Weierstrass-Stone teorem

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 8 april 2020; verifiering kräver 1 redigering .

Weierstrass-Stone-satsen är ett uttalande om möjligheten att representera vilken kontinuerlig funktion som helst på en Hausdorff - kompakt som sätts av gränsen för en enhetligt konvergent sekvens av kontinuerliga funktioner av en specialklass - .

Ursprungligen formulerad och bevisad av Karl Weierstrass 1885 för funktioner som är kontinuerliga på ett segment av den reella linjen, vilket skapar möjligheten att enhetligt approximera dem genom en sekvens av polynom . År 1937 generaliserade Marshall Stone väsentligt resultatet genom att utöka resultatet till funktioner som är kontinuerliga på ett godtyckligt T 2 -separerbart kompakt utrymme, som bildar en ring och som enhetligt konvergerande sekvenser av funktioner, istället för polynom, till funktioner från en specifik underklass av kontinuerliga funktioner som bildar en underring.

Senare hittades andra generaliseringar av resultatet .

Weierstrass sats

Låta vara en kontinuerlig funktion definierad på intervallet . Sedan för alla finns det ett polynom med reella koefficienter så att villkoret [1] är samtidigt uppfyllt för dem alla . $f$ $[a,b]$ $\varepsilon >0$ $sid$ $x$ $[a,\;b]$ $|f(x)-p(x)|<\varepsilon$

Om den är kontinuerlig på cirkeln (periodisk), så är påståendet också sant för trigonometriska polynom . $f(x)$

Satsen gäller även för funktioner med komplexa värden, men då bör polynomets koefficienter betraktas som komplexa tal, och deras komplexa konjugationer bör adderas till polynomen. $sid$

Kontur av Weierstrass-beviset

Satsen fastställdes av Karl Weierstrass 1885 [2] som en konsekvens av ett mer allmänt uttalande: för verkliga överallt definierade kontinuerliga funktioner och , vars absoluta värde inte överstiger en viss gräns, ändrar inte sitt tecken någonstans och uppfyller jämställdheten , och integralen konvergerar för det: $f(x)$ $\psi(x)$ $\psi(x)$ $\psi(-x)=\psi(x)$

\int \limits _{0}^{\infty }\psi (x)dx=\omega

genomförde:

f(x)=\lim \limits _{k\to 0}{\frac {1}{2k\omega }}\int \limits _{-\infty }^{\infty }\psi \left ({\frac {xy}{k}}\right)f(y)dy

Det följer omedelbart av det direkta beviset att gränsen inte bara finns och är lika med , utan också att konvergensen är enhetlig i , ändras på vilket ändligt intervall som helst. $f(x)$ $x$

Med som , varje funktion från familjen: $\psi(x)=e^{-x^2}$

F_k(x) = \frac{1}{2k\omega}\int\limits_{-\infty}^\infty \psi\left( \frac{xy}{k}\right)f(y)dy

är helt definierad för alla komplexa och är helt . Därför kan de approximeras enhetligt i en cirkel med vilken radie som helst med polynom ( Abels sats ). Detta innebär omedelbart att vilken kontinuerlig funktion som helst kan approximeras enhetligt med polynom på vilket ändligt intervall som helst. $x$ $f(x)$

Om dessutom är en periodisk funktion med period , så är funktionerna hela periodiska funktioner. Men då: $f(x)$ $T$ $F_k(x)$

F_k\left(\frac{T}{2\pi i}\ln z\höger)

är en enkelvärdig och holomorf funktion i domänen och expanderar därför till en Laurent-serie : $z\not=0$

F_k=\sum \limits_{n=-\infty}^\infty c_n z^n = \sum \limits_{n=-\infty}^\infty c_n \exp{\left (\frac{2\pi}{ T}inx\right)}

därför , och kan därför approximeras av trigonometriska polynom. $F_k(x)$ $f(x)$

Betydelsen av Weierstrass-resultatet

I mitten av 1800-talet verkade idén om en funktion som ett analytiskt uttryck helt ha överlevt sig själv, och analysen som bildades på basis av integral- och differentialkalkyl ägnade sig åt godtyckliga funktioner, till exempel Hermann Hankel , särskilt noteras: något intervall motsvarar ett visst värde ; samtidigt spelar det ingen roll om det beror på i hela intervallet enligt en lag, och om detta beroende kan uttryckas med matematiska operationer ” [3] , med betoning på att inte varje funktion kan representeras med hjälp av ett analytiskt uttryck. Som svar på detta skrev Weierstrass verket "Om den analytiska representationen av de så kallade godtyckliga funktionerna", där det visades att en godtycklig kontinuerlig funktion är gränsen för polynom. Senare visade det sig att även de mest "patologiska" funktionerna, till exempel Dirichlet-funktionen , tillåter sådana representationer, men bara med ett stort antal passager till gränsen. $y$ $x$ $x$ $y$ $y$ $x$

Topologiska konsekvenser

Enligt Weierstrass-satsen är utrymmet för kontinuerliga reella eller komplext värderade funktioner på ett segment med enhetlig norm separerbart : utrymmet för polynom med rationella eller komplext rationella koefficienter är det nödvändiga räknebara överallt täta underrummet .

Stones generalisering

1935 bevisade Stone att vilken funktion som helst från ringen av verkliga funktioner som är kontinuerliga på en Hausdorff - kompakt kan enhetligt approximeras av funktioner av en speciell klass som utgör stenalgebra, det vill säga vilken stenalgebra som helst är tät överallt i rymden av kontinuerliga funktioner på kompakten: . Som normen för enhetlig konvergens tar vi , och stenalgebra definieras som en subalgebra vars element separerar punkterna . $C(K)$ $K$ $C_{0}$ ${\overline {C_{0}}}=C(K)$ $C(K)$ $\|f\|=\max \limits _{x\in K}|f(x)|$ $C_0 \subseteq C(K)$ $K$

Mer exakt är stenalgebra uppsättningen funktioner från ringen som uppfyller följande villkor: $C_{0}$ $C(K)$

tillsammans med något av dess element inkluderar stenalgebra följande element: ( ), , ; $f, g \in C_0$ $jfr$ $c\in \mathbb {R}$ $f+g$ $fg$
stenalgebra innehåller en konstant funktion ; $ett$
för varje par av distinkta punkter finns det minst en funktion så att . $x_{1}, x_{2} \i K$ $f\in C_{0},$ $f(x_{1}) \neq f(x_{2})$

Ytterligare generaliseringar

Det finns en serie generaliseringar av Weierstrass-Stone-satsen i olika riktningar. Till exempel, genom Mergelyans sats, kan vilken funktion som helst som är kontinuerlig på vilken kompakt mängd som helst med anslutet komplement på det komplexa planet och holomorfisk vid dess inre punkter enhetligt approximeras av komplexa polynom. Dessutom hittades generaliseringar som tillåter, istället för en Hausdorff-kompakt, att överväga funktioner som är kontinuerliga på ett godtyckligt Tikhonov-utrymme .

Se även

Bernstein polynom

Anteckningar

↑ Fikhtengolts G. M. Kurs för differential- och integralkalkyl. Vol 3, sid 734
↑ Weierstrass K. // Math. Werke. bd. 3. P. 1.
↑ Citerad. av Koenig F. Kommentierender Anhang // Klein F. Funktionentheorie . Teubner, 1987. S. 261

Litteratur

Weierstrass-Stone theorem - Encyclopedia of Mathematics artikel . V. I. Ponomarev
Dzyadyk VK Introduktion till teorin om enhetlig approximation av funktioner med polynom. — M .: Nauka, 1977. — 512 sid.