Ascoli-Arzelas sats

Arzela-satsen är ett påstående som är ett kriterium för prekompaktheten av en mängd i ett komplett metriskt utrymme i det speciella fallet när utrymmet i fråga är utrymmet av kontinuerliga funktioner på ett segment av den reella linjen . Uppkallad efter författaren, Cesare Arcela .

Arzela-Ascoli-satsen (eller Ascoli-Artzela) är en generalisering av Arzela-satsen för det fall då familjer av avbildningar av metriska kompakta mängder beaktas ( den generaliserade Arzela-satsen ).

Tillämpningen av Arzela-satsen är kopplad till de speciella egenskaperna hos de familjer som övervägs, nämligen: med enhetlig begränsning och equicontinuity .

Introduktion

I matematisk analys (och senare i funktionsanalys ) beaktas alla möjliga familjer av kontinuerliga funktioner givna på speciella mängder ( metric compacta ) och frågan om "fullständigheten" av sådana familjer undersöks. I synnerhet uppstår frågan om förekomsten av en gräns , till exempel för en sekvens av kontinuerliga numeriska funktioner , givet på intervallet , såväl som om egenskaperna för denna gräns. Enligt Cauchys kriterium är den enhetliga gränsen för kontinuerliga funktioner också en kontinuerlig funktion, vilket betyder att utrymmet är komplett . Det väsentliga här är att domänen för definition av funktioner är en kompakt delmängd av den verkliga linjen (segmentet), och funktioner tar värden i ett komplett metriskt utrymme. Vi får ett liknande resultat om vi tar klassen av kontinuerliga mappningar av en godtycklig metrisk kompakt uppsättning till ett komplett metriskt utrymme. $[a,b]$ $Cab]$

Klassens fullständighet gör att varje kontinuerlig funktion kan approximeras med en sekvens av approximationer, som var och en är en funktion i en viss mening "enklare" än den ursprungliga. Detta bevisas av Weierstrass-satsen : varje kontinuerlig funktion på ett intervall kan approximeras godtyckligt exakt med polynom. $Cab]$

Arzela-satsen hänvisar till fallet när en viss familj av kontinuerliga funktioner , där är en metrisk kompakt mängd och är ett komplett metriskt utrymme, beaktas, och frågan om det är möjligt att peka ut en konvergent undersekvens från denna familj undersöks. . Eftersom utrymmet är komplett betyder förekomsten av en gränspunkt i huvudsak att familjen är prekompakt i . Därför kan satsen formuleras i en allmän form, när man talar specifikt om prekompakthet. $F\delmängd C(K,Y)$ $K$ $Y$ $C(K,Y)$ $F$ $C(K,Y)$

Således är Arzela-satsen ett kriterium för prekompaktheten hos en familj av kontinuerliga funktioner definierade på en kompakt uppsättning och som verkar på ett komplett metriskt utrymme.

Det befintliga kriteriet för prekompaktheten av en uppsättning i ett komplett utrymme kräver att man kontrollerar att den givna uppsättningen är helt avgränsad . I praktiken är detta kriterium inte effektivt. Därför förefaller det ändamålsenligt att på något sätt använda egenskaperna hos de funktioner som ingår i familjen för att erhålla ett prekompakthetskriterium lämpligt för praktisk tillämpning.

Under forskningens gång visade det sig att sådana egenskaper är egenskaperna för enhetlig begränsning och likkontinuitet hos familjen i fråga.

Omnämnandet av ekvidistant kontinuitet gjordes samtidigt av Giulio Ascoli (1883-1884) [1] och Cesare Arcela (1882-1883) [2] . Den svaga formen av satsen bevisades av Ascoli 1883–1884 [1] , som fastställde tillräckliga förutsättningar för kompakthet, och av Arcela 1895 [3] , som gav det nödvändiga villkoret och gav den första tydliga tolkningen av resultatet. En ytterligare generalisering av satsen bevisades av Fréchet (1906) [4] för utrymmen där begreppet gräns är vettigt, såsom ett metriskt utrymme eller ett Hausdorff -utrymme Dunford, Schwartz (1958) [5] . Moderna formuleringar av satsen tillåter domän och räckvidd att vara metriska utrymmen. Den mest generella formuleringen av satsen ger ett nödvändigt och tillräckligt villkor för att en familj av funktioner från ett kompakt Hausdorff-rum till ett Uniform-utrymme ska vara kompakt i Bourbakis enhetliga konvergenstopologi (1998, § 2.5) [6] .

Definitioner

Betrakta utrymmet för kontinuerliga funktioner som definieras på intervallet , tillsammans med måtten för enhetlig konvergens. Detta är ett komplett metriskt utrymme. Det är känt att: $Cab]$ $[a,b]$

För att en delmängd av ett komplett metriskt utrymme ska vara prekompakt, är det nödvändigt och tillräckligt att det är helt avgränsat.

När det gäller utrymmet kan dock ett mer effektivt prekompakthetskriterium användas, men för detta måste man införa följande två begrepp. $Cab]$

Låt oss anta att det är någon familj av kontinuerliga funktioner definierade på segmentet . $F$ $[a,b]$

Uniform Boundedness

En familj kallas enhetligt bunden om det finns en konstant gemensam för alla delar av familjen , vilket begränsar alla funktioner i familjen: $F$ $K$

\forall f\in F\quad \forall x\in [a,b]\quad |f(x)|<K

Equicontinuity

En familj kallas equicontinuous om det för någon existerar så att för vilket element och för några punkter och så att den strikta ojämlikheten gäller . $F$ $\varepsilon >0$ $\delta>0$ $f\in F$ $x_{1}$ $x_{2}$ $|x_{1}-x_{2}|<\delta$ $|f(x_{1})-f(x_{2})|<\varepsilon$

Formulering

Sats.

En funktionell familj är prekompakt i ett komplett metriskt utrymme om och bara om denna familj är det $F$ $Cab]$

enhetligt avgränsad
lika kontinuerligt.

Bevis

I själva verket är det nödvändigt att visa att båda dessa egenskaper hos en familj av funktioner är likvärdiga med den fullständiga begränsningen av denna familj.

Nödvändighet

Så låt familjen vara helt avgränsad . $F$

Vi fixar och konstruerar ett ändligt -nätverk av formen: . $\varepsilon >0$ $(\varepsilon /3)$ $\{\varphi _{i}\}_{{i=1}}^{n}$

Eftersom varje funktion i detta system är kontinuerlig och därför begränsad, så finns det för varje sådan funktion sin egen konstant så att för varje . $K_{i}$ $|\varphi _{i}(x)|<K_{i}$ $x\i[a,b]$

Eftersom det finns en ändlig uppsättning sådana funktioner kan vi ta . $K=\max _{{i}}K_{i}+\varepsilon /3$

Om vi nu tar en godtycklig funktion , så finns det för denna funktion ett -nätverkselement så att för någon . Uppenbarligen kommer funktionen i detta fall att vara begränsad till konstanten . $f\in F$ $\varphi _{i}$ $(\varepsilon /3)$ $|f(x)-\varphi _{i}(x)|<\varepsilon /3$ $x\i[a,b]$ $f$ $K$

Detta visar att familjen är enhetligt bunden . $F$

Återigen, på grund av kontinuiteten för varje element i nätverket, visar sig detta element också vara enhetligt kontinuerligt och därför kan man välja så att för alla punkter så att . $(\varepsilon /3)$ $(\varepsilon /3)$ $\delta _{i}$ $|\varphi _{i}(x_{1})-\varphi _{i}(x_{2})|<\varepsilon /3$ $x_{1},x_{2}\i [a,b]$ $|x_{1}-x_{2}|<\delta _{i}$

Låt . $\delta =\min _{{i}}\delta _{i}$

Om vi nu betraktar en godtycklig funktion , så kommer det för den givna att finnas en strikt olikhet för alla punkter så att . $f\in F$ $\varepsilon >0$ $|f(x_{1})-f(x_{2})|<\varepsilon$ $x_{1},x_{2}\i [a,b]$ $|x_{1}-x_{2}|<\delta$

Faktum är att , där är en lämplig del av -nätverket. $|f(x_{1})-f(x_{2})|\leqslant |f(x_{1})-\varphi _{i}(x_{1})|+|\varphi _{i}( x_{1})-\varphi _{i}(x_{2})|+|\varphi _{i}(x_{2})-f(x_{2})|<\varepsilon /3+\varepsilon /3+\varepsilon /3=\varepsilon$ $\varphi _{i}$ $(\varepsilon /3)$

Detta visar att familjen är jämnständig . $F$

Med andra ord, fullständig begränsning innebär enhetlig begränsning och ekvikontinuitet.

Tillräcklighet

Nu är det nödvändigt att bevisa att familjens enhetliga begränsning och ekvikontinuitet innebär att det finns ett ändligt nätverk för alla ändliga . $F$ $\varepsilon$ $\varepsilon >0$

Vi fixar . $\varepsilon >0$

Låt vara en konstant som visas i definitionen av enhetlig begränsning. $K$

Låt oss välja sådant som förekommer i definitionen av enhetlig kontinuitet och motsvarar värdet . $\delta>0$ $\varepsilon /5$

Låt oss betrakta en rektangel och dela den med vertikala och horisontella linjer i rektangulära celler som är mindre än de horisontella och vertikala. Låt , , , vara noderna för detta gitter (längs x- axeln ). $[a,b]\ gånger [-K,K]$ $\delta$ $\varepsilon /5$ $x_{1}$ $x_{2}$ $\prickar$ $x_{N}$

Om vi nu betraktar en godtycklig funktion så måste det för varje nod i gittret finnas en sådan gitterpunkt att . Om vi nu betraktar den streckade linjefunktionen , som vid noderna tar motsvarande värden som avviker från funktionen med högst , så avviker den streckade linjen med det faktum att själva funktionen avviker på varje segment med högst . högst på varje sådant segment . $f\in F$ $x_{i}$ $(x_{i},y_{j})$ $|f(x_{i})-y_{j}|<\varepsilon /5$ $\varphi$ $\varepsilon /5$ $\varepsilon /5$ $3\varepsilon /5$

Eftersom varje punkt i segmentet är på ett av dessa segment, säg , visar det sig att funktionens avvikelse från den streckade linjen konstruerad på detta sätt inte överstiger : $x$ $[a,b]$ $[x_{k},x_{k}+1]$ $\varepsilon$

|f(x)-\varphi (x)|\leqslant |f(x)-f(x_{k})|+|f(x_{k})-\varphi (x_{k})|+|\ varphi (x_{k})-\varphi (x)|<\varepsilon /5+\varepsilon /5+3\varepsilon /5=\varepsilon

Det visas således att ett ändligt (!) system av trasiga funktioner av den angivna typen är ett -net för en given . $\varepsilon$ $\varepsilon >0$

Applikationer

Arzelasatsen finner sin tillämpning i teorin om differentialekvationer .

I Peano -satsen (om förekomsten av en lösning på Cauchy-problemet ) konstrueras ett funktionssystem, som i differentialekvationsteorin kallas Euler brutna linjer . Detta system visar sig vara en enhetligt avgränsad och ekvikontinuerlig familj av funktioner, från vilken man, enligt Arzela-satsen, kan peka ut en enhetligt konvergent sekvens av funktioner, vars gräns kommer att vara den önskade lösningen av Cauchy-problemet.

Se även

Lemma av Artsela
Montels sats om en kompakt familj av funktioner är en konsekvens av Arzela-satsen.

Litteratur

Kolmogorov A.N. , Fomin S.V. Element i funktionsteori och funktionsanalys. - ed. tredje, reviderad. — M .: Nauka , 1972 . — 496 sid.

Anteckningar

↑ 1 2 Ascoli, G. (1883-1884), "Le curve limiti di una varietà data di curve", Atti della R. Accad. Dei Lincei Memorie della Cl. sci. Fis. Matta. Nat. 18(3): 521-586.
↑ Arzelà, Cesare (1882-1883), "Un'osservazione intorno alle serie di funzioni", Rend. Dell' Accad. R. Delle Sci. Dell'Istituto di Bologna: 142-159.
↑ Arzelà, Cesare (1895), "Sulle funzioni di linee", Mem. Accad. sci. Ist. Bologna Cl. sci. Fis. Matta. 5(5):55-74.
↑ Fréchet, Maurice (1906), "Sur quelques points du calcul fonctionnel", Rend. Circ. Matta. Palermo 22:1-74, doi:10.1007/BF03018603.
↑ Dunford, Nelson; Schwartz, Jacob T. (1958), Linjära operatorer, volym 1, Wiley-Interscience.
↑ Bourbaki, Nicolas (1998), Allmän topologi. Kapitel 5-10, Elements of Mathematics, Berlin, New York: Springer-Verlag, MR1726872, ISBN 978-3-540-64563-4 .