _{0}\mathbf {E} \otimes \mathbf {E} -{\frac {1}{2}}\varepsilon _{0}(\mathbf {E} \cdot \mathbf {E} )\mathbf {I} ,

var finns en lämplig identitetstensor (vanligtvis ). $\mathbf {I}$ $3 gånger 3$

Egenvärde

Egenvärdena för Maxwell-spänningstensorn bestäms av uttrycket:

\{\lambda \}=\left\{-\left({\frac {\epsilon _{0}}{2}}E^{2}+{\frac {1}{2\mu _ {0}}}B^{2}\höger),~\pm {\sqrt {\left({\frac {\epsilon _{0}}{2}}E^{2}-{\frac {1 }{2\mu _{0}}}B^{2}\right)^{2}+{\frac {\epsilon _{0}}{\mu _{0}}}\left({\boldsymbol {E}}\cdot {\boldsymbol {B}}\right)^{2}}}\right\}.

Dessa egenvärden erhålls genom att iterativt tillämpa matrisdeterminantlemmat i kombination med Sherman-Morrison-formeln.

Notera att den karakteristiska ekvationsmatrisen kan skrivas som ${\overleftrightarrow {\boldsymbol {\sigma ))}-\lambda \mathbf {\mathbb {I} }$

{\overleftrightarrow {\boldsymbol {\sigma ))}-\lambda \mathbf {\mathbb {I} } =-\left(\lambda +V\right)\mathbf {\mathbb {I} } +\ epsilon _{0}\mathbf {E} \mathbf {E} ^{\textsf {T))+{\frac {1}{\mu _{0))}\mathbf {B} \mathbf {B} ^ {\textsf {T)),

var

V={\frac {1}{2}}\left(\epsilon _{0}E^{2}+{\frac {1}{\mu _{0}}}B^{2} \höger),

vi installerar

\mathbf {U} =-\left(\lambda +V\right)\mathbf {\mathbb {I} } +\epsilon _{0}\mathbf {E} \mathbf {E} ^{\textsf {T}}.

Genom att tillämpa matrisdeterminantlemmat en gång får vi:

\det {\left({\overleftrightarrow {\boldsymbol {\sigma ))}-\lambda \mathbf {\mathbb {I} } \right)}=\left(1+{\frac {1}{ \mu _{0))}\mathbf {B} ^{\textsf {T}}\mathbf {U} ^{-1}\mathbf {B} \right)\det {\left(\mathbf {U} \höger)}.

Att applicera det igen ger

\det {\left({\overleftrightarrow {\boldsymbol {\sigma ))}-\lambda \mathbf {\mathbb {I} } \right)}=\left(1+{\frac {1}{ \mu _{0))}\mathbf {B} ^{\textsf {T}}\mathbf {U} ^{-1}\mathbf {B} \right)\left(1-{\frac {\epsilon _{0}\mathbf {E} ^{\textsf {T}}\mathbf {E} }{\lambda +V}}\right)\left(-\lambda -V\right)^{3}.

Från den sista multiplikatorn på höger sida av uttrycket är det direkt tydligt att det är ett av egenvärdena. $\lambda =-V$

För att hitta inversen använder vi Sherman-Morrison-formeln: $\mathbf {U}$

\mathbf {U} ^{-1}=-\left(\lambda +V\right)^{-1}-{\frac {\epsilon _{0}\mathbf {E} \mathbf {E } ^{\textsf {T))}{\left(\lambda +V\right)^{2}-\left(\lambda +V\right)\epsilon _{0}\mathbf {E} ^{\ textsf {T}}\mathbf {E} }}.

Efter att ha faktoriserat determinanttermen återstår det för oss att hitta nollorna för den rationella funktionen: $\left(-\lambda -V\right)$

\left(-\left(\lambda +V\right)-{\frac {\epsilon _{0}\left(\mathbf {E} \cdot \mathbf {B} \right)^{2} }{\mu _{0}\left(-\left(\lambda +V\right)+\epsilon _{0}\mathbf {E} ^{\textsf {T}}\mathbf {E} \right) }}\right)\left(-\left(\lambda +V\right)+\epsilon _{0}\mathbf {E} ^{\textsf {T}}\mathbf {E} \right).

Alltså, när vi bestämmer oss

-\left(\lambda +V\right)\left(-\left(\lambda +V\right)+\epsilon _{0}E^{2}\right)-{\frac {\epsilon _{0}}{\mu _{0}}}\left(\mathbf {E} \cdot \mathbf {B} \right)^{2}=0,

vi får två andra egenvärden.

Se även

Ricci kalkyl
Energitäthet för elektriska och magnetiska fält
Pekar vektor
Elektromagnetisk energi-momentum tensor
magnetiskt tryck
Magnetisk dragkraft

Länkar

↑ Brauer, John R. Magnetiska manöverdon och sensorer : [ eng. ] . — 2014-01-13. — ISBN 9781118754979 .

David J. Griffiths, "Introduction to Electrodynamics", s. 351–352, Benjamin Cummings Inc., 2008
John David Jackson, "Classical Electrodynamics, 3rd Ed.", John Wiley & Sons, Inc., 1999.
Richard Becker, "Electromagnetic Fields and Interactions", Dover Publications Inc., 1964.