Elektromagnetisk energi-momentum tensor

I relativistisk fysik är den elektromagnetiska energimomentumtensorn bidraget till energimomentumtensorn på grund av det elektromagnetiska fältet . [1] Energimomentum-tensorn beskriver flödet av energi och momentum i rum- tid. Den elektromagnetiska energi-momentum-tensorn innehåller det negativa värdet av den klassiska Maxwell-spänningstensorn , som styr elektromagnetiska interaktioner.

Definition

I SI-enheter

I fritt utrymme och platt rum-tid är den elektromagnetiska energi-momentum-tensorn i SI - enheter [1]

T^{\mu \nu }={\frac {1}{\mu _{0))}\left[F^{\mu \alpha }F^{\nu }{}_{\alpha }-{\frac {1}{4}}\eta ^{\mu \nu }F_{\alpha \beta }F^{\alpha \beta }\right]\,.

var är den elektromagnetiska tensorn och var är den metriska Minkowski-tensorn med metrisk signatur (− + + +) . När du använder ett mått med signatur (+ − − −) kommer uttrycket till höger om likhetstecknet att ha motsatt tecken. ${\displaystyle F^{\mu \nu ))$ $\eta _{{\mu \nu ))$

Explicit i matrisform:

T^{\mu \nu }={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2}}\left(\epsilon _{0}E^{2}+{\frac {1}{ \mu _{0}}}B^{2}\right)&{\frac {1}{c}}S_{\text{x}}&{\frac {1}{c}}S_{\text {y}}&{\frac {1}{c}}S_{\text{z}}\\{\frac {1}{c}}S_{\text{x}}&-\sigma _{\ text{xx}}&-\sigma _{\text{xy}}&-\sigma _{\text{xz}}\\{\frac {1}{c}}S_{\text{y}}& -\sigma _{\text{yx}}&-\sigma _{\text{yy}}&-\sigma _{\text{yz}}\\{\frac {1}{c}}S_{\ text{z}}&-\sigma _{\text{zx}}&-\sigma _{\text{zy}}&-\sigma _{\text{zz}}\end{bmatrix}}),

var

\mathbf {S} ={\frac {1}{\mu _{0}}}\mathbf {E} \times \mathbf {B} ,

är Poynting-vektorn ,

\sigma _{ij}=\epsilon _{0}E_{i}E_{j}+{\frac {1}{\mu _{0))}B_{i}B_{j}-{ \frac {1}{2}}\left(\epsilon _{0}E^{2}+{\frac {1}{\mu _{0}}}B^{2}\right)\delta _ {I j}

är Maxwell-spänningstensorn , c är ljusets hastighet . Det uttrycks och mäts alltså i SI-enheter för tryck ( pascal ). $T^{\mu \nu }$

Symboler för CGS-enheter

Permittiviteten för fritt utrymme och den magnetiska permeabiliteten för fritt utrymme i CGS-Gauss-enheter är lika med

\epsilon _{0}={\frac {1}{4\pi )),\quad \mu _{0}=4\pi \,

sedan:

T^{\mu \nu }={\frac {1}{4\pi }}\left[F^{\mu \alpha }F^{\nu }{}_{\alpha }-{ \frac {1}{4}}\eta ^{\mu \nu }F_{\alpha \beta }F^{\alpha \beta }\right]\,.

och i explicit matrisform:

T^{\mu \nu }={\begin{bmatrix}{\frac {1}{8\pi }}\left(E^{2}+B^{2}\right)&{\ frac {1}{c}}S_{\text{x}}&{\frac {1}{c}}S_{\text{y}}&{\frac {1}{c}}S_{\text {z}}\\{\frac {1}{c}}S_{\text{x}}&-\sigma _{\text{xx}}&-\sigma _{\text{xy}}&- \sigma _{\text{xz}}\\{\frac {1}{c}}S_{\text{y}}&-\sigma _{\text{yx}}&-\sigma _{\text {yy}}&-\sigma _{\text{yz}}\\{\frac {1}{c}}S_{\text{z}}&-\sigma _{\text{zx}}&- \sigma _{\text{zy}}&-\sigma _{\text{zz}}\end{bmatrix}}

där Poynting-vektorn har formen:

\mathbf {S} ={\frac {c}{4\pi }}\mathbf {E} \times \mathbf {B} .

Energimoment-tensorn för ett elektromagnetiskt fält i ett dielektriskt medium är mindre studerad och är föremål för en olöst Abraham-Minkowski-kontrovers. [2]

Elementet i energimomentumtensorn är flödet av den µ - te komponenten av det elektromagnetiska fältets fyra momentum , som passerar genom hyperplanet ( är konstant). Det representerar elektromagnetismens bidrag till gravitationsfältets källa (rymdtidens krökning) i allmän relativitetsteori . $T^{\mu \nu }\!$ $P^{\mu }\!$ $x^{\nu }$

Algebraiska egenskaper

Den elektromagnetiska energimoment-tensorn har flera algebraiska egenskaper:

Det är en symmetrisk tensor : T μ v = T v μ {\displaystyle T^{\mu \nu }=T^{\nu \mu )) ${\displaystyle T^{\mu \nu }=T^{\nu \mu ))$

Tensor är spårlös : ${\displaystyle T^{\nu }{}_{\alpha ))$ T α α = 0. {\displaystyle T^{\alpha }{}_{\alpha }=0.} $T^{\alpha }{}_{\alpha }=0.$

Bevis

Börjar med

T μ μ = η μ v T μ v , {\displaystyle T_{\mu }^{\mu }=\eta _{\mu \nu}T^{\mu \nu},}

T_{\mu }^{\mu }=\eta _{\mu \nu}T^{\mu \nu},

använd den explicita formen av tensor,

T μ μ = ett fyra π [ η μ v F μ α F v α − η μ v η μ v ett fyra F α β F α β ] . {\displaystyle T_{\mu }^{\mu }={\frac {1}{4\pi }}\left[\eta _{\mu \nu }F^{\mu \alpha }F^{\ nu }{}_{\alpha }-\eta _{\mu \nu }\eta ^{\mu \nu }{\frac {1}{4}}F^{\alpha \beta }F_{\alpha \beta}\right].}

T_{\mu }^{\mu }={\frac {1}{4\pi }}\left[\eta _{\mu \nu }F^{\mu \alpha }F^{\ nu }{}_{\alpha }-\eta _{\mu \nu }\eta ^{\mu \nu }{\frac {1}{4}}F^{\alpha \beta }F_{\alpha \beta}\right].

Sänka index och använda vad ${\displaystyle \eta ^{\mu \nu}\eta _{\mu \nu }=\delta _{\mu }^{\mu ))$

T μ μ = ett fyra π [ F μ α F μ α − δ μ μ ett fyra F α β F α β ] . {\displaystyle T_{\mu }^{\mu }={\frac {1}{4\pi }}\left[F^{\mu \alpha }F_{\mu \alpha}-\delta _{\ mu }^{\mu }{\frac {1}{4}}F^{\alpha \beta }F_{\alpha \beta }\right].}

T_{\mu }^{\mu }={\frac {1}{4\pi }}\left[F^{\mu \alpha }F_{\mu \alpha}-\delta _{\ mu }^{\mu }{\frac {1}{4}}F^{\alpha \beta }F_{\alpha \beta }\right].

Använd sedan , $\delta _{\mu }^{\mu }=4$

T μ μ = ett fyra π [ F μ α F μ α − F α β F α β ] . {\displaystyle T_{\mu }^{\mu }={\frac {1}{4\pi }}\left[F^{\mu \alpha }F_{\mu \alpha }-F^{\alpha \beta }F_{\alpha \beta }\right].}

T_{\mu }^{\mu }={\frac {1}{4\pi }}\left[F^{\mu \alpha }F_{\mu \alpha }-F^{\alpha \beta }F_{\alpha \beta }\right].

Observera att i det första uttrycket är μ, α och bara dummyindex, så vi döper om dem till α respektive β.

T α α = ett fyra π [ F α β F α β − F α β F α β ] = 0. {\displaystyle T_{\alpha }^{\alpha }={\frac {1}{4\pi }}\left[F^{\alpha \beta }F_{\alpha \beta }-F^{\alpha \beta }F_{\alpha \beta }\right]=0.}

T_{\alpha }^{\alpha }={\frac {1}{4\pi }}\left[F^{\alpha \beta }F_{\alpha \beta }-F^{\alpha \beta }F_{\alpha \beta }\right]=0.

■

Energitätheten är positiv-definitiv: T 00 ≥ 0 {\displaystyle T^{00}\geq 0} $T^{00}\geq 0$

Tensorens symmetri är densamma som den för den allmänna energimomentumtensorn i allmän relativitetsteori . Spåret av energimomentumtensorn är Lorentz-skalären ; det elektromagnetiska fältet (och elektromagnetiska vågor i synnerhet) har inte en Lorentz invariant energiskala, så dess energimomentumtensor måste ha ett försvinnande spår. Denna spårlöshet är i slutändan associerad med fotonens masslöshet . [3]

Bevarandelagar

Den elektromagnetiska energi-momentum-tensorn gör det möjligt att kompakt skriva ner lagarna för bevarande av linjärt momentum och energi i elektromagnetism. Divergens av energimoment-tensor:

\partial _{\nu}T^{\mu \nu}+\eta ^{\mu \rho }\,f_{\rho }=0\,

där - (4D) Lorentzkraft per volymenhet materia . ${\displaystyle f_{\rho ))$

Denna ekvation är ekvivalent med följande tredimensionella bevarandelagar

{\begin{aligned}{\frac {\partial u_{\mathrm {em} }}{\partial t}}+\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {S} +\mathbf {J} \cdot \mathbf {E} &=0\\{\frac {\partial \mathbf {p} _{\mathrm {em} }}{\partial t}}-\mathbf {\nabla } \cdot \sigma + \rho \mathbf {E} +\mathbf {J} \times \mathbf {B} &=0\ \Leftrightarrow \ \epsilon _{0}\mu _{0}{\frac {\partial \mathbf {S} }{\partial t}}-\nabla \cdot \mathbf {\sigma } +\mathbf {f} =0\end{aligned}}

som beskriver flödet av elektromagnetisk energitäthet

u_{\mathrm {em} }={\frac {\epsilon _{0}}{2}}E^{2}+{\frac {1}{2\mu _{0}}}B ^{2}\,

och elektromagnetisk pulsdensitet

{\displaystyle \mathbf {p} _{\mathrm {em} }={\mathbf {S} \over {c^{2))))

där J är densiteten för den elektriska strömmen , ρ är densiteten för den elektriska laddningen , är densiteten för Lorentzkraften. $\mathbf {f}$

Se även

Ricci kalkyl
Kovariant formulering av klassisk elektromagnetism
Matematiska beskrivningar av det elektromagnetiska fältet
Maxwells ekvationer
Maxwells ekvationer i krökt rum-tid
Allmän relativitetsteori
Einsteins fältekvationer
Magnetohydrodynamik
Vektorkalkyl

Anteckningar

↑ 1 2 Gravitation, J. A. Wheeler, C. Misner, K. S. Thorne, W. H. Freeman & Co, 1973, ISBN 0-7167-0344-0
↑ se dock Pfeifer et al., Rev. Mod. Phys. 79, 1197 (2007)
↑ Garg, Anupam. Klassisk elektromagnetism i ett nötskal , sid. 564 (Princeton University Press, 2012).