Legendres teorem (sfärisk trigonometri)

Legendres sats i sfärisk trigonometri gör det möjligt att förenkla lösningen av en sfärisk triangel , om dess sidor är kända för att vara tillräckligt små jämfört med radien på sfären som den är belägen på.

Formulering

Låt en sfärisk triangel ges med små sidor jämfört med sfärens radie , vinklar och kurtos . Låt oss bygga en triangel på planet med sidor lika långa som motsvarande sidor i den givna sfäriska triangeln, det vill säga eftersom sidorna i den sfäriska triangeln har ett vinkelmått, och de uttrycks i radianer, då . Låt oss beteckna vinklarna för en sådan triangel (uttryckt i radianer) som . Legendres teorem säger att följande relationer är sanna [1] :

Således, om sidorna i en sfärisk triangel är små jämfört med sfärens radie, kan vi ersätta den med en platt triangel med samma längd sidor och en tredjedel av kurtosis mindre vinklar och beräkna elementen i en platt triangel.

Historik

Denna sats formulerades av A. M. Legendre 1787 [2] och bevisades av honom 1798 [3] . Det var dock enligt vissa källor känt redan 1740, då Sh.M. de la Condamine använde det för att bearbeta gradmätningarna från den peruanska expeditionen [4] .

Anteckningar

1. ↑ Stepanov N. N. §55. Legendres sats // Sfärisk trigonometri. - M. - L .: OGIZ , 1948. - S. 141-143. — 154 sid.
2. ↑ Legendre AM: Mémoire sur les operations trigonométriques, dont les résultats dépendent de la figure de la Terre. Histoire de l'Académie royale de sciences, Paris 1787; 352-383.
3. ↑ Legendre AM: Méthode pour déterminer la longueur exacte du quart du méridien d'après les observations faites pour la mesure de l'arc compris entre Dunkerque et Barcelona, ​​Note III: Résolution des triangles sphériques dont des côtés sont par rapport au petit s de la sfären. JB Delembre: Méthodes analytiques pour la détermination d'un arc du méridien, Paris 1798; 12-14
4. ↑ Zbynek Nadenik. Legendre-satsen om sfäriska trianglar . Arkiverad från originalet den 16 januari 2014.